高三年级下学期第三次摸底考试数学理试题卷解析版

...wd......wd......wd...河北衡水中学2016-2017学年度高三下学期数学第三次摸底考试〔理科〕必考局部一、选择题：本大题共12个小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1.集合，则集合等于〔〕A.B.C.D.【答案】D【解析】,选D.2.，假设，则等于〔〕A.B.C.D.【答案】A【解析】设,则,选A.点睛：此题重点考察复数的基本运算和复数的概念，属于基此题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如.其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为3.数列为正项等比数列，假设，且，则此数列的前5项和等于〔〕A.B.41C.D.【答案】A【解析】因为，所以，选A.4.、分别是双曲线的左、右焦点，以线段为边作正三角形，如果线段的中点在双曲线的渐近线上，则该双曲线的离心率等于〔〕A.B.C.D.2【答案】D【解析】由题意得渐近线斜率为，即，选D.5.在中，“〞是“〞的〔〕A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】时，，所以必要性成立；时，，所以充分性不成立，选B.6.二次函数的两个零点分别在区间和内，则的取值范围是〔〕A.B.C.D.【答案】A学|科|网...【解析】由题意得，可行域如图三角形内部〔不包括三角形边界，其中三角形三顶点为〕：，而，所以直线过C取最大值，过B点取最小值，的取值范围是，选A.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进展对比，防止出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.7.如图，一个简单几何体的正视图和侧视图都是边长为2的等边三角形，假设该简单几何体的体积是，则其底面周长为〔〕A.B.C.D.【答案】C【解析】由题意，几何体为锥体，高为正三角形的高，因此底面积为，即底面为等腰直角三角形，直角边长为2，周长为，选C.8.20世纪30年代，德国数学家洛萨---科拉茨提出猜测：任给一个正整数，如果是偶数，就将它减半；如果是奇数，则将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1，这就是著名的“〞猜测.如图是验证“〞猜测的一个程序框图，假设输出的值为8，则输入正整数的所有可能值的个数为〔〕A.3B.4C.6D.无法确定【答案】B【解析】由题意得；，因此输入正整数的所有可能值的个数为4，选B.9.的展开式中各项系数的和为16，则展开式中项的系数为〔〕A.B.C.57D.33【答案】A【解析】由题意得,所以展开式中项的系数为,选A.点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.10.数列为非常数列，满足：，且对任何的正整数都成立，则的值为〔〕A.1475B.1425C.1325D.1275【答案】B【解析】因为，所以，即，所以,叠加得,，,即从第三项起成等差数列，设公差为，因为，所以解得，即，所以，满足，，选B.11.向量满足，假设，的最大值和最小值分别为，则等于〔〕A.B.2C.D.【答案】C【解析】因为所以；因为，所以学|科|网...的最大值与最小值之和为，选C.12.偶函数满足，且当时，，关于的不等式在上有且只有200个整数解，则实数的取值范围是〔〕A.B.C.D.【答案】C【解析】因为偶函数满足，所以，因为关于的不等式在上有且只有200个整数解，所以关于的不等式在上有且只有2个整数解，因为，所以在上单调递增，且，在上单调递减，且，因此，只需在上有且只有2个整数解，因为，所以，选C.点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分，将答案填在答题纸上13.为稳定当前物价，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进展调查，5家商场商品的售价元和销售量件之间的一组数据如下表所示：价格8.599.51010.5销售量1211976由散点图可知，销售量与价格之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是，则__________．【答案】39.4【解析】点睛：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用公式求，写出回归方程，回归直线方程恒过点.14.将函数的图象向右平移个单位〔〕，假设所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值是__________．【答案】【解析】向右平移个单位得为偶函数，所以，因为，所以学|科|网...点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩〞，但“先伸缩，后平移〞也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言.函数是奇函数；函数是偶函数；函数是奇函数；函数是偶函数.15.两平行平面间的距离为，点，点，且，假设异面直线与所成角为60°，则四面体的体积为__________．【答案】6【解析】设平面ABC与平面交线为CE，取,则16.是过抛物线焦点的直线与抛物线的交点，是坐标原点，且满足，则的值为__________．【答案】【解析】因为，所以因此，所以因为，所以，因此三、解答题：解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.如图，关于边的对称图形为，延长边交于点，且，.〔1〕求边的长；〔2〕求的值.【答案】〔1〕〔2〕【解析】试题分析：〔1〕先由同角三角函数关系及二倍角公式求出．再由余弦定理求出，最后根据角平分线性质定理得边的长；〔2〕先由余弦定理求出，再根据三角形内角关系及两角和余弦公式求的值.试题解析：解：〔1〕因为，所以，所以．因为，所以，所以，又，所以．〔2〕由〔1〕知，所以，所以，因为，所以，所以．学|科|网...18.如图，圆锥和圆柱的组合体〔它们的底面重合〕，圆锥的底面圆半径为，为圆锥的母线，为圆柱的母线，为下底面圆上的两点，且，，.〔1〕求证：平面平面；〔2〕求二面角的正弦值．【答案】〔1〕见解析〔2〕【解析】试题分析：〔1〕先根据平几知识计算得,再根据圆柱性质得平面，即有，最后根据线面垂直判定定理得平面,即得平面平面；〔2〕求二面角，一般利用空间向量进展求解，先根据条件建设空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解出各面法向量，利用向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角之间关系求解试题解析：解：〔1〕依题易知，圆锥的高为，又圆柱的高为，所以，因为，所以，连接，易知三点共线，，所以，所以，解得，又因为，圆的直径为10，圆心在内，所以易知，所以．因为平面，所以，因为，所以平面．又因为平面，所以平面平面．〔2〕如图，以为原点，、所在的直线为轴，建设空间直角坐标系．则．所以，设平面的法向理为，所以，令，则．可取平面的一个法向量为，所以，所以二面角的正弦值为．19.如图，小华和小明两个小伙伴在一起做游戏，他们通过划拳〔剪刀、石头、布〕比赛决胜谁首先登上第3个台阶，他们规定从平地开场，每次划拳赢的一方登上一级台阶，输的一方原地不动，平局时两个人都上一级台阶，如果一方连续两次赢，那么他将额外获得一次上一级台阶的奖励，除非已经登上第3个台阶，当有任何一方登上第3个台阶时，游戏完毕，记此时两个小伙伴划拳的次数为．〔1〕求游戏完毕时小华在第2个台阶的概率；〔2〕求的分布列和数学期望．【答案】〔1〕〔2〕学|科|网...【解析】试题分析：〔1〕根据等可能性知每次赢、平、输的概率皆为．再分两种情况分别计数：一种是小华在第1个台阶，并且小明在第2个台阶，最后一次划拳小华平；另一种是小华在第2个台阶，并且小明也在第2个台阶，最后一次划拳小华输，逆推确定事件数及对应划拳的次数，最后利用互斥事件概率加法公式求概率，〔2〕先确定随机变量取法,再分别利用组合求对应概率,列表可得分布列,最后根据数学期望公式求期望.试题解析：解：〔1〕易知对于每次划拳比赛基本领件共有个，其中小华赢〔或输〕包含三个基本领件上，他们平局也为三个基本领件，不妨设事件“第次划拳小华赢〞为；事件“第次划拳小华平〞为；事件“第次划拳小华输〞为，所以．因为游戏完毕时小华在第2个台阶，所以这包含两种可能的情况：第一种：小华在第1个台阶，并且小明在第2个台阶，最后一次划拳小华平；其概率为，第二种：小华在第2个台阶，并且小明也在第2个台阶，最后一次划拳小华输，其概率为所以游戏完毕时小华在第2个台阶的概率为．〔2〕依题可知的可能取值为2、3、4、5，，，，所以的分布列为：2345所以的数学期望为：．20.如图，为椭圆上的点，且，过点的动直线与圆相交于两点，过点作直线的垂线与椭圆相交于点．〔1〕求椭圆的离心率；〔2〕假设，求．【答案】〔1〕〔2〕【解析】试题分析：〔1〕根据题意列方程组：，解方程组可得，，再根据离心率定义求椭圆的离心率；〔2〕先根据垂径定理求圆心到直线的距离,再根据点到直线距离公式求直线AB的斜率,根据垂直关系可得直线PQ的斜率,最后联立直线PQ与椭圆方程,利用韦达定理及弦长公式求．试题解析：解：〔1〕依题知，解得，所以椭圆的离心率；〔2〕依题知圆的圆心为原点，半径为，所以原点到直线的距离为，因为点坐标为，所以直线的斜率存在，设为．所以直线的方程为，即，所以，解得或．①当时，此时直线的方程为，所以的值为点纵坐标的两倍，即；②当时，直线的方程为，将它代入椭圆的方程，消去并整理，得，设点坐标为，所以，解得，所以．点睛：有关圆锥曲线弦长问题的求解方法涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解.涉及中点弦问题往往利用点差法.21.函数，其中为自然对数的底数．〔参考数据：〕〔1〕讨论函数的单调性；〔2〕假设时，函数有三个零点，分别记为，证明：．【答案】〔1〕见解析〔2〕见解析【解析】试题分析：〔1〕先求函数导数,根据参数a讨论：当时，是常数函数，没有单调性．当时，先减后增；当时，先增后减；〔2〕先化简方程，整体设元转化为一元二次方程：．其中，再利用导数研究函数的图像，根据图像确定根的取值范围，进而可证不等式.试题解析：解：〔1〕因为的定义域为实数，所以．①当时，是常数函数，没有单调性．②当时，由，得；由，得．所以函数在上单调递减，在上单调递增．③当时，由得，；由，得，学|科|网...所以函数在上单调递减，在上单调递增．〔2〕因为，所以，即．令，则有，即．设方程的根为，则，所以是方程的根．由〔1〕知在单调递增，在上单调递减．且当时，，当时，，如图，依据题意，不妨取，所以，因为，易知，要证，即证．所以，又函数在上单调递增，所以，所以．选考局部请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中直线的倾斜角为，且经过点，以坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建设极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线与曲线相交于两点，过点的直线与曲线相交于两点，且．〔1〕平面直角坐标系中，求直线的一般方程和曲线的标准方程；〔2〕求证：为定值．【答案】〔1〕,〔2〕【解析】试题分析：〔1〕根据点斜式可得直线的一般方程，注意讨论斜率不存在的情形；根据将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，配方化为标准方程.〔2〕利用直线参数方程几何意义求弦长：先列出直线参数方程，代入圆方程，根据及韦达定理可得，类似可得，相加即得结论.试题解析：解：〔1〕因为直线的倾斜角为，且经过点，当时，