2024-2025学年四川省遂宁中学介福校区高三（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年四川省遂宁中学介福校区高三（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若集合A={x∈Z|x≤2}，B={x|−2≤x≤3}，则A∩B=A.{x|0≤x≤3} B.{x|−2≤x≤4}

C.{0,1,2,3} D.{−2,−1,0,1,2,3,4}2.以角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，角θ终边过点P(2,4)，则tan(θ−π4A.−3 B.−13 C.133.已知数列{an}满足a1+2A.2 B.13366 C.13766 4.下列说法错误的是(

)A.某校高一年级共有男女学生500人，现按性别采用分层抽样的方法抽取容量为50人的样本，若样本中男生有30人，则该校高一年级女生人数是200

B.数据1，3，4，5，7，9，11，16的第75百分位数为10

C.在一元线性回归方程中，若线性相关系数r越大，则两个变量的线性相关程度越强

D.根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到χ2=3.937，根据小概率α=0.05值的独立性检验(x0.05=3.841)，可判断5.已知角α,β满足cosβ=13,cosA.13 B.14 C.166.若函数f(x)=lnx−1x+a在区间(1,e)(其中e=2.71828…)上存在零点，则常数a的取值范围A.0<a<1 B.1e<a<1 C.1e7.已知函数fx=cosωx−π4(ω>0)在区间0,2π内恰有A.78,158 B.58,8.已知关于x的方程(x3+x3+a)3+(A.69 B.4627 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法正确的是(

)A.若a>b，c∈R，则ac2>bc2 B.若ac2>bc2，c∈R，则a>b

10.已知f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π2)的部分图像如图所示，则A.A=2

B.f(x)的最小正周期为π

C.f(x)在(−5π12,5π6)内有3个极值点

11.如果项数有限的数列{an}满足ai=an−i+1(i=1,2…,n)，则称其为“对称数列”，设{bn}是项数为2k−1(k∈N∗)的“对称数列”，其中bA.若k=12，则b1=10 B.若k=14，则{bn}所有项的和为622

C.当k=13时，{b三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知函数f(x)=3−x,x≤0,log313.已知f(x)=1+log3x(1≤x≤9)，设函数g(x)=f2(x)+f(14.如图，正方形A1B1C1D1的边长为14cm，A2，B2，C2，D2依次将A1B1，B1C1，C1D1，D1A1分为3：4的两部分，得到正方形A2B2四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知向量m=(cosx+sinx,(Ⅰ)求g(x)的最小正周期;(Ⅱ)若函数f(x)=g(x)−a在区间[0,π2]上恰有两个零点，求实数16.(本小题15分)

为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机对50名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在30名男性驾驶员中，平均车速超过100km/ℎ的有20人，不超过100km/ℎ的有10人.在20名女性驾驶员中，平均车速超过100km/ℎ的有5人，不超过100km/ℎ的有15人．

(1)完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/ℎ的人与性别有关；平均车速超过100km/ℎ人数平均车速不超过100km/ℎ人数合计男性驾驶员人数女性驾驶员人数合计(2)以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为女性且车速不超过100km/ℎ的车辆数为ξ，若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的数学期望．

参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82817.(本小题15分)

已知数列{an}的首项为a1=1，且满足nan+1=(n+1)an，数列{bn}满足b1=1a2，且bn+1=b18.(本小题17分)

已知函数f(x)=sinωx(ω>0)在区间[0,π3]上单调递增，在区间[π3,2π3]上单调递减；如图，四边形OACB中，a，b，c为△ABC的内角A，B，C的对边，且满足sinB+sinCsinA=4ω3−cosB−cosCcosA．

(Ⅰ)证明：b+c=2a；

(Ⅱ)19.(本小题17分)设函数fx=e(1)已知ex≥kx≥lnx对任意(2)已知直线l与曲线fx，gx分别切于点x1,fx①求证：e−2②已知λx2−x+1ex+x≤0对任意参考答案1.C

2.C

3.B

4.C

5.C

6.C

7.D

8.B

9.BC

10.ABD

11.BCD

12.3

13.5

14.21

15.解：(Ⅰ)g(x)=m·n=cos2x−sin2x+23sinxcosx=cos2x+3sin2x=2sin(2x+π6)，

∴g(x)的最小正周期T=2π2=π．

(Ⅱ)由题知g(x)=a在区间[0,π2]上恰有两个不同的实数根，

即函数g(x)在区间[0,π216.解：(1)根据题意，填写列联表如下；平均车数超过

人数平均车速不超过

人数合计男性驾驶员人数201030女性驾驶员人数51520合计252550计算K2=50×(20×15−10×5)230×20×25×25=253≈8.333>7.879，

所以有99.5%的把握认为平均车速超过100km/ℎ与性别有关；

(2)根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，

驾驶员为女性且车速不超过100km/ℎ的车辆的概率为1550=310，

所以ξ的可能取值为17.解：(1)证明：∵nan+1=(n+1)an，

∴an+1an=n+1n，∴anan−1=nn−1(n≥2)，

∴an=anan−1⋅an−1an−2⋅⋯⋅a3a2⋅a2a1⋅a1=nn−1⋅n−1n−2⋅⋯⋅4318.解：(Ⅰ)由题意知：2πω=4π3，解得ω=32

∵sinB+sinCsinA=2−cosB−cosCcosA，

∴sinBcosA+sinCcosA=2sinA−cosBsinA−cosCsinA，

∴sinBcosA+cosBsinA+sinCcosA+cosCsinA=2sinA，

∴sin(A+B)+sin(A+C)=2sinA

∴sinC+sinB=2sinA，

∴b+c=2a

(Ⅱ)因为b+c=2a，b=c，所以a=b=c，所以△ABC为等边三角形，

∴SOACB=S△OAB19.解：(1)由已知可得

ln xx⩽k⩽exx设

u(x)=ln xx

，其中

x>0

，则

当

0<x<e

时，

u′(x)>0

，即

u(x)

在

0,e当

x>e

时，

u′(x)<0

，即

u(x)

在

(e,+∞)所以，

k⩾u(x)max令

v(x)=exx

，其中

x>0

，则

当

0<x<1

时，

v′(x)<0

，即函数

v(x)

在

0,1当

x>1

时，

v′(x)>0

，即函数

v(x)

在

(1,+∞)所以，

k⩽v(x)min综上所述，实数

k

的取值范围是

1e,e(2)证明：①因为

f(x)=ex

，

g(x)=ln x

，则

f′(x)=所以，直线

l

可表示为

y−ex1=ex直线

l

的方程也可表示为

y−ln x2=1故有

ex1=1x2所以，

ex1(1−x1)=−设

ℎ(x)=(x−1)ex−x−1

，其中

x>0

，则

令

p(x)=xex−1

，其中

x>0

，

则

p′(x)=(x+1)e所以，函数

ℎ′(x)=xex−1

又因为

ℎ′(0)=−1<0

，

ℎ′(1)=e−1>0

，

所以，存在

x0∈(0,1)当

x∈(0,x0)

时，

ℎ′(x)<0

，即函数

ℎ(x)

当

x∈(x0,+∞)

时，

ℎ′(x)>0

，即函数

ℎ(x)

因为

ℎ(0)=−2<0

，则

ℎ(x0)<ℎ(0)<0

，

ℎ(1)=−2<0