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文档简介

专题4.3函数的应用(二)1.函数的零点与方程的根之间的联系函数的零点就是方程的实数根,也就是函数的图象与x轴的交点的横坐标即方程有实数根⇔函数的图象与x轴有交点⇔函数有零点.2.函数零点的判定如果函数在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有,那么,函数在区间内有零点,即存在c∈(a,b),使得,这个也就是方程的根.3.函数零点的常用结论(1)若连续不断的函数是定义域上的单调函数,则至多有一个零点;(2)连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号;(3)函数有零点方程有实数根函数与的图象有交点;(4)函数有零点方程有实数根函数与的图象有交点,其中为常数.4.函数零点的判定方法(1)定义法(定理法):使用零点存在性定理,函数必须在区间[a,b]上是连续的,当时,函数在区间(a,b)内至少有一个零点.(2)方程法:判断方程是否有实数解.(3)图象法:若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成,则可考虑用图象法求解,如,作出和的图象,其交点的横坐标即为函数f(x)的零点.5.判断函数零点个数的方法(1)解方程法:令f(x)=0,如果能求出解,则有几个解就有几个零点.(2)零点存在性定理法:利用定理不仅要求函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)·f(b)<0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质.(3)数形结合法:转化为两个函数的图象的交点个数问题,先画出两个函数的图象,看其交点个数,其中交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点.6.函数零点的应用(1)已知函数零点所在区间求参数或参数的取值范围根据函数零点或方程的根求解参数的关键是结合条件给出参数的限制条件,此时应分三步:①判断函数的单调性;②利用零点存在性定理,得到参数所满足的不等式;③解不等式,即得参数的取值范围.在求解时,注意函数图象的应用.(2)已知函数零点的个数求参数或参数的取值范围一般情况下,常利用数形结合法,把此问题转化为求两函数图象的交点问题.(3)借助函数零点比较大小或直接比较函数零点的大小关系要比较f(a)与f(b)的大小,通常先比较f(a)、f(b)与0的大小.若直接比较函数零点的大小,则可有以下三种常用方法:①求出零点,直接比较大小;②确定零点所在区间;③同一坐标系内画出函数图象,由零点位置关系确定大小.一、单选题1.果农采摘水果,采摘下来的水果会慢慢降低新鲜度.已知某种水果降低的新鲜度y与其采摘后时间x(天)满足的函数关系式为.若采摘2天后,这种水果降低的新鲜度为20%;采摘3天后,这种水果降低的新鲜度为40%.则采摘下来的这种水果降低的新鲜度为70%需要经过A.4天 B.4.5天C.5天 D.5.5天2.二次函数的零点是A., B.,1C., D.,3.在用“二分法”求函数零点近似值时,第一次所取的区间是,则第三次所取的区间可能是A. B.C. D.4.若函数在区间[a,b]上满足,则在区间(a,b)上A.有且仅有一个零点 B.至少有一个零点C.至多有一个零点 D.可能没有零点5.已知一元二次方程的两根都在内,则实数的取值范围是A. B.C. D.6.若数若关于的方程恰有两个不同实数根,则实数的取值范围为A. B.C. D.7.已知函数,若关于的方程有两个不同的实数根,则实数的取值范围为A. B.C. D.8.函数的零点所在区间是A. B.C. D.9.“双11”就要到了,电商的优惠活动很多,某同学借助于已学数学知识对“双11”相关优惠活动进行研究.已知2021年“双11”期间某商品原价为元,商家准备在节前连续2次对该商品进行提价且每次提价,然后在“双11”活动期间连续2次对该商品进行降价且每次降价.该同学得到结论:最后该商品的价格与原来价格元相比A.相等 B.略有提高C.略有降低 D.无法确定10.下列函数中,在定义域内单调递增,且在区间内有零点的函数是A. B.C. D.11.已知函数,则“函数在上有零点”是“”的条件A.充分而不必要 B.必要而不充分C.充要 D.即不充分也不必要12.已知方程有两根,一根在,而另一根在,则实数的取值范围为A. B.C. D.13.Logistic模型是常用的数学模型之一,可应用于流行病学领域,有学者根据公布的数据建立某地区流感累计确诊病例数(的单位:天)的模型:,其中为最大确诊病例数,为非零常数,当时,的值为A. B.C. D.14.已知函数有唯一的零点,则实数a的值为A.1 B.-1C.0 D.-215.某物体飞行的轨迹是抛物线,上升高度h(单位:米)与时刻t(单位:秒)满足函数关系(a,b,c是常数),下图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据,可以得到高度最高时的时刻为A.3.50秒 B.3.75秒C.4.00秒 D.4.25秒16.某工厂生产的废气经过滤后排放,过滤过程中废气的污染物含量(单位:mg/L)与时间(单位:h)的关系为(,是正的常数).如果在前5h消除了10%的污染物,那么污染物减少50%需要花多少时间(精确到1h,参考数据lg2≈0.301,lg3≈0.477)A.31h B.33hC.35h D.37h17.某种药物需要2个小时才能全部注射进患者的血液中.在注射期间,血液中的药物含量以每小时的速度呈直线上升;注射结束后,血液中的药物含量每小时以的衰减率呈指数衰减.若该药物在病人血液中的含量保持在以上时才有疗效,则该药物对病人有疗效的时长大约为(参考数据:,,,)A.2小时 B.3小时C.4小时 D.5小时18.已知方程有解,则实数a的取值范围是A. B.C. D.19.Logistic模型是常用数学模型之一,可用于流行病学领域.有学者根据所公布的数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例(的单位:天)的Logistic模型:,其中为最大确诊病例数.当时,标志着已初步遏制疫情,则约为A.35 B.36C.60 D.4020.青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量,通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L和小数记录表的数据V满足:,已知某同学视力的五分记录法数据为4.9,则其视力的小数记录法最接近的数据为A.1.5 B.1.2C.0.8 D.0.621.若对于定义在上的函数,当且仅当存在有限个非零自变量,使得,则称为类偶函数,若函数为类偶函数,则的取值范围为A. B.C. D.22.已知函数若互不相等,且,则的取值范围是A. B.C. D.23.已知函数的零点在区间上,则A.1 B.2C.3 D.424.下列函数中能说明“若函数满足,则在内不存在零点”为假命题的函数是A. B.C. D.25.设,函数,若在区间内恰有4个零点,则a的取值范围是A. B.C. D.26.三星堆遗址被称为20世纪人类最伟大的考古发现之一,其出土文物是宝贵的人类文化遗产,在人类文明发展史上占有重要地位.2021年,“沉睡三千年,一醒惊天下”的三星堆遗址的重大考古发现再一次惊艳世界.为推测文物年代,考古学者通常用碳测年法推算(碳测年法是根据碳的衰变程度计算出样品的大概年代的一种测量方法).2021年,考古专家对某次考古的文物样本上提取的遗存材料进行碳年代测定,检测出碳的残留量约为初始量的,已知碳的半衰期是5730年(即每经过5730年,遗存材料的碳含量衰减为原来的一半).以此推算出该文物大致年代是(参考数据:,)A.公元前1600年到公元前1500年 B.公元前1500年到公元前1400年C.公元前1400年到公元前1300年 D.公元前1300年到公元前1200年27.,若,且,则的取值范围A. B.C. D.28.鲜花店鲜花的售价随进价的变化而变化.已知某鲜花店鲜花A在第一天的进价为4元/枝.售价为10元/枝,并规定从第二天起,该鲜花当日售价的涨跌幅是当日进价的涨跌幅的50%.注:,当日售价的涨跌幅.每枝花的当日差价=当日出价-当日进价.鲜花A进价与售价表第一天第二天第三天第四天第五天进价(元/枝)489.64.86.72售价(元/枝)101516.5xy以下结论正确的是A. B.C.这5天内鲜花A第二天的当日差价最大 D.这5天内鲜花A第一天的当日差价最小29.设函数,若,且,则的取值范围是A. B.C. D.30.若函数在区间上有零点,则实数a的取值范围是A. B.C. D.31.已知函数,若关于的方程()有三个不相等的实数根,且,则的值为A. B.C. D.32.下列命题正确的为①;②集合子集的个数为4;③方程有2个解;④A.①② B.②③④C.①③ D.②④33.若关于x的方程有解,则实数a的取值范围是A.[0,1) B.[1,2)C.[1,+∞) D.(2,+∞)34.已知,,设函数,若对任意的实数,都有在区间上至少存在两个零点,则A.,且 B.,且C.,且 D.,且35.设函数,有四个实数根,,,,且,则的取值范围是A. B.C. D.二、多选题1.下列说法中正确的是A.函数,的零点为B.函数的零点为0C.函数的零点即函数的图象与x轴的交点D.函数的零点即方程的实数根2.在数学中,布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理,它可运用到有限维空间,并构成了一般不动点定理的基石.布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L.E.J.Brouwer).简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数,存在实数,使得,那么我们就称该函数为“不动点”函数.下列函数为“不动点”函数的是A. B.C. D.3.关于函数,正确的说法是A.方程仅有一个解 B.的定义域为C.在上单调递减 D.的图象关于点对称4.为预防流感病毒,我校每天定时对教室进行喷洒消毒.当教室内每立方米药物含量超时能有效杀灭病毒.已知教室内每立方米空气中的含药量y(单位:)随时间x(单位:h)的变化情况如图所示:在药物释放过程中,y与x成正比:药物释放完毕后,y与x的函数关系式为(a为常数),则下列说法正确的是A.当时, B.当时,C.教室内持续有效杀灭病毒时间为0.85小时 D.喷洒药物3分钟后才开始有效灭杀病毒5.下列函数中,既是偶函数又存在零点的是A.B.C. D.6.已知函数f(x)的图象连续不间断,x,f(x)的对应值如下表:x12345f(x)13615-310-52则含有函数f(x)的零点的区间有A.(1,2) B.(2,3)C.(3,4) D.(4,5)7.已知函数,若关于的方程有4个不同的实根,则实数可能的取值有A.4 B.C. D.8.已知函数,实数a,b,c满足,且,若实数是函数f(x)的一个零点,则下列结论可能成立的是A. B.C. D.9.函数恰有2个零点的充分条件是A. B.C. D.10.已知函数,若关于的方程有四个不相等的实根,则的值可以是A. B.C. D.0三、填空题1.若函数有一个零点是2,则函数的零点是____________.2.若函数的图象关于直线对称,且共有3个零点,则所有零点之和为____________.3.若函数不存在零点,则实数a的取值范围是____________.4.如果在实数运算中定义新运算“”:当时,;当时,.那么函数的零点个数为____________.5.小程入职时的年薪为10万元,若他在岗位上表现优异,则每年他的年薪可以获得最多15%的涨幅.为了使自己的年薪超过20万元,小程最少需要奋斗____________年.6.函数的零点为____________.7.已知函数在区间上有零点,则实数a的取值范围是____________.8.已知,若函数有两个零点,则实数的取值范围是____________.9.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当时,,则函数的零点个数为____________.10.已知是定义在上的奇函数,当时,,若方程有个不同的实数根,则实数的取值范围为____________.11.已知函数,如果关于的方程有两个不同的实根,那么实数的取值范围是____________.12.若函数有且仅有1个零点,则实数a的取值范围____________.13.某一处的声强级,是指该处的声强度I(单位:)与基准值的比值的常用对数,其单位为贝尔(B).实际生活中一般用1贝尔的十分之一,即分贝(dB)来作为声强级的单位.公式为声强级.如果某工厂安静环境中一台机器(声源)单独运转时,发出的噪声声强级为80分贝,那么两台相同的机器一同运转时(声强度为原来的2倍),发出的噪声声强级为____________分贝.(精确到0.1分贝)14.若函数有且仅有个零点,则实数____________.15.已知函数,若关于x的方程f(x)=a有四个不同的解,且,则的取值范围是____________.四、解答题1.求下列函数的零点:(1);(2);(3).2.已知函数,其中.(1)当时,求函数的零点;(2)当时,解关于x的不等式;(3)如果对任意实数x恒成立,证明:.3.函数仅有一个负零点,求实数m的取值范

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