专题5.4 三角函数的图象与性质（解析版）

专题5.4三角函数的图象与性质1．正弦函数,余弦函数,正切函数的图象与性质函数图象定义域值域最值当时，；当时，．当时，；当时，．既无最大值，也无最小值周期性最小正周期为最小正周期为最小正周期为奇偶性,奇函数，偶函数，奇函数单调性在上是增函数；在上是减函数．在上是增函数；在上是减函数．在上是增函数．对称性对称中心；对称轴，既是中心对称图形又是轴对称图形.对称中心；对称轴，既是中心对称图形又是轴对称图形.对称中心；无对称轴，是中心对称图形但不是轴对称图形.2．函数的图象的画法（1）变换作图法由函数的图象通过变换得到（A>0,ω>0）的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.如下图.（2）五点作图法找五个关键点，分别为使y取得最小值、最大值的点和曲线与x轴的交点.其步骤为：①先确定最小正周期T=,在一个周期内作出图象；②令,令X分别取0，,,,求出对应的x值，列表如下：由此可得五个关键点；③描点画图，再利用函数的周期性把所得简图向左右分别扩展，从而得到的简图.3．函数（A>0,ω>0）的性质（1）奇偶性：时，函数为奇函数；时，函数为偶函数.（2）周期性：存在周期性，其最小正周期为T=.（3）单调性：根据y=sint和t=的单调性来研究，由得单调增区间；由得单调减区间.（4）对称性：利用y=sinx的对称中心为求解，令，求得x.利用y=sinx的对称轴为求解，令，得其对称轴.一、单选题1．函数在上的递增区间为A． B．C． D．【试题来源】苏教版（2019）必修第一册过关检测【答案】B【分析】根据正弦函数图象求单调区间即可【解析】的递增区间就是的递增区间，由三角函数图象可得在上递减，在上递增，在上递减，故选B．2．已知在区间上的最大值为，则A． B．C． D．【试题来源】苏教版（2019）必修第一册过关检测【答案】A【分析】先求出，再根据解方程即可．【解析】因为，即，又，所以，所以，所以，．故选A．3．函数的一个对称中心的坐标是A． B．C． D．【试题来源】陕西省咸阳市泾阳县2021-2022学年高三上学期期中【答案】D【分析】解方程即得解．【解析】令，令，所以函数的一个对称中心的坐标是．故选D4．已知函数，则的最大值为A． B．3C．4 D．5【试题来源】陕西省咸阳市泾阳县2021-2022学年高三上学期期中【答案】C【分析】化简即得解．【解析】，所以当时，函数取最大值4．故选C5．函数最小正周期为A． B．C． D．【试题来源】北京市第十五中学南口学校2022届高三10月月考【答案】D【分析】根据给定条件直接利用正余弦型函数周期公式计算即得．【解析】因函数，则，，所以函数最小正周期为，故选D6．已知函数，则A．的最小正周期为，对称中心为B．的最小正周期为，对称中心为C．的最小正周期为，对称中心为D．的最小正周期为，对称中心为【试题来源】浙江省宁波市北仑中学2021-2022学年高一（育英班）上学期期中【答案】D【分析】由正切函数的周期性与对称性求解即可【解析】因为函数，所以的最小正周期为，对称中心为，故选D7．函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则的最小值为A． B．C．2 D．3【试题来源】湘教版（2019）必修第一册突围者第5章第四节函数y【答案】A【分析】当时，函数取得最大值，则，可得即可算最小值．【解析】由题意，知当时，函数取得最大值，则，所以，所以，又，所以，故选A．8．已知的最小正周期为，则A． B．C． D．【试题来源】山西省怀仁市2022届高三上学期期中【答案】C【分析】先求出，从而得到函数解析式，再利用特殊角的三角函数值可求的值．【解析】因为最小正周期为，，故，故，所以，所以，故选C．9．函数的一个对称中心是A．（0，0） B．（，0）C．（，0） D．以上选项都不对【试题来源】河北省邯郸市大名县第一中学2022届高三上学期11月月考【答案】B【分析】先求出的对称中心为，利用代入法求解即可．【解析】因为的对称中心为，所以令，当k=1时，，即（，0）为函数的一个对称中心．经检验，其他选项不成立．故选B10．若，，则“”是“”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【试题来源】四川省遂宁市2021-2022学年高三上学期零诊考试【答案】C【分析】根据充分必要条件的定义判断．【解析】成立，在上，是单调增函数，因此由，正确．应为充要条件．故选C．11．在①，②，③，④中，最小正周期为的所有函数为A．①②③ B．②③④C．②③ D．①③【试题来源】四川省广安市广安代市中学校2021-2022学年高一上学期11月月考【答案】C【分析】根据正弦函数，余弦函数，正切函数的周期以及周期公式即可解出．【解析】最小正周期为的所有函数为②③，函数的最小正周期为，函数的最小正周期为．故选C．12．函数y=2cos(2x+)，x[-，]的值域是A． B．C． D．【试题来源】四川省广安市广安代市中学校2021-2022学年高一上学期11月月考【答案】A【分析】令，由x[-，]可得，再由函数的单调性即可解出．【解析】令，因为x[-，]，所以，而函数在上单调递增，在上单调递减，所以，，即函数的值域是．故选A．13．函数的部分图象如图所示，则的解析式为A． B．C． D．【试题来源】安徽省安庆市第二中学2020-2021学年高一上学期10月月考【答案】A【分析】设，结合五点法作图求出各参数值．【解析】设，由图象，，，，，，，，，．故选A．14．若，，则“”是“”的A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【试题来源】四川省遂宁市2021-2022学年高三上学期零诊考试【答案】C【分析】根据充要条件的概念分析命题的关系即可得出答案．【解析】因为函数在区间单调递增，所以，时，，即“”是“”的充分条件；又时，，所以“”也是“”的必要条件，故“”是“”的充要条件，选项C正确故选C．15．下列函数中是奇函数，且最小正周期为π的函数是A．y＝tan2x B．y＝|sinx|C．y＝cos2x D．y＝sin2x【试题来源】广东省揭阳市揭东区2019-2020学年高一下学期期末【答案】D【分析】逐一判断各个选项的奇偶性及最小正周期，即可得出答案．【解析】对于A，函数，，故A不符题意；对于B，函数，定义域为，，所以函数为偶函数，故B不符题意；对于C，函数，定义域为，，所以函数为偶函数，故C不符题意；对于D，函数，，所以函数为奇函数，，故D符合题意．故选D．16．下列区间中是函数的单调递减区间的是A． B．C． D．【试题来源】苏教版（2019）必修第一册过关检测【答案】D【分析】函数的减区间即的单调增区间，根据三角函数的性质得到答案．【解析】因为，所以的单调性与的单调性相反．因为的单调增区间是，所以的单调减区间是．取得D满足．故选D．17．下列区间是函数的单调递减区间的是A． B．C． D．【试题来源】浙江省91高中联盟2021-2022学年高二上学期期中【答案】D【分析】取，得到，对比选项得到答案．【解析】，取，，解得，，当时，D选项满足．故选D．18．已知在内有零点，且在上单调递减，则的取值范围是A． B．C． D．【试题来源】云南省昆明市第一中学2022届高三上学期第四期联考【答案】C【分析】根据可得，再由三角函数的单调区间可得，即求．【解析】，由得，解得，因为在内有零点，所以，解得，又由在上单调递减，解得，所以，故选C．19．的A．最大值为4，最小正周期为 B．最大值为4，最小正周期为C．最小值为0，最小正周期为 D．最小值为0，最小正周期为【试题来源】北京市第四中学2022届高三上学期期中考试【答案】A【分析】将化为，原式化简结合换元法和二次函数性质即可求解．【解析】，函数最小正周期为，令，则原函数等价于，，当时，取到最小值，最大值为，故的最大值为4，最小正周期为．故选A20．若，则函数的零点为A． B．C． D．【试题来源】江西省景德镇市2022届高三第一次质检【答案】D【分析】令求解．【解析】因为，所以，解得或（舍去），则，解得，故选D21．已知函数的部分图象如图所示，且在上恰有一个最大值和一个最小值，则的取值范围是A． B．C． D．【试题来源】江西省景德镇市第一中学2021-2022学年高二（1班）上学期期中【答案】B【分析】根据条件先求出的值，结合在上恰有一个最大值和一个最小值，求出满足条件的解．【解析】由题意知，根据函数的部分图象，因为，且，所以，因为，所以，所以，解得，故选B．22．已知，对任意，都存在使得成立，则下列取值可能的是A． B．C． D．【试题来源】上海市杨浦区2022届高三上学期期中【答案】B【分析】依题意可得，首先求出的值域，从而得到所以是函数的值域的子集，由的取值范围求出，再根据选项一一代入验证即可；【解析】因为任意，都存在使得成立，所以，即因为，，所以，所以，所以是函数的值域的子集，因为，则，当时，，因为，，所以，故不满足条件；当时，，因为，，所以，故真包含于，故满足条件；当时，，因为，，所以，故不满足条件；当时，，因为，所以，故不满足条件；故选B23．对于函数，下列结论正确的是A．是以为周期的函数B．的减区间为C．的最大值为1D．图象的对称轴为【试题来源】山东省山东师范大学附属中学2021-2022学年高三上学期期中【答案】D【分析】由题意先化简解析式，画出其图象，由图象和正弦、余弦函数的性质，分别判断四个命题的真假．【解析】由题意得，画出其图象如下图：由图可得的周期为，A错误；的减区间为和，B错误；的最大值为，C错误；图象的对称轴为，D正确．故选D．24．函数（，）在区间上不可能A．单调递增 B．单调递减C．有最大值 D．有最小值【试题来源】浙江省金华十校2021-2022学年高三上学期11月月考【答案】B【分析】采用赋值法，验证选项的合理性即可．【解析】由题知，，可正可负，不妨令时，时，，在给定区间有增有减，有最大值也有最小值，排除C、D项；当，时，在给定区间单调递增，排除A项．故选B25．已知，若存在使得集合中恰有3个元素，则的取值不可能是A． B．C． D．【试题来源】上海市晋元高级中学2022届高三上学期期中【答案】A【分析】利用赋值法逐项写出一个周期中的元素，再结合三角函数诱导公式判断是否存在符合题意即可．【解析】对A，当，，函数的周期为在一个周期内，对赋值，当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；令时，，所以存在使得时的值等于时的值，时的值等于时的值，时的值等于时的值．但是当等于、、、时，不存在使得这个值中的任何两个相等所以当时，集合中至少有四个元素，不符合题意，故A错误；对B，当，，函数的周期为在一个周期内，对赋值当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；令，所以当时，符合题意，故B正确；对C，当，，函数的周期为在一个周期内，对赋值当时，；当时，；当时，；当时，；令，则，，所以当时，符合题意，故C正确；对D，当，，函数的周期为在一个周期内，对赋值当时，；当时，；当时，；令，，，所以当时，符合题意，故D正确．故选A．【名师点睛】本题一共有三个变量：，，．属于多变量题目，对于该题，要先确定一个变量，再对第二个变量赋值，然后再对第三个变量赋值，以此分类讨论即可．二、多选题1．下列函数中，同时满足：①在上是增函数；②为奇函数；③周期为的函数有A． B．C． D．【答案】AD【分析】对各选项中三角函数的单调性、周期性、奇偶性进行验证，即可得到结果．【解析】因为是周期为，且是奇函数，又在上单调递增函数，可知在上是增函数，故选项A正确；因为是偶函数，故B不满足；因为是周期为的周期函数，故C不满足；因为是奇函数，且周期，令，所以，所以函数的递增区间为，所以函数在上是增函数，故D正确；故选AD．2．如图是函数的部分图象，则下列说法正确的是A． B．是函数的一个对称中心C． D．函数在区间上是减函数【试题来源】广东省广州市协和中学2020-2021学年高二下学期期中【答案】AC【分析】根据图象可得函数周期和最值，根据周期得到，代入最值点得到，进而可得，计算是否为零可判断是否函数的一个对称中心，根据，得到，可判断函数在区间上的单调性．【解析】由图可知，，，故，A正确；则，又，得，因为，，C正确；因为，故不是函数的一个对称中心，B错误；当时，，函数在上不是单调函数，所以函数在区间上也不是单调函数，D错误．故选AC．3．已知函数，则下列结论错误的是A．是偶函数 B．是增函数C．是周期函数 D．的值域为【试题来源】海南热带海洋学院附属中学2021届高三11月第二次月考【答案】ABC【分析】ABC选项考察已知函数的性质，根据二次函数和三角函数的性质可以直接判断；选项D分别求出两段函数的值域，取并集即为函数的值域【解析】选项A中，函数不关于轴对称，所以不是偶函数，A错误；选项B为分段函数的单调性，很明显三角函数不是增函数，B错误；选项C中，二次函数不是周期函数，C错误；选项D中，的值域为，的值域为，所以的值域为，D正确故选ABC4．对于函数，下列说法正确的是A．最小正周期为 B．对称轴方程为C．其图象关于点对称 D．单调增区间是【试题来源】海南热带海洋学院附属中学2021届高三11月第二次月考【答案】ABCD【分析】对于A，利用周期公式求解即可，对于B，由可求出对称轴方程，对于C，由代入函数中检验即可，对于D，由可求得其增区间【解析】对于A，函数的最小正周期为，所以A正确，对于B，由，得，所以对称轴方程为，所以B正确，对于C，因为，所以其图象关于点对称，所以C正确，对于D，由，得，所以单调增区间是，所以D正确，故选ABCD5．已知某物体作简谐运动，位移函数为，且，则下列说法正确的是A．该简谐运动的初相为B．函数在区间上单调递增C．若，则D．若对于任意，，都有，则【试题来源】江苏省南通市海门中学、泗阳中学2021-2022学年高三上学期第二次诊断测试【答案】ACD【分析】根据题意得，再依次讨论各选项即可得答案．【解析】因为，且，所以，即，所以，因为，所以所以，所以对于A选项，简谐运动的初相为，故正确；对于B选项，函数在区间上单调递增，上单调递减，故错误；对于C选项，当时，，所以，即，所以，故正确；对于D选项，对于任意，，都有，则，所以，故正确．故选ACD三、填空题1．已知函数，则的对称中心为___________．【试题来源】四川省遂宁市2021-2022学年高三上学期零诊考试【答案】【分析】将视为一个整体，进而根据正弦函数的对称中心求得答案．【解析】令，则的对称中心为．故答案为．2．函数的最小正周期为，则___________．【试题来源】苏教版（2019）必修第一册过关检测【答案】【分析】根据三角函数的最小正周期的定义及求法，列出方程，即可求解．【解析】由题意，函数的最小正周期为，可得，解得，所以．故答案为3．函数，的值域是___________．【试题来源】苏教版（2019）必修第一册过关检测【答案】【分析】由题意，，可知，再根据正切函数的单调性，即可求出结果．【解析】．因为，所以．由函数在上单调递增，所以，故函数，的值域为．故答案为．4．函数的值域是___________．【试题来源】江西省崇义中学2020-2021学年高一上学期期中考试（B卷）【答案】【分析】利用三角函数的图象和性质结合不等式的性质求解．【解析】由题得．所以函数的值域为．故答案为5．函数的单调递增区间是______．【试题来源】沪教版（2020）必修第二册堂堂清【答案】，【分析】根据余弦函数的单调性，结合复合函数的单调性写出结果即可．【解析】根据复合函数的单调性知，函数的单调增区间对应函数的单调减区间根据余弦函数的单调性知，函数的单调减区间为所以函数的单调增区间为故答案为．6．用“五点法”作函数，的大致图象，所取的五点是___________．【试题来源】沪教版（2020）必修第二册堂堂清【答案】，，，，【分析】利用余弦函数的“五点法”求解即可．【解析】由“五点法”作函数，，的图象时的五个点分别是，，，，．故答案为，，，，．7．已知函数，则的对称中心为___________．【试题来源】四川省遂宁市2021-2022学年高三上学期零诊考试【答案】【分析】利用的对称中心即可求出的对称中心．【解析】因为的对称中心为，所以要求的对称中心，只需令，解得，所以的对称中心为．故答案为8．已知函数（，，）的部分图象如图，则函数的解析式为___________．【试题来源】黑龙江省牡丹江市第三中学2021-2022学年高三上学期第二次月考【答案】【分析】根据图象最值，可求得A值，根据图象可求得最小正周期，进而可得值，根据图象过点，代入求解，结合的范围，可得的值，即可得答案．【解析】由题图可得，，，，则．函数的图象过点，且在点附近递增，，，，．又，则，则．故答案为9．设，则函数的最小值为___________．【试题来源】苏教版（2019）必修第一册过关检测【答案】##【分析】把作为一个整体，利用二次函数的性质得最小值．【解析】．因为，所以．所以当时，．故答案为10．若已知，函数在上单调递增，则的取值范围是___________．【试题来源】苏教版（2019）必修第一册过关检测【答案】【分析】利用余弦函数的单调性得出不等关系．【解析】函数的单调递增区间为，，则，，解得，，又由，且，，得，所以．故答案为．11．设，，，则a，b，c的大小关系为___________．【答案】【分析】用诱导公式化余弦为正弦，然后由正弦函数单调性比较大小，【解析】，，，由正弦函数的单调性可知，即．故答案为．12．设函数，则___________．【答案】【分析】先求出正弦型函数的最小正周期，再由函数解析式分别求出，，的值，最后利用函数的周期性得出，计算后即可得出结果．【解析】由题可知，则的最小正周期为，且，，，，，，，，…，所以．故答案为．13．已知函数，若关于x的方程在上有两个不同的解，则实数m的取值范围是___________．【试题来源】上海市金山区2019-2020学年高一下学期期末【答案】【分析】根据正弦函数的性质求出函数的值域，画出函数图象，依题意与有两个不同的交点，结合函数图象得到不等式组，解得即可；【解析】因为，所以，所以，当时，当时，函数图象如下所示：方程在上有两个不同的解，即方程在上有两个不同的解，即与有两个不同的交点，所以，解得，即故答案为14．与的大小关系是___________．【答案】##【分析】利用诱导公式将角变到同一单调区间，然后利用单调性判断大小．【解析】，．因为，且在内单调递增，所以，所以，即．故答案为．15．函数的单调递增区间是___________．【答案】，【分析】结合函数函数的单调递增区间得到，进而可求出结果．【解析】因为函数的单调递增区间为，所以，即，所以函数的单调递增区间是，，故答案为，．16．若函数，的最小正周期为，且，则的取值范围是______．【答案】【分析】求出函数的周期表达式，再由给定条件列式计算作答．【解析】函数中，，则，因，则，解得，所以的取值范围是．故答案为17．已知函数，，则该函数的图象最高点的纵坐标是______．【答案】1【分析】根据余弦函数的“五点”即可求出．【解析】因为，，所以函数图象的最高点的坐标为和，所以最高点的纵坐标是1．故答案为18．已知函数与函数的图象关于原点对称，则函数的解析式为___________．【答案】【分析】由题可知为奇函数，根据奇函数的定义求解即可．【解析】因为函数与函数的图象关于原点对称，所以，故答案为19．已知函数．给出下列四个结论：①的最小正周期为．②在区间上单调递减．③的最大值为1．④当时，取得极值．以上正确结论的序号是___________．（写出所有正确的序号）【试题来源】北京市朝阳区2022届高三上学期期中质量检测【答案】①③④【分析】化简，利用余弦函数的性质逐一分析即可【解析】因为，所以，故①正确；由可知，所以不单调，故②错误；，故③正确；令，则，即时，取得极值，故④正确．故答案为①③④20．已知函数（）的一个零点是，则的单调减区间是___________．【试题来源】山东省枣庄市滕州市第一中学2021-2022学年高三上学期期中【答案】【分析】由题意求出，再由正弦函数的单调性求解即可【解析】，则或，所以或，因为，则，所以，由得，，所以函数的单调递减区间为故答案为21．函数的单调递增区间是___________．【试题来源】上海市建平中学2022届高三上学期期中【答案】【分析】根据对数真数大于零可确定函数的定义域；根据复合函数单调性的判断方法可得到所求单调递增区间．【解析】由得；令，当时，单调递增，由复合函数单调性可知的单调递增区间为．故答案为．22．函数，的值域是___________．【试题来源】甘肃省兰州市第二中学2021-2022学年高三上学期线上考试【答案】【分析】求出的范围，利用二次函数的性质得出值域．【解析】，，，，故答案为23．已知函数，的值域为，则实数的取值范围为___________．【试题来源】“四省八校”2021-2022学年高三上学期期中质量检测考试【答案】【分析】利用“复合函数的值域相当于外函数的值域”，用换元法即可求解．【解析】设，则，，．必须取到，，又时，，，，．故答案为．24．设定义在上的函数，给出以下四个说法：①的周期为；②在区间上是增函数；③的图象关于点对称；④的图象关于直线对称．以其中两个说法作为条件，另两个说法作为结论，写出一组你认为正确的一个命题（写成“”的形式）___________．（其中用到的说法用序号表示）【答案】①④②③（答案不唯一）【分析】由①的周期为，得到，再由④的图象关于直线对称，求得判断；再如：由①的周期为，得到，再由③的图象关于点对称，求得判断．【解析】答案不唯一，比如：①的周期为，则，函数．若再有④的图象关于直线对称，则取得最值，因为，所以，所以，所以，所以，此时②③成立，故①④②③．再如：若①的周期为，则，函数，若再有③的图象关于