期中重难点突破专题03-2021-2022学年高二数学考点培优训练（人教A版2019选择性）

期中重难点突破专题03

期中重难点突破专题03

姓名：___________班级：___________得分：___________1．已知椭圆E:的左焦点为F，过点P(2，t)作椭圆E的切线PA、PB，切点分别是A、B，则三角形ABF面积最大值为（）A． B．1 C．2 D．【答案】A【解析】由椭圆方程，知，，设右焦点为，即设,，由椭圆的切线方程可知切线PA的方程为，切线PB的方程为由于点P在切线PA、PB上，则，故直线方程为，所以直线过定点，且定点为椭圆的右焦点，联立方程，消去x得：由韦达定理得，，令，则，，则，当且仅当，即时，等号成立，故三角形ABF面积最大值为故选：A2．已知边长为的等边三角形，是平面内一点，且满足，则三角形面积的最大值是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】以的中点为原点，建立如图所示的直角坐标系，则，设，因为，所以，得，所以点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，当点距离直线距离最大时，面积最大，已知直线的方程为：，，点距离直线的最大距离为：，所以面积的最大值为.故选：C3．过抛物线的焦点F的直线l（不平行于y轴）交抛物线于A，B两点，线段AB的中垂线交x轴于点M，若，则线段FM的长度为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】设，，由抛物线性质可知.，由题可知.，即设线段AB的中垂线的斜率为，则.所以AB的中垂线方程为：令，则的横坐标则所以线段FM的长度为2.故选：B.4．已知抛物线（是正常数）上有两点，，焦点，甲：乙：丙：.丁：以上是“直线经过焦点”的充要条件有几个（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】必要性：设过抛物线：的焦点的直线为：，代入抛物线方程得：；由直线上两点，，则有，，，由＝，故：甲、乙、丙、丁都是必要条件，充分性：设直线方程为：，则直线交轴于点，抛物线焦点将直线的方程与抛物线方程得：，由直线上两点，，对于甲：若，可得，直线不一定经过焦点.所以甲条件是“直线经过焦点”的必要不充分条件；对于乙：若，则，直线经过焦点，所以乙条件是“直线经过焦点”的充要条件；对于丙：，可得或，直线不一定经过焦点，所以丙条件是“直线经过焦点”的必要不充分条件；对于丁：可得，直线不一定经过焦点.所以丁条件是“直线经过焦点”的必要不充分条件；综上，只有乙正确，正确的结论有1个.故选：B5．已知双曲线：的左、右焦点分别为、，过的直线与的两条渐近线分别交于、两点，若，，则的离心率为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】如图，结合题意绘出图像：因为，，是中点，所以是中点，，，，因为直线是双曲线的渐近线，所以，，直线的方程为，联立，解得，则，整理得，因为，所以，，故选：D.6．双曲线的右焦点为，设、为双曲线上关于原点对称的两点，的中点为，的中点为，若原点在以线段为直径的圆上，直线的斜率为，则双曲线的离心率为（）A．4 B．2 C． D．【答案】B【解析】设，则，因为的中点为的中点为，所以，因为原点在线段为直径的圆上，所以，可得，①又因为点在双曲线上，且直线的斜率为，所以，②联立消去，可得，③又由点是双曲线的右焦点，可得，代入③，化简整理得，解得或，由于，所以（舍去），故，解得，所以离心率为.故选：B.7．存在过椭圆左焦点的弦，使得，则椭圆C的离心率的最小值是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】①当轴时，有，得，所以，又因为，所以，即，所以离心率，②当不垂直于轴时，，设的方程为：，代入得，设，，则，，由弦长公式知：，化简得：，设直线的倾斜角为，则，所以，又因为，所以，即，即，所以，所以，因为，所以，又由，所以，综上所述：离心率的最小值是，故选：D8．已知直线分别与函数和交于、两点，则、之间的最短距离是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】联立求解得，得到，设，则令，所以在在上单增，在上单减，故选：B.9．在矩形中，已知，，为的三等分点（靠近A点），现将三角形沿翻折，记二面角，和的平面角分别为，则当平面平面时A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意，在矩形中，已知，，为的三等分点，可得，设点在底面的射影为，由，可得，所以为的四等分点，分别过作,根据三垂线定理，可得,所以分别是二面角，和的平面角的平面角，即，分别在直角中，可得,在图（1）中，可得,所以，又由，所以.故选：B.10．已知双曲线的左右焦点分别为，，过点且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A，B两点，，.分别交y轴于P，Q两点，若的周长为12，则取得最大值时，该双曲线的离心率为A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以把代入双曲线方程可得：，故，因为，，周长为12，所以的周长为24，即，所以，化简得：，，令，则，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，时函数有唯一极大值也是最大值，此时，，所以，故选：B11．椭圆：的焦距为2，椭圆上一点.不过原点的直线与椭圆相交于，两点，若抛物线：的焦点是椭圆的右焦点.（1）求椭圆与抛物线的方程；（2）若线段的长度为.求面积的取值范围.【答案】（1）：，：；（2）.【解析】解：（1）设椭圆左，右焦点为，解得，化简得，解得或（舍去）.所以，所以椭圆的方程为.可知椭圆的右焦点，则抛物线：.（2）因为若线段的长大于椭圆短轴的长，要使三点，，能构成三角形，则直线不过原点，弦不能与轴垂直，故可设直线的方程为，由消去，并整理，得.设，，又，所以，，因为，所以，即，所以，即，则.又点到直线的距离，因为，所以，令，则，故所以的取值范围是.12．已知椭圆(a>b>0)经过A(0，2)､B(3，1)两点.（1）求直线AB和椭圆的方程；（2）求椭圆上的动点T到N(1，0)的最短距离；（3）直线AB与x轴交于点M(m，0)，过点M作不垂直于坐标轴且与AB不重合的直线与椭圆交于C，D两点，直线AC，BD分别交直线x=m于P，Q两点.求证：为定值.【答案】（1）；；（2）；（3）证明见解析.【解析】（1）把A(0，2)､B(3，1)两点坐标代入得：，即，，即椭圆方程为：.，所以直线的方程为：.（2）设，则点T到N(1，0)的距离，因为，所以当时，有最小值，且，所以动点T到N(1，0)的最短距离为：.（3）如图，因为直线的方程为：，取得，，设直线的方程为：，，，联立方程组：得：，所以，，记直线的方程为：，令得：，记直线的方程为：，令得：，故为定值，定值为1.13．已知抛物线经过点（1）求抛物线的方程及其相应准线方程；（2）过点作斜率为的两条直线分别交抛物线于和四点，其中.设线段和的中点分别为过点作垂足为证明：存在定点使得线段长度为定值.【答案】（1）；准线；（2）存在，【解析】（1）将点代入抛物线，可得，解得，所以抛物线方程：，准线.（2）由题意可得直线：，直线：，联立，整理可得，设，，则，，所以，同理，，设，：，：，联立，解得，，整理可得，即，所以点的轨迹是个圆，故的坐标为，线段长度为定值.14．已知椭圆的离心率为，且经过点.（1）求椭圆的方程.（2）直线与椭圆交于两点.①求（用实数表示）.②为坐标原点，若，且，求的面积.【答案】（1）；（2）①；②.【解析】（1）∵过，∴，又，联立，解得，∴的方程为：.（2）①联立与，得，∴，∴，∴，设，，则，，所以②∵，∴，则，直线为：.联立，得，∴，，代入，∴，∴，∴∴又∵∴，得，∴，∴.此时，∴成立.由，∴的面积.15．已知椭圆的左、右焦点为，，P是椭圆上的点，当点P在椭圆上运动时，面积的最大值为4，当轴时，面积为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）如图，若直线、交椭圆另一点分别是A、B