专题4.2 对数与对数函数（解析版）

专题4.2对数与对数函数1．对数的性质根据对数的概念，知对数具有以下性质：（1）负数和零没有对数，即； （2）1的对数等于0，即；（3）底数的对数等于1，即； （4）对数恒等式.2．对数的运算性质如果，那么：（1）； （2）；（3）.3．对数的换底公式对数的换底公式：.换底公式的变形及推广：（1）；（2）；（3）(其中a，b，c均大于0且不等于1，d>0).4．对数运算的一般思路（1）对于指数式、对数式混合型条件的化简与求值问题，一般可利用指数与对数的关系，将所给条件统一为对数式或指数式，再根据有关运算性质求解；（2）在对数运算中，可先利用幂的运算性质把底数或真数变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后运用对数的运算性质、换底公式，将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算.5．对数函数的图象和性质一般地，对数函数的图象与性质如下表所示：图象定义域值域性质过定点，即时，在上是减函数在上是增函数当x＞1时，y＜0；当0＜x＜1时，y＞0当x＞1时，y＞0；当0＜x＜1时，y＜0在直线的右侧，当时，底数越大，图象越靠近x轴；当时，底数越小，图象越靠近x轴，即“底大图低”．6．对数函数的图象过定点（1,0），所以讨论与对数函数有关的函数的图象过定点的问题，只需令真数为1，解出相应的，即可得到定点的坐标.7．当底数时，对数函数是上的增函数，当时，底数的值越小，函数图象越“陡”，其函数值增长得越快；当底数时，对数函数是上的减函数，当时，底数的值越大，函数图象越“陡”，其函数值减小得越快.也可作直线y=1与所给图象相交,交点的横坐标即为各个底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小．8．对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．特别地，要注意底数和的两种不同情况．有些复杂的问题，借助于函数图象来解决，就变得简单了，这是数形结合思想的重要体现．9．一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.10．求对数型函数定义域的策略列出对应的不等式(组）求解，注意对数函数的底数和真数的取值范围.11．比较对数式的大小：（1）若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论；（2）若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较；（3）若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较．12．解对数不等式：（1）形如的不等式，借助的单调性求解，如果a的取值不确定，需分与两种情况讨论；（2）形如的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式，再借助的单调性求解．一、单选题1．某种水果失去的新鲜度与其采摘后时间（小时）近似满足函数关系式为（为非零常数）．若采摘后20小时，这种水果失去的新鲜度为20%，采摘后30小时，这种水果失去的新鲜度为40%．那么采摘下来的这种水果大约经过多长时间后失去50%新鲜度（）A．33小时 B．35小时C．38小时 D．43小时【试题来源】福建省宁德市部分达标中学2022届高三上学期期中联合考试【答案】A【分析】根据已知条件，结合待定系数法，求出的值，即可求得，再将代入函数中，即可求解．【解析】由题意可得，解得，故，当时，，解得．故选A2．已知函数是定义域为的奇函数，当，当，（为常数），若，则实数A． B．C． D．【试题来源】山东省济宁邹城市2021-2022学年高三上学期期中考试【答案】A【分析】根据函数是定义域为的奇函，可得，再根据待定系数法和对数运算，即可求出结果．【解析】由题意可知，函数是定义域为的奇函，所以，所以又当，当，所以，所以．故选A．3．设函数，且，则A． B．1C． D．3【试题来源】四川省广安市广安代市中学校2021-2022学年高一上学期11月月考【答案】D【分析】根据自变量对应的解析式代入求值即可解出．【解析】因为，所以．故选D．4．已知函数，则A． B．C． D．【试题来源】四川省南充市阆中中学校2021-2022学年高一上学期期中【答案】D【分析】运用代入法，结合对数运算的性质和指数的运算性质进行求解即可．【解析】，故选D5．若函数的图象如图所示，则函数的图象大致是A． B．C． D．【试题来源】湘教版（2019）必修第一册突围者第4章专项拓展训练【答案】C【分析】由的图象可得，以及的单调性，再根据复合函数的单调性判断的单调性，即可得解；【解析】由函数的图象，可知，函数在上是减函数，在上是增函数，因为对数函数是减函数，所以，且在上是增函数，在上是减函数，即只有C满足条件．故选C．6．设实数，且，，，则x，y，z的大小关系为A． B．C． D．【试题来源】天津市第二中学2021-2022学年高三上学期期中【答案】C【分析】由题可知，，，即得．【解析】因为实数，且，，，所以，，，所以．故选C7．求函数f(x)＝lg(x2－2x－3)的单调递减区间A． B．C． D．【试题来源】宁夏固原市五原中学补习部2022届高三上学期期中考试【答案】A【分析】先解二次不等式求得函数的定义域，结合二次函数的单调性，以及复合函数的单调性的判定方法，求得函数的单调递减区间为(－∞，－1)．【解析】要使函数有意义，则，解得或，设，则函数在上单调递减，在上单调递增．因为函数在定义域上为增函数，所以由复合函数的单调性性质可知，则此函数的单调递减区间是．故选A．8．函数的定义域为A． B．C． D．【试题来源】贵州省凯里市第一中学2021-2022学年高二上学期期中考试【答案】C【分析】由二次根式有意义和对数式有意义可得．【解析】由题意，．故选C．9．函数的定义域为A． B．C． D．【试题来源】陕西省咸阳市泾阳县2020-2021学年高一上学期期中【答案】D【分析】根据对数的真数大于零，偶次方根的被开方数非负数，得到不等式组，解得即可；【解析】因为，所以，解得，故函数的定义域为故选D10．函数与（且）在同一坐标系中的图象可以是A． B．C． D．【试题来源】广东省深圳市第二高级中学2021-2022学年高一上学期11月测试【答案】B【分析】根据题意，对进行分类讨论，当和当时，根据指数函数和对数函数的图象和性质进行分析，结合选项即可得解．【解析】由题可知，函数与，且，若时，则，所以在上单调递增，且过点，在单调递减，且过点，故B选项符合题意；若，则，所以在上单调递减，且过点，在单调递增，且过点，没有符合题意的选项．故选B．11．设，，，则，，大小关系为A． B．C． D．【试题来源】四川省资阳市2021-2022学年高三第一次诊断考试【答案】B【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断可得；【解析】因为，所以，即，又，即，所以；故选B12．设，，，则，，大小关系为A． B．C． D．【试题来源】四川省资阳市2021-2022学年高三第一次诊断考试【答案】D【分析】根据对数函数的图象与性质，分别求得的取值范围，即可求解．【解析】根据对数函数的运算性质，可得，所以；由，因为，所以，又由，可得，所以，所以．故选D．13．已知，则A． B．C． D．【试题来源】四川省眉山市仁寿县仁寿第一中学校南校区2021-2022学年高一上学期期中【答案】B【分析】根据对数函数的单调性，可比较与的大小关系，由此可得出结论．【解析】，，，，，故选B14．函数的单调增区间是A． B．C． D．【试题来源】广东省深圳市深圳中学2021-2022学年高一上学期期中【答案】B【分析】先求出函数的定义域，再根据对数型复合函数的单调性规律可得答案．【解析】函数的定义域满足，解得或所以函数的定义域为或要求函数的单调增区间，即求在定义域内的增区间．由二次函数的性质可得在上单调递增．故选B15．已知，则以下结论中正确的是A．； B．；C．； D．．【试题来源】沪教版（2020）必修第一册达标检测第四章4．3对数函数【答案】C【分析】结合函数的单调性即可判断．【解析】因为函数在上单调递减，且，故，故选C．16．已知对数函数，且在区间上恒有，则实数a的取值范围是A．； B．；C．； D．．【试题来源】沪教版（2020）必修第一册达标检测第四章4．3对数函数【答案】C【分析】根据对数函数的性质可得，利用对数函数的单调性可得，利用对数的运算解不等式即可．【解析】因为时，恒成立，所以，因此在其定义域上是严格减函数．于是当时，函数的值域为，则，所以，即，故．故选C．17．已知，，，则A． B．C． D．【试题来源】吉林省长春外国语学校2021-2022学年高三上学期期中考试【答案】B【分析】由指数函数的知识可得，由对数函数的知识可得，即可选出答案．【解析】因为，，所以故选B18．函数f（x）=1n（x2-2x-8）的单调递增区间是A．（-，-2） B．（-，1）C．（1，+） D．（4，+）【试题来源】四川省德阳市第五中学2021-2022学年高一年上学期第二次月考【答案】D【分析】令，求得定义域，再利用复合函数的单调性求解．【解析】令，解得或，且t在上递减，在上递增，又在上递增，所以由复合函数的单调性知函数f（x）=1n（x2-2x-8）的单调递增区间是（4，+），故选D.19．已知，那么等于A． B．C． D．【试题来源】湘教版（2019）必修第一册突围者第4章【答案】C【分析】利用对数运算性质求出，再代入计算即可．【解析】由条件知，所以，即，所以．故选C．20．若实数a，b，c满足，则下列式子正确的是A． B．C． D．【试题来源】湘教版（2019）必修第一册突围者第4章【答案】A【分析】由指对互化的性质分别表示出，结合对数运算性质即可得解．【解析】由已知得，则，，，所以，，，因为，代换得，所以．故选A．21．已知，则的值为A． B．C． D．【试题来源】北京师范大学附属实验中学2021-2022学年高一上学期期中【答案】D【分析】根据对数恒等式及幂的运算性质计算可得；【解析】因为，所以，故选D22．设，则．A． B．C． D．【试题来源】上海市上海中学2021-2022学年高一上学期期中【答案】D【分析】根据，利用换底公式求解．【解析】因为，所以，所以，故选D23．设2a＝5b＝m，且＝2，则m等于A． B．10C． D．20【试题来源】新疆喀什地区莎车县第一中学2022届高三上学期期中【答案】A【分析】推导出a＝log2m，b＝log5m，从而＝logm2+logm5＝logm10＝2，由此能求出结果．【解析】因为2a＝5b＝m>0，且＝2，所以a＝log2m，b＝log5m，所以＝logm2+logm5＝logm10＝2，所以m2＝10，解得m＝．故选A．24．已知函数是定义在R上的偶函数，且在上单调递减，则下列三个数，，，的大小关系为A． B．C． D．【试题来源】广西河池市八校2020-2021学年高一下学期第一次联考【答案】C【分析】首先判断，和的大小，再结合函数的性质，比较大小．【解析】因为，，，所以因为函数是偶函数，所以因为，且函数在上单调递减，所以函数在区间单调递增，所以．故选C25．已知，，，则有A． B．C． D．【试题来源】山西省长治市第二中学2022届高三上学期第三次练考【答案】A【分析】根据对数运算法则将和转换后进行比较即可．【解析】因为，，，所以，即．因为，，所以，即．所以．故选A26．中国古代十进制的算筹计数法在世界数学史上是一个伟大的创造．据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国初年，算筹计数的方法是个位､百位､万位……的数按纵式的数码摆出：十位､千位､十万位……的数按横式的数码摆出．如7738可用算筹表示．纵式横式1-9这9个数字的纵式与横式的表示数码如图所示，则图片表示的结果和下列相同的是A． B．C． D．【试题来源】云南师范大学附属中学2021-2022年高一上学期期中考【答案】B【分析】根据题意，判断出表示的数字，然后考察各选项计算后的值是否符合．【解析】根据题意，判断出表示的数字为729，，不符合题意；，符合题意；个位数字为1，不符合题意；，不符合题意．故选B27．声音大小(单位为分贝)取决于声波通过介质时，所产生的压力变化(简称声压，单位为)．已知声音大小与声压的关系式为，且根据我国《城市区域环境噪音标准》规定，在居民区内，户外白昼噪声容许标为50分贝，夜间噪声容许标准为40分贝，则居民区内，户外白昼噪声容许标准的声压是户外夜间噪声容许标准的声压的（）倍A． B．C．10 D．20【试题来源】山东省德州市2021-2022学年高三上学期期中【答案】A【分析】利用指数与对数的互化以及指数的运算性质即可求解．【解析】声音大小与声压的关系式为，当时，，即，解得，当时，，即，解得，所以户外白昼噪声容许标准的声压是户外夜间噪声容许标准的声压比为．故选A28．若函数，则A． B．C． D．【试题来源】四川省眉山市仁寿县仁寿第一中学校南校区2021-2022学年高一上学期期中【答案】D【分析】判断的范围，结合分段函数的解析式以及指数、对数的运算化简整理即可求出结果．【解析】因为，即，所以，故选D．29．将（且）转化为对数形式，其中错误的是A． B．C． D．【试题来源】沪教版（2020）必修第一册达标检测第三章章测试【答案】D【分析】根据对数式与指数式的关系可得答案．【解析】根据对数式与指数式的关系，若，则，即，所以A正确；若，则，即，所以B正确；若，则，即，所以C正确；由得，与已知不等，所以D错误．故选D．30．若实数x、y满足（，且），则的值为A． B．2C． D．1【试题来源】沪教版（2020）必修第一册达标检测期中测试【答案】D【分析】利用对数运算的性质可得到结果【解析】由已知，，所以，，所以，，得．故选D．31．函数的单调递增区间为A． B．C．（1，3） D．（-1，1）【试题来源】福建省泉州市四校（永春一中、培元中学、季延中学、石光中学）2022届高三上学期第一次联考【答案】D【分析】先求得函数的定义域，结合二次函数的单调性以及对数函数单调性，求得的单调增区间．【解析】由，解得，所以的定义域为．二次函数的开口向下，对称轴为．所以在区间上递增，在区间上递减．在区间上递增．根据复合函数单调性同增异减可知，函数的单调递增区间为故选D32．对数函数(，且)与二次函数在同一坐标系内的图象可能是A． B．C． D．【试题来源】湘教版（2019）必修第一册突围者第4章【答案】A【分析】分别讨论和时，的单调性和的开口方向以及对称轴在轴的哪一侧即可求解．【解析】若，则函数在上单调递减，又函数的图象开口向下，对称轴为直线，则对称轴在轴左侧，故CD错误；若，则函数在上单调递增，又函数的图象开口向上，且对称轴为直线，则对称轴在轴右侧，故B错误，A正确．故选A．33．已知函数区间上恒有，则实数a的取值范围是A． B．C． D．【试题来源】湘教版（2019）必修第一册突围者第4章第三节课时2对数函数的图象与性质【答案】A【分析】分，，利用复合函数的单调性，得到函数的单调性，然后根据函数在区间上恒有，由求解．【解析】当时，函数在区间上单调递减，所以，即，解得，故；当时，函数在区间上单调递增，所以，即，解得（舍去），综上，实数a的取值范围是．故选A．34．已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为A． B．C． D．【试题来源】广东省广州市二中2021-2022学年高二上学期期中【答案】B【分析】根据对数型复合函数的区间单调性，结合对数函数、二次函数的性质确定单调区间，进而求a的取值范围．【解析】令，开口向上且对称轴为，当，即时，在上递减，上递增(注意时单调区间处可取闭)；当，即或时，若有，所以在上递减，上递增；又在定义域上递减，要使在上单调递增，所以时，可得；或时，有，可得．综上，．故选B35．若，，，则A． B．C． D．【试题来源】山西省太原市第五中学2022届高三上学期第四次模块诊断【答案】C【分析】先根据指数幂运算和对数运算得，，，进而借助中间量比较与的大小即可得答案．【解析】因为，，所以只需比较与的大小即可．因为，所以故选C36．已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是A． B．C． D．【试题来源】浙江省宁波市镇海中学2021-2022学年高一上学期期中【答案】C【分析】利用复合函数的单调性及函数的定义域可得，即得．【解析】因为函数在上单调递减，所以函数在在上单调递增，且恒成立，所以或．故选C．37．设，，则A． B．C． D．【试题来源】福建省龙岩第一中学2021届高三上学期第三次月考【答案】A【分析】由指数幂与对数的互化，得到，，根据对数的运算性质，化简得到，得到，即可求解．【解析】根据指数幂与对数的互化，可得，，所以，又由，所以，即，所以．故选A．38．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，国家有关规定：驾驶员血液中的酒精含量大于或等于，小于的驾驶行为为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了．如果停止喝酒后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过（）小时才能驾驶．（参考数据，）A．3 B．5C．7 D．9【试题来源】山东师范大学附属中学2021-2022学年高三上学期第二次月考【答案】B【分析】设他至少经过个小时才能驾驶汽车，则，解出的范围即可求解．【解析】设他至少经过个小时才能驾驶汽车，则，，又为减函数，，他至少经过5个小时才能驾驶汽车，故选B39．已知函数的表达式为．若且，则的取值范围为A． B．C． D．【试题来源】沪教版（2020）必修第一册达标检测第四章章测试【答案】D【分析】由对数的运算性质与基本不等式求解即可【解析】因为，所以，故或．若，则（舍去）；若，则，又，所以，因此（等号当且仅当，即时成立），即的取值范围是．故选D．40．如果在实数运算中定义新运算“”：．那么对于任意实数a、b、c，以下结论中不一定成立的是A． B．C． D．【试题来源】沪教版（2020）必修第一册达标检测期末测试【答案】B【分析】计算出和可判断A；利用可判断B；计算出、可判断C；计算出、可判断出D．【解析】A中，，，得，所以A一定成立；B中，当时，，而，所以B不一定成立；C中，，，所以C一定成立；D中，，，所以D一定成立．故选B．二、多选题1．下列指数式与对数式的互化中正确是A．100＝1与lg1＝0 B．＝与log27＝－3C．log39＝2与32＝9 D．log55＝1与51＝5【答案】ACD【分析】根据指数运算和对数运算的法则，相互转化逐项判断即可．【解析】B选项中，＝⇔log27＝－．故选ACD2．若，，则下列表达正确的是A． B．C． D．【试题来源】海南省三亚华侨学校（南新校区）2022届高三10月月考【答案】AB【分析】由对数函数和指数函数、幂函数的性质判断．【解析】因为，所以函数在上单调递减，因为，所以，所以，即，所以选项A正确，选项B正确，因为幂函数在上单调递增，且，所以，所以选项C错误，因为指数函数在R上单调递减，且，所以，所以选项D错误，故选AB．3．声强级（单位：）与声强（单位：）之间的关系是，其中指的是人能听到的最低声强，对应的声强级称为闻阈．人能承受的最大声强为，对应的声强级为，称为痛阈．某歌唱家唱歌时，声强级范围为（单位：）．下列选项中正确的是A．闻阈的声强级为B．此歌唱家唱歌时的声强范围（单位：）C．如果声强变为原来的倍，对应声强级也变为原来的倍D．声强级增加，则声强变为原来的倍．【试题来源】浙江省杭州市桐庐中学2021-2022学年高一创新班上学期10月阶段性测【答案】ABD【分析】根据已知条件先计算出，然后再根据的变化确定的变化确定正确选项．【解析】因为，时，，带入公式得，A：时，，故A正确；B：由题意，即，因此，解得，故B正确；C：当变为时，代入有，故C错误；D：设声强变为原来的倍，则，解得，故D正确；故选ABD．4．已知是偶函数，在上是减函数，则下列给出的的取值范围中，能使得成立的有A． B．C． D．【试题来源】广东省深圳市第二高级中学2021-2022学年高一上学期11月测试【答案】AC【分析】根据偶函数的性质和函数的单调性，由转化得出，再根据对数的运算，解不等式求得的解集，再结合选项从而得出答案．【解析】是偶函数，且在上是减函数，在上是增函数，由于，则，所以，解得，所以的解集为，因为，，所以结合选项可知，能使得成立的有和．故选AC．5．历史上数学计算方面的三大发明为阿拉伯数字、十进制和对数，常用对数曾经在化简计算上为人们做过重大贡献，而自然对数成了研究科学、了解自然的必不可少的工具．现有如下四个关于对数的运算，其中正确的是A． B．C． D．【试题来源】广东省茂名市2021届五校联盟高三下学期第三次联考【答案】ABD【分析】根据对数的运算法则逐个判断即可【解析】由对数运算规律可知，，所以A正确；，所以B正确；，所以C错误；，所以D正确．故选ABD．6．若，则下列结论正确的是A． B．C． D．【试题来源】湖南省邵阳市邵东市第三中学2020-2021学年高一上学期第三次月考【答案】ABD【分析】指数式改为对数式，然后由对数的运算计算后判断．【解析】由题意，，，，故选ABD．7．已知，则A． B．C． D．【试题来源】广东省广州市真光中学2021-2022学年高一上学期期中【答案】ABC【分析】通过换底公式，再结合对数的运算性质即可得到答案．【解析】由题意，，所以，A正确；，B正确；，C正确；，D错误．故选ABC．8．已知正实数x，y，z满足，则下列正确的选项有A． B．C． D．【试题来源】浙江省宁波市镇海中学2021-2022学年高一上学期期中【答案】BD【分析】设，把指数式改写为对数式，利用对数的运算法则判断．【解析】设，则，，，所以．所以．故选BD．9．下列指数式与对数式互化正确的是A．与 B．与C．与 D．与【试题来源】北京市广渠门中学2021-2022学年高一上学期期中质量检测【答案】BD【分析】根据指数式与对数式的互化公式，依次验证每个选项即可得解．【解析】对于A，可化为，故不正确；对于B，可化为，故正确；对于C，可化为，故不正确；对于D，可化为，故正确．故选BD10．已知函数，则A．在上的最大值为 B．在上单调递增C．在上无最小值 D．的图象关于直线对称【试题来源】河北省保定市博野县实验中学2020-2021学年高一上学期12月月考【答案】ACD【分析】化简函数的解析式，求函数的定义域，利用对数函数的性质，以及复合函数单调性的判断条件逐项判断，即可得出结果．【解析】由题意得，，由得，函数的定义域为令，则，二次函数开口向下，其对称轴为直线，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，又函数在上单调递增，由复合函数的单调性，可得在上单调递增，在上单调递减，因为时，，即，所以在上的最大值为，无最小值，故A、C正确，B错误；因为，，即，所以的图象关于直线对称，故D正确．故选ACD．11．已知函数，下列四个命题正确的是．A．函数为偶函数B．若，其中，，，则C．函数在上为单调递增函数D．若，则【试题来源】重庆市开州中学等名校联盟2022届高三上学期第一次联合考试【答案】ABD【分析】根据偶函数的定义即可判断A；由，，，可得，再根据对数的运算即可判断B；求出函数的定义域即可判断C；由，可得，则，再利用作差法即可判断D．【解析】函数对于A，，，所以函数为偶函数，故A正确；对于B，若，其中，，，所以，，即，得到，故B正确；对于C，函数，由，解得，所以函数的定义域为，因此在上不具有单调性，故C错误；对于D，因为，，，故，故D正确．故选ABD．12．表示不超过的最大整数，下列说法正确的是A．B．，C．D．【试题来源】广东省汕头市潮阳区2020-2021学年高一上学期期末【答案】ACD【分析】利用取整函数的概念和对数的运算法则即可求解．【解析】选项A：因为不超过的最大整数为，所以，所以选项A正确；选项B：因为对，，所以；当时，，所以选项B错误；选项C：因为，所以，所以选项C正确；选项D：，因为，所以，，因为，所以，，，因为，所以，，，因为，所以，，，因为，所以，，，所以，所以选项D正确．故选ACD．13．已知正数、满足，则下列说法中正确的是A． B．C． D．【试题来源】湖北省武汉市光谷第二高级中学2020-2021学年高二下学期6月月考【答案】ABC【分析】把指数式化成相应的对数式，运用对数的运算法则及换底公式和基本不等式可求得结果．【解析】，令，则，，．，故A正确；，故B正确；，故C正确；，，因为，所以，即，故D错误．故选ABC．14．设都是正数，且，那么A． B．C． D．【试题来源】浙江省杭州市学军中学2021-2022学年高一上学期期中【答案】AC【分析】由指数式与对数式关系化为对数式，再由对数的运算法则判断．【解析】设则，，，，即，C正确；所以，A正确，B错误；，，，即，D错．故选AC．15．已知互不相等的三个实数a，b，c都大于1，且满足，则a，b，c的大小关系可能是A． B．C． D．【试题来源】江苏省南京市金陵中学2021-2022学年高三上学期10月阶段检测【答案】AB【分析】化简，构造关于x的方程，考虑判别式大于等于零；再构造函数讨论零点和对称轴位置，判断a，b，c的大小关系．【解析】由已知，，即．则关于x的方程有正实根，所以．因为，则，所以．设，则二次函数的关于直线对称，且，．若是的一个较小零点，则，即；若是的一个较大零点，则，即．故选AB．三、填空题1．已知，则用m表示____________．【试题来源】沪教版（2020）必修第一册达标检测期末测试【答案】．【分析】利用对数的运算性质和换底公式可求得结果【解析】因为，所以，故答案为2．函数的定义域为____________．【试题来源】沪教版（2020）必修第一册达标检测第五章5．1函数【答案】【分析】由二次根式的被开方数非负和对数的真数大于零，列不等式组，可求得答案【解析】由题意得，解得，所以函数的定义域为，故答案为3．已知对数函数（且）的图象经过点，则实数____________．【试题来源】沪教版（2020）必修第一册达标检测第四章4．3对数函数【答案】2【分析】将点代入对数函数解析式计算即可．【解析】由题意知，，所以，得．故答案为24．已知，，且，则实数a的取值范围是____________．【试题来源】沪教版（2020）必修第一册达标检测第四章4．3对数函数【答案】【分析】根据对数函数的单调性直接判断．【解析】对于对数函数，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减．因为，所以．故答案为．5．已知函数，当时，函数的最大值比最小值大4，则实数____________．【试题来源】沪教版（2020）必修第一册达标检测第四章4．3对数函数【答案】4【分析】根据对数函数的单调性求出函数的最大值和最小值，结合题意列出等式，计算即可．【解析】因为在上是严格减函数，所以，即且，解得．故答案为46．计算：____________．【试题来源】四川省眉山市仁寿县仁寿第一中学校南校区2021-2022学年高一上学期期中【答案】2【分析】利用对数的基本运算公式即可求解．【解析】由对数的基本运算得故答案为．7．若，，且，则____________．【试题来源】沪教版（2020）必修第一册达标检测第三章章测试【答案】0【分析】根据对数的运算法则计算．【解析】由已知，所以，所以．故答案为08．____________．【试题来源】沪教版（2020）必修第一册达标检测第三章章测试【答案】13【分析】利用对数运算公式，化简求得所求表达式的值．【解析】原式．故答案为13．9．____________．【试题来源】浙江省浙南名校联盟2021-2022学年高一上学期期中联考【答案】【分析】利用指数和对数的运算求解．【解析】，，．故答案为10．函数的定义域是____________．【试题来源】陕西省西安中学2021-2022学年高三上学期艺考生期中【答案】【分析】列出，解不等式即可．【解析】要使函数函数有意义，则，即解得，即故函数的定义域为.故答案为11．已知常数且，假设无论a为何值，函数的图象恒经过一个定点，则这个点的坐标为____________．【试题来源】沪教版（2020）必修第一册达标检测第四章章测试【答案】．【分析】利用对数函数性质可知，令即可求出的图象恒过的定点的坐标．【解析】因为的图象必过，即，当，即时，，从而图象必过定点．故答案为．12．函数的单调递增区间为____________．【试题来源】四川省泸州市泸县第五中学2021-2022学年高一上学期期中考试【答案】【分析】求出函数的定义域，在定义域内由复合函数的单调性得出结论．【解析】，解得，是增函数，因此需要求的增区间，易知在定义域内，的增区间是，所以所求增区间为．故答案为．13．已知在区间上单调递减，则实数的取值范围是____________．【试题来源】广东省深圳市第二高级中学2021-2022学年高一上学期11月测试【答案】【分析】根据题意，设，由复合函数的单调性可知函数在区间上单调递增，根据二次函数的图象和性质得出，解不等式即可求出的取值范围．【解析】由题可知，在区间上单调递减，设，而外层函数在定义域内单调递减，则可知内层函数在区间上单调递增，由于二次函数的对称轴为，由已知，应有，且满足当时，，即，解得，所以实数的取值范围是．故答案为．14．函数的单调递减区间是____________．【试题来源】山西省稷山中学2021-2022学年高一上学期第二次月考【答案】【分析】先求得函数的定义域，然后根据这个二次函数的对称轴，结合复合函数同增异减来求得函数的减区间．【解析】令，令，解得，而的图象的对称轴为，故在上单调递增，在上单调递减，又递减，所以根据复合函数单调性原则得函数的单调递减区间是．故答案为15．已知，则关于x的不等式的解集是____________．【试题来源】沪教版（2020）必修第一册达标检测第四章4．3对数函数【答案】【分析】结合已知条件，利用对数函数的单调性和对数型函数的定义域即可求解．【解析】因为，所以在上是单调递减函数，因此可得解得，所以原不等式的解集为．四、解答题1．已知函数．（1）若，求的值；（2）记函数，求的值域．【试题来源】浙江省浙南名校联盟2021-2022学年高一上学期期中联考【答案】（1），（2）【分析】（1）根据对数的运算性质即可解出；（2）根据对数函数的单调性以及基本不等式即可求出．【解析】（1）因为，所以，解得．（2），设，则，当且仅当即时取等号，所以的值域为．2．设a、b、c是直角三角形的三边长，其中c为斜边长，且．求证