统考版2025届高考数学一轮复习课后限时集训45空间向量的运算及应用理含解析北师大版

PAGE课后限时集训(四十五)空间向量的运算及应用建议用时：40分钟一、选择题1．已知a＝(2,3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝eq\f(1,2)x－2a，则x等于()A．(0,3，－6) B．(0,6，－20)C．(0,6，－6) D．(6,6，－6)B[由b＝eq\f(1,2)x－2a，得x＝4a＋2b＝(8,12，－16)＋(－8，－6，－4)＝(0,6，－20)．]2．已知a＝(－2,1,3)，b＝(－1,2,1)，若a⊥(a－λb)，则实数λ的值为()A．－2 B．－eq\f(14,3)C．eq\f(14,5) D．2D[∵a⊥(a－λb)，∴a·(a－λb)＝0，即a2＝λa·b.又a＝(－2,1,3)，b＝(－1,2,1)，∴a·b＝2＋2＋3＝7，|a|＝eq\r(4＋1＋9)＝eq\r(14).∴14＝7λ，∴λ＝2.故选D.]3．已知a＝(1,0,1)，b＝(x,1,2)，且a·b＝3，则向量a与b的夹角为()A.eq\f(5π,6) B.eq\f(2π,3)C.eq\f(π,3) D.eq\f(π,6)D[∵a＝(1,0,1)，b＝(x,1,2)，∴a·b＝x＋2＝3.∴x＝1.∴|a|＝eq\r(2)，|b|＝eq\r(6).∴cos〈a，b〉＝eq\f(3,\r(2)×\r(6))＝eq\f(\r(3),2).又〈a，b〉∈[0，π]，故〈a，b〉＝eq\f(π,6).故选D.]4．对于空间一点O和不共线的三点A，B，C，有6eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))＋3eq\o(OC,\s\up6(→))，则()A．O，A，B，C四点共面 B．P，A，B，C四点共面C．O，P，B，C四点共面 D．O，P，A，B，C五点共面B[由6eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))＋3eq\o(OC,\s\up6(→))，得eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝2(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→)))＋3(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→)))，即eq\o(AP,\s\up6(→))＝2eq\o(PB,\s\up6(→))＋3eq\o(PC,\s\up6(→))，故eq\o(AP,\s\up6(→))，eq\o(PB,\s\up6(→))，eq\o(PC,\s\up6(→))共面，又它们有公共点P，因此，P，A，B，C四点共面，故选B.]5.如图所示，三棱锥O­ABC中，M，N分别是AB，OC的中点，设eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，用a，b，c表示eq\o(NM,\s\up6(→))，则eq\o(NM,\s\up6(→))＝()A.eq\f(1,2)(－a＋b＋c)B.eq\f(1,2)(a＋b－c)C.eq\f(1,2)(a－b＋c)D.eq\f(1,2)(－a－b＋c)B[eq\o(NM,\s\up6(→))＝eq\o(NA,\s\up6(→))＋eq\o(AM,\s\up6(→))＝(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(ON,\s\up6(→)))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a＋b－c)．]6．A，B，C，D是空间不共面的四点，且满意eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝0，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝0，M为BC中点，则△AMD是()A．钝角三角形 B．锐角三角形C．直角三角形 D．不确定C[∵M为BC中点，∴eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，∴eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝0.∴AM⊥AD，△AMD为直角三角形．]二、填空题7．在空间直角坐标系中，A(1,1，－2)，B(1,2，－3)，C(－1,3,0)，D(x，y，z)(x，y，z∈R)，若A，B，C，D四点共面，则2x＋y＋z＝________.1[∵A(1,1，－2)，B(1,2，－3)，C(－1,3,0)，D(x，y，z)(x，y，z∈R)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝(0,1，－1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－2,2,2)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(x－1，y－1，z＋2)．∵A，B，C，D四点共面，∴存在实数λ，μ使得eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，即(x－1，y－1，z＋2)＝λ(0,1，－1)＋μ(－2,2,2)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1＝－2μ，,y－1＝λ＋2μ，,z＋2＝－λ＋2μ，))解得2x＋y＋z＝1.]8．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin〈eq\o(CM,\s\up6(→))，eq\o(D1N,\s\up6(→))〉的值为________．eq\f(4\r(5),9)[如图建立空间直角坐标系D­xyz，设正方体棱长为2，则易得eq\o(CM,\s\up6(→))＝(2，－2,1)，eq\o(D1N,\s\up6(→))＝(2,2，－1)，∴cos〈eq\o(CM,\s\up6(→))，eq\o(D1N,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(CM,\s\up6(→))·\o(D1N,\s\up6(→)),|\o(CM,\s\up6(→))||\o(D1N,\s\up6(→))|)＝－eq\f(1,9)，∴sin〈eq\o(CM,\s\up6(→))，eq\o(D1N,\s\up6(→))〉＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,9)))2)＝eq\f(4\r(5),9).]9．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，假如eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，－1，－4)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(4,2,0)，eq\o(AP,\s\up6(→))＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③eq\o(AP,\s\up6(→))是平面ABCD的法向量；④eq\o(AP,\s\up6(→))∥eq\o(BD,\s\up6(→)).其中正确的是________．①②③[∵eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AP,\s\up6(→))＝0，eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AP,\s\up6(→))＝0，∴AB⊥AP，AD⊥AP，则①②正确．又eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AD,\s\up6(→))不平行，∴eq\o(AP,\s\up6(→))是平面ABCD的法向量，则③正确．∵eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,3,4)，eq\o(AP,\s\up6(→))＝(－1,2，－1)，∴eq\o(BD,\s\up6(→))与eq\o(AP,\s\up6(→))不平行，故④错误．]三、解答题10.如图所示，已知直三棱柱ABC­A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D，E，F分别为B1A，C1C(1)DE∥平面ABC；(2)B1F⊥平面AEF[证明](1)建立如图所示的空间直角坐标系，令AB＝AA1＝4，则A(0,0,0)，E(0,4,2)，F(2,2,0)，B(4,0,0)，B1(4,0,4)．取AB的中点N，连接CN，则N(2,0,0)，C(0,4,0)，D(2,0,2)，所以eq\o(DE,\s\up6(→))＝(－2,4,0)，eq\o(NC,\s\up6(→))＝(－2,4,0)，所以eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(NC,\s\up6(→))，所以DE∥NC.又因为NC平面ABC，DE平面ABC，故DE∥平面ABC.(2)由(1)知eq\o(B1F,\s\up6(→))＝(－2,2，－4)，eq\o(EF,\s\up6(→))＝(2，－2，－2)，eq\o(AF,\s\up6(→))＝(2,2,0)．eq\o(B1F,\s\up6(→))·eq\o(EF,\s\up6(→))＝(－2)×2＋2×(－2)＋(－4)×(－2)＝0，eq\o(B1F,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝(－2)×2＋2×2＋(－4)×0＝0.所以eq\o(B1F,\s\up6(→))⊥eq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(B1F,\s\up6(→))⊥eq\o(AF,\s\up6(→))，即B1F⊥EF，B1F⊥AF，又因为AF∩FE＝F，所以B1F⊥平面AEF.11.如图所示，已知四棱锥P­ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，侧面PBC⊥底面ABCD.证明：(1)PA⊥BD；(2)平面PAD⊥平面PAB.[证明](1)取BC的中点O，连接PO，因为平面PBC⊥底面ABCD，△PBC为等边三角形，平面PBC∩底面ABCD＝BC，PO平面PBC，所以PO⊥底面ABCD.以BC的中点O为坐标原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．不妨设CD＝1，则AB＝BC＝2，PO＝eq\r(3)，所以A(1，－2,0)，B(1,0,0)，D(－1，－1,0)，P(0,0，eq\r(3))，所以eq\o(BD,\s\up6(→))＝(－2，－1,0)，eq\o(PA,\s\up6(→))＝(1，－2，－eq\r(3))．因为eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(PA,\s\up6(→))＝(－2)×1＋(－1)×(－2)＋0×(－eq\r(3))＝0，所以eq\o(PA,\s\up6(→))⊥eq\o(BD,\s\up6(→))，所以PA⊥BD.(2)取PA的中点M，连接DM，则Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－1，\f(\r(3),2))).因为eq\o(DM,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，0，\f(\r(3),2)))，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(1,0，－eq\r(3))，所以eq\o(DM,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)×1＋0×0＋eq\f(\r(3),2)×(－eq\r(3))＝0，所以eq\o(DM,\s\up6(→))⊥eq\o(PB,\s\up6(→))，即DM⊥PB.因为eq\o(DM,\s\up6(→))·eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)×1＋0×(－2)＋eq\f(\r(3),2)×(－eq\r(3))＝0，所以eq\o(DM,\s\up6(→))⊥eq\o(PA,\s\up6(→))，即DM⊥PA.又因为PA∩PB＝P，PA，PB平面PAB，所以DM⊥平面PAB.因为DM平面PAD，所以平面PAD⊥平面PAB.1．(2024·潍坊期末)如图所示的平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，已知AB＝AA1＝AD，∠BAD＝∠DAA1＝60°，∠BAA1＝30°，N为A1D1上一点，且A1N＝λA1D1.(1)若BD⊥AN，则λ的值为________；(2)若M为棱DD1的中点，BM∥平面AB1N，则λ的值为________．(1)eq\r(3)－1(2)eq\f(2,3)[(1)取空间中一组基底：eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，因为BD⊥AN，所以eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(AN,\s\up6(→))＝0.因为eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝b－a，eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1N,\s\up6(→))＝c＋λb，所以(b－a)·(c＋λb)＝0，所以eq\f(1,2)＋λ－eq\f(\r(3),2)－eq\f(λ,2)＝0，所以λ＝eq\r(3)－1.(2)在AD上取一点M1使得A1N＝AM1，连接M1N，M1M，M1B，因为A1N∥AM1且A1N＝AM1，所以NB1∥M1B，NB1＝M1B又因为M1B平面AB1N，NB1平面AB1N，所以M1B∥平面AB1N，又因为BM∥平面AB1N，且BM∩M1B＝B，所以平面M1MB∥平面AB1N，所以MM1∥平面AB1N.又因为平面AA1D1D∩平面AB1N＝AN，且MM1平面AA1D1D，所以M1M∥AN，所以△AA1N∽△MDM1，所以eq\f(A1N,DM1)＝eq\f(AA1,MD)＝eq\f(λA1D1,1－λA1D1)＝2，所以λ＝eq\f(2,3).]2．如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝CD＝1，∠ACD＝90°，把△ADC沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，则BD的长为________．2或eq\r(2)[∵AB与CD成60°角，∴〈eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉＝60°或120°.又∵AB＝AC＝CD＝1，AC⊥CD，AC⊥AB，∴|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝eq\r(\a\vs4\al(\o(BD,\s\up6(→))2))＝eq\r(\a\vs4\al(\o(BA,\s\up6(→))＋\o(AC,\s\up6(→))＋\o(CD,\s\up6(→)))2)＝eq\r(\a\vs4\al(\o(BA,\s\up6(→))2＋\o(AC,\s\up6(→))2＋\o(CD,\s\up6(→))2＋2\o(BA,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→))＋2\o(AC,\s\up6(→))·\o(CD,\s\up6(→))＋2\o(BA,\s\up6(→))·\o(CD,\s\up6(→))))＝eq\r(\a\vs4\al(1＋1＋1＋0＋0＋2×1×1×cos〈\o(BA,\s\up6(→))，\o(CD,\s\up6(→))〉))＝eq\r(\a\vs4\al(3＋2cos〈\o(BA,\s\up6(→))，\o(CD,\s\up6(→))〉))，∴|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝2或eq\r(2).∴BD的长为2或eq\r(2).]3.如图所示，四棱锥S­ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的eq\r(2)倍，点P为侧棱SD上的点．(1)求证：AC⊥SD；(2)若SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC，若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由．[解](1)证明：连接BD，设AC交BD于点O，则AC⊥BD.连接SO，由题意知SO⊥平面ABCD.以O为坐标原点，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(OS,\s\up6(→))所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图．设底面边长为a，则高SO＝eq\f(\r(6),2)a，于是Seq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\f(\r(6),2)a))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)a，0，0))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a，0，0))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)a，0))，eq