2025年春北师版九年级数学下册 第三章综合测试卷

年春北师版九年级数学下册第三章综合测试卷限时:90分钟满分:120分一、选择题(每题3分，共30分)1．在平面内与点P的距离为1cm的点有()A．无数个 B．3个 C．2个 D．1个2．如图，E，F，G为圆上的三点，∠FEG＝50°，P点是圆心的为()3．[2024石家庄模拟]如图，已知⊙O的半径为3，PC切⊙O于点C，PO交⊙O于点A，PA＝2，那么PC的长等于()A．4 B．16 C．2eq\r(10) D．eq\r(34)4．[2024泸州月考]如图，在已知线段AB上按下列步骤作图：(1)分别以点A，B为圆心，以大于eq\f(1,2)AB长为半径作弧交于C，D两点，直线CD与AB交于点E，连接AC，BC，(2)以点E为圆心，以AE长为半径作弧交AC于点F，连接EF和FB.若∠ACB＝80°，则∠CBF＝()A．5° B．10° C．12° D．15°5．[2024南京六合区期中]如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，AB＝14，BC＝13，CA＝9，则AD的长是()A．3.5 B．4 C．4.5 D．56．如图，AD，AE和BC分别切⊙O于点D，E，F，如果AD＝18，则△ABC的周长为()A．18 B．27 C．36 D．547．[2024西宁期末]如图，∠ABC＝70°，O为射线BC上一点，以点O为圆心，eq\f(1,2)OB长为半径作⊙O，要使射线BA与⊙O相切，应将射线绕点B按顺时针方向旋转()A．35°或70°B．40°或100°C．40°或90°D．50°或110°8．[2024杭州萧山区月考]如图，点O为△ABC的内心，∠B＝60°，BC≠AB，点M，N分别为AB，BC上的点，且OM＝ON.甲、乙、丙三人有如下判断：甲：∠MON＝120°；乙：四边形OMBN的面积为定值；丙：当MN⊥BC时，△MON的周长有最小值．则下列说法正确的是()A．只有甲正确 B．只有乙错误C．乙、丙都正确 D．只有丙错误9．[2024泉州期中]如图所示的是可调节弧形衣架，它可以近似地看成一段劣弧eq\o(AC,\s\up8(︵))，其中螺母B的位置是该劣弧的中点，连接AB，过点B作BM⊥AC，垂足为M，其中AC＝29.4cm，BM＝10.3cm，则∠BAM的度数约为(参考数据：sin44°≈0.6947，cos46°≈0.6947，tan35°≈0.7002，tan19°≈0.3443)()A．19° B．35° C．46° D．44°10．[2024成都金牛区三模]如图，把圆分成六等份，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的图形是这个圆的外切正六边形，⊙O的半径是eq\r(3)，它的外切正六边形的边长为()A．2 B．1 C．2eq\r(3) D．eq\r(3)二、填空题(每题3分，共15分)11．如图，△ABC内接于⊙O，连接OB，OC，若∠A＝45°，OC＝2，则BC的长为________．12．如图，直线AB，AD与⊙O分别相切于点B，D，C为⊙O上一点，且∠BCD＝140°，则∠A的度数是________．13．为了促进城乡协调发展，实现共同富裕，某乡镇计划修建公路．如图，eq\o(AB,\s\up8(︵))与eq\o(CD,\s\up8(︵))是公路弯道的外、内侧边线，它们有共同的圆心O，所对的圆心角都是72°，点A，C，O在同一条直线上，公路弯道外侧边线比内侧边线多36m，则公路宽AC的长约是________m．(π取3.14，计算结果精确到0.1)14．[2024青岛模拟]如图，在扇形AOB中，∠AOB＝105°，半径OA＝8，将扇形AOB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在eq\o(AB,\s\up8(︵))上的点D处，折痕交OA于点C，则图中阴影部分的面积是________．(结果保留π)15．[2024杭州余杭区二模]如图，正六边形ABCDEF与正方形AGDH都内接于⊙O，连接BG，则弦BG所对圆周角的度数为________．三、解答题(共75分)16．(10分)[2024温州月考]如图，直线AB与⊙O相切于点C，AO交⊙O于点D，连接CD，OC.若∠AOC＝50°，求∠ACD的度数．17．(12分)[2024杭州上城区月考]如图是一块破碎车轮的一部分．(1)请你找到该车轮的圆心O(保留作图痕迹)；(2)过圆心O作AB的垂线，交AB于点P，若这个圆的半径为10cm，OP＝5cm，求AB的长．18．(12分)[2024商丘月考]堆雪人是下雪天才能享受的一项有趣的活动，既可以放松心情，又可以锻炼身体．某同学在课余时间堆的雪人的头部可抽象成如图所示的图形，点A表示鼻子，帽子与雪人头部的交点分别为点B，D，连接OD，BD，AB，且AB过圆心O，CD与⊙O相切，BC⊥BD.(1)求证：∠BCD＝∠ABD；(2)若⊙O的半径为3，∠AOD＝60°，求BC的长度．19．(12分)[2024南通月考]如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接AC，点D是eq\o(BC,\s\up8(︵))的中点，过点D作⊙O的切线，与AB，AC的延长线分别交于点E，F，连接AD，OD.(1)求证：AF∥OD；(2)填空：①已知AB＝4，当BE＝________时，AC＝CF；②连接BD，CD，OC.当∠E的度数为________时，四边形OBDC是菱形．20．(14分)如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O与边BC，AC分别交于D，E两点，D恰好是BC的中点，过点D作DF⊥AC于点F.(1)求证：DF是⊙O的切线；(2)若∠BAC＝60°，OA＝4，求阴影部分的面积．21．(15分)[2024石家庄月考]如图①，已知AB是半圆O的直径，AB＝4，点D是线段AB延长线上的一个动点，直线DF垂直射线AB于点D，在直线DF上选取一点C(点C在点D的上方)，使CD＝OA，将射线DC绕点D逆时针方向旋转，旋转角为α(0°＜α≤90°)．(1)当射线DC与半圆O相切于点C时，求劣弧BC的长度；(2)如图②，当射线DC与半圆O相交于点C，另一交点为E时，连接AE，OC，若AE∥OC.①猜想AE与OD的数量关系，并说明理由；②求此时旋转角α的度数．

答案一、1．A2．C3．A4．B【点拨】由题可知，作法(1)是作线段AB的垂直平分线，故AE＝BE，结合作法(2)可知，AE＝BE＝EF，故点F在以AB为直径的圆上，∴∠AFB＝90°，∴∠ACB＋∠CBF＝90°.又∵∠ACB＝80°，∴∠CBF＝10°.故选B.5．D【点拨】设AD＝x，由题意知AD＝AF，BE＝BD，CE＝CF，∴AF＝x，BD＝BE＝14－x，∴CF＝CE＝9－x.又∵CE＋BE＝BC，∴9－x＋14－x＝13，解得x＝5.故选D.6．C【点拨】根据切线长定理有AD＝AE，BE＝BF，CD＝CF，则△ABC的周长＝AB＋BC＋AC＝AB＋BF＋CF＋AC＝AB＋BE＋AC＋CD＝2AD＝36.故选C.7．B【点拨】如图，设旋转后与⊙O相切于点D，连接OD，∵OD＝eq\f(1,2)OB，∴∠OBD＝30°.分两种情况讨论：①当点D在射线BC的上方时，∠ABD＝∠ABC－∠OBD＝70°－30°＝40°；②当点D在射线BC的下方时，∠ABD＝∠ABC＋∠OBD＝70°＋30°＝100°.综上，应将射线绕点B按顺时针方向旋转40°或100°.8．D【点拨】如图①，过点O作OD⊥BC于点D，OE⊥AB于点E，连接OB，∴∠ODN＝∠OEM＝90°.∵点O为△ABC的内心，∴BO是∠ABC的平分线．∴OD＝OE.在Rt△DON和Rt△EOM中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(OD＝OE，,ON＝OM，))∴Rt△DON≌Rt△EOM(HL)．∴∠DON＝∠EOM.∵∠ABC＝60°，∴∠DOE＝120°.∴∠MON＝∠EOM＋∠EON＝∠DON＋∠EON＝∠DOE＝120°.故甲的判断正确；∵Rt△DON≌Rt△EOM，∴四边形OMBN的面积＝2S△BOD.∵点D的位置固定，∴四边形OMBN的面积是定值．故乙的判断正确；如图②，过点O作OF⊥MN于点F，∵ON＝OM，∠MON＝120°，∴∠ONM＝30°.∴MN＝2NF＝2ON·cos∠ONM＝2ON·cos30°＝eq\r(3)ON.∴△MON的周长＝MN＋2ON＝eq\r(3)ON＋2ON＝(eq\r(3)＋2)ON.∴当ON最小，即ON⊥BC时，△MON的周长取最小值．故丙的判断错误．综上所述，判断正确的是甲、乙，判断错误的是丙．故选D.9．B【点拨】连接BC，如图，由题意得B为eq\o(AC,\s\up8(︵))的中点，∴AB＝BC.又∵BM⊥AC，∴∠AMB＝90°，AM＝eq\f(1,2)AC＝14.7cm.∴tan∠BAM＝eq\f(BM,AM)≈0.7007.∴∠BAM≈35°.故选B.10．A【点拨】如图，⊙O与边AB相切于点C，连接OA，OB，OC，则∠AOB＝eq\f(360°,6)＝60°，OC⊥AB，OA＝OB，OC＝eq\r(3)，∴△AOB为等边三角形．∴∠OAB＝60°，OA＝OB＝AB.∴OA＝OC÷sin60°＝eq\r(3)×eq\f(2,\r(3))＝2.∴AB＝2.故选A.二、11．2eq\r(2)12．100°【点拨】如图，过点B作直径BE，连接OD，DE.∵B，C，D，E四点共圆，∠BCD＝140°，∴∠E＝180°－140°＝40°.∴∠BOD＝80°.∵AB，AD与⊙O分别相切于点B，D，∴∠OBA＝∠ODA＝90°.∴∠A＝360°－90°－90°－80°＝100°.13．28.7【点拨】根据题意，得leq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\f(72π·OA,180)，leq\o(CD,\s\up8(︵))＝eq\f(72π·OC,180).∵公路弯道外侧边线比内侧边线多36m，∴eq\f(72π·OA,180)－eq\f(72π·OC,180)＝36m，∴eq\f(72π·(OA－OC),180)＝36m，即eq\f(72π·AC,180)＝36m，解得AC＝eq\f(90,π)≈eq\f(90,3.14)≈28.7(m)．14．eq\f(56π,3)－16－16eq\r(3)【点拨】连接OD，如图．∵△CBD由△CBO翻折而成，∴CD＝CO，BD＝BO.∴∠COD＝∠CDO.∵OD＝OB，∴△OBD是等边三角形．∴∠BOD＝60°.∵∠AOB＝105°，∴∠COD＝∠CDO＝45°，∴∠OCD＝90°.∴△OCD是等腰直角三角形．∵OA＝OD＝OB＝8，∴OC＝DC＝4eq\r(2)，∴S阴影＝S扇形AOB－S△OCD－S△OBD＝eq\f(105π×82,360)－eq\f(1,2)×4eq\r(2)×4eq\r(2)－eq\f(1,2)×8×eq\f(\r(3),2)×8＝eq\f(56π,3)－16－16eq\r(3).15．15°或165°【点拨】如图，连接BO，AO，GO，∵四边形AGDH是正方形，∴∠AOG＝360°÷4＝90°.∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠AOB＝360°÷6＝60°.∴∠BOG＝∠AOG－∠AOB＝90°－60°＝30°.∴弦BG所对圆周角的度数为eq\f(30°,2)＝15°或eq\f(360°－30°,2)＝165°.三、16．【解】∵直线AB与⊙O相切于点C，∴OC⊥AB.∴∠OCA＝90°.∵OC＝OD，∠AOC＝50°，∴∠OCD＝∠ODC＝eq\f(1,2)×(180°－50°)＝65°.∴∠ACD＝∠OCA－∠OCD＝90°－65°＝25°.17．【解】(1)如图，圆心O即为所求．(2)如图，连接OA，∵OP⊥AB，∴AP＝BP.∵这个圆的半径为10cm，∴OA＝10cm.在Rt△AOP中，由勾股定理得AP＝eq\r(OA2－OP2)＝eq\r(102－52)＝5eq\r(3)(cm)．∴AB＝2AP＝10eq\r(3)cm.18．(1)【证明】∵CD与⊙O相切，∴∠ODC＝90°＝∠ODB＋∠CDB.∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠CDB＋∠OBD＝90°.∵CB⊥BD，∴∠C＋∠CDB＝90°.∴∠BCD＝∠ABD.(2)【解】如图，连接AD，∵∠AOD＝60°，OA＝OD＝OB＝3，∴AB＝6，△AOD为等边三角形．∴∠A＝60°，AD＝OA＝3.∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∴BD＝eq\r(62－32)＝3eq\r(3)，∠ABD＝90°－60°＝30°.∴结合(1)可得∠C＝∠ABD＝30°.∴BC＝eq\f(BD,tan30°)＝9.19．(1)【证明】∵点D是eq\o(BC,\s\up8(︵))的中点，∴eq\o(CD,\s\up8(︵))＝eq\o(BD,\s\up8(︵)).∴∠CAD＝∠DAB.∵OD＝OA，∴∠DAB＝∠ADO.∴∠CAD＝∠ADO.∴AF∥OD.(2)①4②30°【点拨】①连接OC，过点O作OG⊥AC于点G，如图．若AC＝CF，则AC＝eq\f(1,2)AF.∵OG⊥AC，OA＝OC，∴AG＝eq\f(1,2)AC.∴AG＝eq\f(1,4)AF.∴GF＝eq\f(3,4)AF.∵EF是⊙O的切线，∴OD⊥EF，由(1)得OD∥AF，∴AF⊥EF.又∵OG⊥AF，∴四边形OGFD为矩形．∴GF＝OD＝OB＝eq\f(1,2)AB＝2.∴eq\f(3,4)AF＝2，∴AF＝eq\f(8,3).由OD∥AF，易知△EOD∽△EAF.∴eq\f(OD,AF)＝eq\f(EO,EA).∴eq\f(2,\f(8,3))＝eq\f(EB＋OB,EB＋AB)，即eq\f(2,\f(8,3))＝eq\f(EB＋2,EB＋4)，解得BE＝4.②∵EF是⊙O的切线，∴OD⊥DE.∴∠ODE＝90°.若四边形OBDC是菱形，则OB＝BD.∵OB＝OD，∴OB＝OD＝BD.∴△OBD为等边三角形．∴∠DOB＝60°.∴∠E＝180°－∠ODE－∠DOB＝180°－90°－60°＝30°.20．(1)【证明】如图，连接OD，∵D恰好是BC的中点，∴BD＝CD.∵OA