高职数学课件

高职数学函数的概念

定义：设，是两个变量，D是一个给定的数集，若对于每个，按照某种对应法则，总有惟一确定的值与之对应，则称是的函数，记作.其中，叫做自变量，叫做因变量，数集D叫做函数的定义域，当取定D中的值时，与之对应的值叫做函数在处的函数值，记作或，函数值的集合叫做函数的值域.例1判断下列各组中的两个函数是否相同，并说明理由.

反函数的概念

定义3.设函数的定义域为D，值域为M，如果对于M内的每一个y值，在D中都有惟一确定的x值与之对应，则x是定义在M上的以y为自变量的函数，称其为函数的反函数，记作.习惯上用x表示自变量，用y表示函数，因此，函数的反函数通常写成.

函数的单调性

函数的奇偶性

函数的周期性

的周期T=π.

函数的有界性基本初等函数的概念

常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数，这六种函数统称为基本初等函数.复合函数定义2.若函数的定义域与函数的值域交集不空，则y通过u成为x的函数，这个函数叫做由和复合而成的复合函数，其中u叫做中间变量，叫做外层函数，叫做内层函数.初等函数定义3.由基本初等函数经过有限次的四则运算或复合而得到的函数，叫做初等函数.初等函数可以用一个式子来表示.经济函数

1.需求函数和供给函数2.成本函数、收入函数和利润函数3.库存函数：假设每批进货费为a元，单位货物年保管费为b元，则全年购存费（元）为

数列极限的概念考察下列无穷数列，随着项数的增大，它们的项的变化趋势函数自变量变化趋势有六种情况（1）单向趋近：x可取正值，无限增大.（2）单向趋近：x可取负值，绝对值无限增大.（3）双向趋近：x绝对值无限增大.（4）单向趋近：x从大于的一侧无限趋近（5）单向趋近：x从小于的一侧无限趋近（6）双向趋近：x从左右两侧无限趋近.函数的取值变化状态图函数的变化状态图无穷小量的性质1.有限个无穷小的代数和仍是无穷小.2.有界变量与无穷小之积仍是无穷小.3.常数与无穷小之积仍是无穷小.4.有限个无穷小之积仍是无穷小.极限的四则运算法则

定理.若都存在，则对有理分式函数有（用文字语言表述有助于理解记忆）第一个重要极限第二个重要极限：等价的两种形式：连续复利计算公式

若P为本金，r为利率，n为存期，则到期本利和为：函数在一点处连续的定义

定义1.设函数在点的某个邻域内有定义，若，则称函数在点处连续.定义式说明了函数在点处连续，须同时具备三个条件：1.函数在点有定义；2.函数在点有极限；3.函数在点极限值等于函数值.零点存在定理图间断点的类型第一类间断点（左右极限都存在）

1.跳跃间断点；

2.可去间断点；…第二类间断点（第一类以外的）

1.无穷间断点；…

平面曲线的切线图用定义求导数的步骤：（1）求函数的改变量；（2）求平均变化率；（3）求极限即导数.求导公式

复合函数求导例6.飞机沿曲线向地面俯冲，若其下降的垂直速度恒为100米/秒，当俯冲到离地面2501米时，其影子在地面上的运动速度是多少？微分引例：求正方形面积改变量的近似值图：微分的几何意义需求对价格的弹性需求弹性大，是指||大.当=－1时，称为单位弹性，此时需求量变动的百分比等于价格变动的百分比.价格变动对收入影响不大.当<－1时，称为高弹性，此时需求量变动的百分比高于价格变动的百分比，价格变动对需求影响较大.可降价多销增加收入.当－1<<0时，称为低弹性，此时需求量变动的百分比低于价格变动的百分比，价格变动对需求影响不大，可提价增加收入.函数的单调性引入函数极值

函数极值例7.灯泡吊挂在桌面上方B点处，B点在桌面的投影为O点，桌面上到O点距离为a的点A获得的照度，与该点到光源距离的平方成反比，与光线BA与桌面所成夹角的正弦成正比.问点B距离桌面多高时，A点获得的照度最强？函数曲线的凹凸性引入

曲线凹凸性判定定理.设在区间内函数有二阶导数，若二阶导数大于零，则函数曲线是凹的；若二阶导数小于零，则函数曲线是凸的.函数曲线的渐近线

例7.函数的图象原函数的定义

对定义在区间Ⅰ的已知函数，若存在定义在区间Ⅰ的函数，使得对任意，都有=成立，则称函数为函数的原函数.不定积分公式

分部积分公式曲边梯形的面积定积分的几何意义

平面图形的面积1

平面图形的面积

2平面图形的面积例1图平面图形的面积例2平面图形的面积例3矩阵矩阵—零矩阵、列矩阵、行矩阵方阵—三角矩阵—上三角矩阵下三阶矩阵

—对角阵—单位矩阵矩阵与矩阵的乘法说明由定义可知：（1）当且仅当左矩阵A的列数等于右矩阵B的行数时，才能计算A左乘B；（2）AB=C结果仍是矩阵，它的行数是A的行数，它的列数是B的列数；（3）C的第i行第j列的元素，等于A的第i行各元素与B的第j列的对应元素的乘积之和.矩阵乘法的运算性质

（1）乘法结合律：（AB）C=A(BC)；（2）左乘分配律：A（B+C）=AB+AC；（3）右乘分配律：（B+C）A=BA+CA；（4）数乘结合律：k(AB)=(kA)B=A(kB)；（5）吸收率：矩阵的转置满足下列运算规律（1）；（2）；（3），其中k是实数.（4）=，.矩阵的初等变换定义.

对矩阵进行下列三种变换，统称为矩阵的初等行变换，简称为矩阵的初等变换：（1）对换：对换第i,j两行的位置，记作（ⓘⓙ）；（2）倍乘：非零数k乘第i行的所有元素，记作kⓘ；（3）倍加：非零数k乘第j行所有元素，加到第i行的相应元素上去，记作ⓘ+kⓙ.初等矩阵

定义7.由单位矩阵E经过一次初等变换所得到的矩阵，叫做初等矩阵。三种初等变换对应着三种初等矩阵：（1）初等对换矩阵：由单位矩阵E的第i行和第j行对换得到的矩阵，记作E（ⓘⓙ）.（2）初等倍乘矩阵：由非零数k乘单位矩阵E的第i行得到的矩阵，记作E（kⓘ）.（3）初等倍加矩阵：由非零数k乘单位矩阵E的第j行加到第i行上去得到的矩阵，记作E（ⓘ+kⓙ）.矩阵变换与乘法运算关系（1）若AB，则B=E（ⓘⓙ）A，反之亦然.（2）若AB，则B=E（kⓘ）A，反之亦然.(3)若AB，则B=E（ⓘ+kⓙ）A，反之亦然.逆矩阵性质（1）若矩阵A可逆，则也可逆，且(即A与互为逆矩阵).（2）若矩阵A可逆，数k≠0,则kA可逆，且

.（3）若矩阵A，B都是n阶可逆方阵，则AB可逆，且.该性质可推广到任意有限个同阶可逆矩阵的情形.（4）若矩阵A可逆，则A的转置矩阵也可逆，且

.值得注意的是，O矩阵不可逆；单位矩阵E可逆且其逆仍为单位矩阵；初等矩阵可逆，向量向量概念

向量、行向量、列向量、零向量、单位向量向量运算：和、差、数乘向量的线性相关性向量组的秩向量组的极大无关组向量组的秩和极大无关组的求法

（1）把这些向量作为矩阵的列组装成一个矩阵；（2）用初等变换将矩阵化为阶梯形；（3）根据阶梯形矩阵特点得出结论：①非零行的行数就是向量组的秩；②当秩等于向量组中向量的个数时，该向量组线性无关；当秩小于向量组中向量的个数时，该向量组线性相关；③阶梯形矩阵主元所在的列向量所对应的原向量组中的列向量，构成原向量组的一个极大无关组.非齐次线性方程组

含有n个未知数、m个方程的线性方程组齐次线性方程组

方程组解的情况判定

定理.线性方程组AX=B有解的充要条件是r(A|B)=r(A)推论1.线性方程组有惟一解的充要条件是

其中n是方程组中未知数的个数.推论2.齐次线性方程组AX=0只有零解的充要条件是r(A)=n方程组解的结构定理3.若方程组AX=B的一个特解是，其导出组AX=0的一个基础解系是则方程组AX=B的通解可表示为

其中是常数随机试验具有如下特征（1）可以在相同条件下重复进行；（2）各次试验的结果一般不同，所有可能出现的结果事先已知；（3）一次试验的结果不能事先预知，但必然是所有可能出现的结果当中的一个.随机事件包括基本事件复合事件必然事件不可能事件事件的关系与运算子事件、等事件、和事件、积事件、互斥事件、差事件、对立事件随机事件的运算规律

（1）交换律.A+B=B+A，AB=BA.（2）结合律.A+（B+C）=（A+B）+C，A(BC)=(AB)C.（3）分配律.A（B+C）=AB+AC，A+（BC）=（A+B）（A+C）.（4）对偶率..（5）还原率..（6）差积率.A－B=A－AB=.古典概型

定义1.

若随机试验具有如下两个特点：（1）只有有限个不同的基本事件，即是一个有限集；（2）各基本事件出现的可能性相等.则称这样的试验模型为古典概型.在古典概型的随机试验中，如果基本事件的个数是n，事件A由m个基本事件构成，则事件A发生的概率为m/n，记作P(A)，即P(A)=m/n.几何概型

定义2.若随机试验有如下两个特点：（1）基本事件空间形成一个有界几何区域；（2）各基本事件的出现是“均匀”的.则称这样的试验模型为几何概型.所谓均匀，指一次试验结果落在基本事件空间的任一小区域A的可能性与区域A在基本事件空间所占有的几何测度|A|成正比，几何测度可以是区间长度、区域面积或立体体积等.在几何概型的随机试验中，事件A发生的概率定义为P(A)=|A|/||.称此概率为几何概率.统计概率

定义4.在一组不变的条件下，重复进行大量的n次试验，若事件A发生k次.而其频率k/n总在一个确定的常数p附近变动，则称这个常数p为事件A的统计概率，记作P（A）=p.概率具有如下性质（1）对任何随机事件A，有0≤P（A）≤1.（2）对必然事件，有P（）=1.（3）若事件两两互斥，则全概率公式

定理4.

设为基本事件空间的一个完备事件组，则对任意事件B，均有逆概率公式定理5.设是一个完备事件组，任意事件B不是不可能事件，则独立重复试验（贝努利概型）

定义3.若有一系列试验满足如下条件：（1）每次试验，只可能有两种结果：；（2）各次试验的概率保持不变；（3）各次试验出现何种结果互不影响.这样的一系列试验，称为独立重复试验系列，简称独立重复试验，也叫贝努利（Bernoulli）试验.

几种常用的离散型随机变量的分布

（1）两点分布：设随机变量X只可能取0，1两个值，它的概率分布为

P(X=1)=p，P(X=0)=1－p(0＜p＜1)（2）二项分布：设随机变量X的概率分布为则称随机变量X服从参数为n、p的二项分布，记作X～B（n，p）.（3）泊松（Poisson）分布随机变量X的概率分布为连续型随机变量概率密度引例图

均匀分布连续型随机变量X的密度函数为

指数分布

随机变量X的密度函数为正态分布

随机变量X的密度函数为标准正态分布

其密度函数离散型随机变量的数学期望

（1）设离散型随机变量X的分布列为则称为随机变量X的数学期望或均值，记作E(X)，即E(X)=；（2）设离散型随机变量X的分布列为若极限存在，则称该极限为随机变量X的数学期望或均值，记作E(X)连续型随机变量的数学期望

设连续型随机变量X的密度函数为,若积分收敛，则称该积分为随机变量X的数学期望，记作E(X).几种常见随机变量的数学期望（1）两点分布:随机变量X～B（1，p）,则E(X)=0×(1－p)+1×p=p.（2）二项分布:随机变量X～B(n,p),则E(X)=np.（3）泊松分布:随机变量X～P(),则E(X)=（4）均匀分布：设随机变量X～U(a，b)，则（5）指数分布：设随机变量X～exp(),则

E(X)=1/.（6）正态分布：设随机变量X～,则E(X)=；若X～N(0，1)，则E(X)=0.数学期望的性质

(1)E(C)=c,其中c为常数(2)E(kX)=kE(x),其中k为常数.(3)E(X+Y)=E(X)+E(Y).方差的定义（1）对于有穷离散型随机变量X，有，其中X的分布列为