2024年上海市高考数学新高考新教材新增知识系列：三角不等式专项测试

【学生版】《三角不等式》【专项测试】

考生注意：

1.本试卷含三个大题，共21题.答题时，考生务必按要求在规定的位置上作答；

2.解答题必须写在试卷题号对应的区域相应位置，并写出解题的主要步骤；

一、填空题(本大题共12题，满分54分，第1〜6题每题4分，第7〜12题每题5分)考生应在答题纸相应编号

的空格内直接填写结果.

1、不等式上二乜W1成立的充要条件是

2、实数〃、〃满足|。+母＜|。一小则。、力之间的关系是.

3、函数y=|x-3|+|x+3］的最小值为.

4、x为实数，且不等式卜-5|+h-3|＜根有解，则实数，〃的取值范围是

5、卜一4封〃一1|十区一1|取等号的条件是

6、若不等式卜+《一,+1|＞2的解集为0,则实数。的取值范围是.

7、函教y=x+11+1X-21的取得最小值时x的值为

8、对于实数x,y,若|x—1区1,|＞'—2＜1,则|x—2y+l|的最大值为.

9、已知函数_/(x)=|x—2|,g(x)=—|x+3+〃］.若函数八¥)的图像恒在函数g(x)图像的上方,则〃?的取值范围为

10、若实数。，b满足加＞0,则四个不等式中正确的序号是

①|〃+4|＞同：②加;③|〃+加＜心一/»；®\a-i-b\＞\a-b\

11、假设存在实数%满足卜-2|+,一曰＜5,那么实数〃7的取值范围为.

|cz+11-|3a

若不等式田/+元+］卜

12、,2+%-1对任意使式子有意义的实数。恒成立，则实数X的取值范围是.

二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位

置，将代表正确选项的小方格涂黑.

13、非零实数X,y满足|x+yl+l◎1=1%+），一取1的充要条件是（）

A.x+y=0B.xy<0C.（x+y）xy>0D.（x+y）Ay〈O

14、|〃一目《|。一1|+卜一1|取等号的条件是（）

A.（fl—1）（/?-1）<0B.（67—1）（/?—1）>0

C.（6Z-l）（/?-l）<0D.（«-l）（/?-l）>0

15、若⑷<i,网<i,则<+加+m一切与2的大小关系是（）

A.\a+b\+\a-b\>2B.\a+b\+\a-b\<2

C.\a+b\+\a-b\=2D.不确定

16、对任意x,），£R,卜一1|+|用+'一1|+|），+1|的最小值为（）

A.1B.2C.3D.4

三、解答题（本大题共有5题，满分14+14+14+16+18=76分，解答下列各题必须写出必要的步骤）

17.（本题满分14分）

已如yU）=b-10|+k—20|（x£R）,求«r）的最小值，并求当人处有最小值时，实数x的取值范围.

18、（本题满分14分）

⑴设小"R,求证：1+同+1+物-1+M+圻

(2)已知|x+l|专，|y—2|<^»|z+.3|],求证：|x+2y+z|。；

19、(本题满分14分)

已知函数/lv)=|2x+1|+卜一4|；

(1)解不等式贝本6；

(2)若不等式凡¥)+田一4|*2-8〃有解，求实数。的取值范围.

【教师版】《三角不等式》【专项测试】

考生注意：

1.本试卷含三个大鹿，共21题.答题时，考生务必按要求在规定的位置上作答；

2.解答题必须写在试卷题号对应的区域相应位置，并写出解题的主要步骤；

一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1〜6题每题4分，第7〜12题每题5分）考生应在答题纸相应编号

的空格内直接填写结果.

1、不等式匕噌W1成立的充要条件是______________________

向十例

【提示】注意：等价变形；

【答案】於+出邦；

【解析】因为母4工1,要保证分母不等于0,所以。不能同时为0,即M+"和，

14+网

所以H+4引4+|小两边平方得2〃归2回⑸，不等式恒成立；

2、实数4、〃满足|。+4<,一耳，则4、之间的关系是.

【提示】注意：等价变形；

【答案】ab<0；

【解析】因为|。+母V,一小所以（a+力）2V（a・力）2,即标+2办•力2<〃2.2〃以心所以4就<0,故ab<（）；

【说明】与不等式性质与简单的等价变形进行交汇；

3、函数了=上一3|+k+3|的最小值为.

【提示】利用三角不等式可求该函数的最小值；

【答案】6；

【解析】因为上一3|+卜+3闫戈-3-（工+3）|=6,

当且仅当（X—3）（R+3）W0时等号成立，即—3<工式3时等号成立，

故3=卜-3|+卜+3|的最小值为6,故答案为：6；

【说明】本题考查绝对值不等式的应用，注意时+网习。+4，当且仅当他之0时等号成立；

4、x为实数，且不等式卜-5|+卜-3|<根有解，则实数〃?的取值范围是

【提示】注意：左边符合三角不等式的条件；

【答案】（2,+8）

【解析】利用三角不等式，W|x-5|+|x-3|>|x-5-x+3|=2,因为忸5|+"31cm有解,所以心2即可

【说明】本题三角不等式与不等式性质、数轴的简单交汇；

5、|。一40。一［+卜一1|取等号的条件是

【提示】利用三角不等式1。1+出闫〃+勿(当且仅当必NO时取等号)即可求得答案；

【答案】(〃一。(人-1)(0(2020•全国(理)改编)

【解析】因为，|。一1|十|〃一1|=|。一1|十|1—目斗(。-1)+(1—3］=|。一4，

当且仅当(0-1)(1—6)之0,即(〃-1)(〃-1)工0时取等号

【说明】本题考查三角不等式，考查绝对值不等式取等号的条件，属于中档题.

6、若不等式卜+4一k+1|>2的解集为0,则实数。的取值范围是.

【提示】由题意得知k+。|一上+1|42对任意的xcR恒成立，然后利用绝对值三角不等式求出k+4一上+1|的

最大值为得出|。一1|《2,解出该不等式即可；

【答案】［-L3］

【解析】由题意可知，不等式卜+。卜卜+1|二2对任意的xeR恒成立，

由绝对值三角不等式可得卜+4-卜+1闫(1+4)-=—

则|。一1区2,即一2<。一1«2,解得TKaW3,因此，实数。的取值范围是［-1,3］；

故答案为［T,3］；

【说明】本题考查利用绝对值不等式的解集为空集求参数的取值范围，转化为绝对值不等式在实数集上恒成立是解

题的关健，同时借助绝对值三角不等式求解，考查化归与转化思想，属于中等题.

7、函数>=|元+1|+以-2|的取得最小值时x的值为

【提示】利用绝对值不等式，求得函数的最小值，并求得对应”的值.

【答案】xe［-l,2］；

【解析】依题意>=k+1|+|2-^之卜+1+2-］|=3,当且仅当(/+1)(2-3)之0,

即一1WXK2时等号成立；

【说明】本小题主要考查绝对值不等式，以及绝对值不等式等号成立的条件；

8、对于实数x,y,若以一1区1,|>-2<1,则仅一2广H|的最大值为.

【答案】5.；

【解析】\x-2y+1|=|(x-l)-2(j-l)|<|x-1|+|2(J-2)+2|<14-2(y-2|+2<5,即卜一2)，+1］的最大值为5.

9、已知函数人幻=氏一2|送(幻=一以+3|+加.若函数4。的图像恒在函数8。)图像的上方，则〃?的取值范围为.

【提示】函数f(x)的图像恒在函数g(x)图像的上方，可转化为不等式|x一2|+|x+3|>］〃恒成立，利用不等式的性质求

出|x-2|+|x+3|的最小值，就可以求出/〃的范围.

【答案】(一孙5)

【解析】函数6r)的图像恒在函数第1)图像的上方，

即为k-2|>-a+3|+/〃对任意实数x恒成立，

即|x一2|+|x+3|>，"恒成立.

因为对任意实数K恒有|x-2|+|x+3|2|(x-2)-(x+3)|=5,

所以〃?<5,即;//的取值范围是(-8,5),

故答案为：(-8,5).

【说明】该题考查的是有关利用两介函数图象的关系，得出函数值的大小关系，之后将恒成立问题向最值靠拢，利

用绝对值不等式的性质求得结果；

10、若实数〃，人满足帅>0,则四个不等式中正确的序号是

①|。+怵>同；@\a+b\<\b\；@\a-^b\<\G-b\：®\a-^b\>\a-b\

【提示】注意结合数轴与绝对值的几何意义理解；

【答案】①④

11、假设存在实数x满足上一2|+,一曰<5,那么实数加的取值范围为.

【提示】结合绝对值三角不等式将h—〃7)—(x-2)|w|x-2|+k-Mv5,进而求解

【答案】(37)

［解析］5>|x-2|+|^-w|>|(x-w)-(x-2)|=|w-2|,即「及一2|<5=〃?£(_3,7)

故答案为：(-3,7)

【说明】本题考查绝对值三角不等式的应用，应该熟记：|同一网闫。土〃闫4+网，属于基础题

|«+1|-|3a-\\

12、若不等式上~+x—1|+|r+x+12对任意使式子有意义的实数0恒成立，则实数x的取值范围是

同

【答案】

k+l|-|3tz-l||I]I11

[解析]J-nn——[=I+--3—=-+!——3<(-+1)-(—3)=4,

\a\aaaaaa

0+1|-|3。一

当且仅当时等号成立・・・・—喘——'的最大值为4.

下面解不等式|V+K-11+11+X+11之4,

,:x:+x=(x4---)2----->-----,X2+X+1>0,

244

不等式|x~+%—11+1X?+x+]|之4为不等式|尤？+/—11+上~+%+]>4,

BP|x2+x-l|>-X2-X+3,

,•x~+x—1N—x~—x+3或k+x—1x~+x—3，

解得工21或工:^一2或工£0,

・•・X的取值范围是(f,-2]UU,y)，

故答案为：(-8,-2]J[1,+8)；

【说明】本题考查绝对值不等式，考查绝对值不等式的性质.首先不等式恒成立问题转化为求最值.其次解绝对值

不等式时，绝对值性质N〉a等价于E>。或X<-〃中可以不讨论a的正负，直接用来解不等式，即不等式

|/(幻|>g。)直接转化为fM>g«或fM<-g(x),不需要按g*)>0,g*)<。分类，大家可以从集合的分

析.

二、选择题(本大题共有4题，满分20分，每题5分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位

置，将代表正确选项的小方格涂黑.

13、非零实数X,>满足|工+川+|个|=|/+)」外1的充要条件是()

A.x+y=0B.封<0C.(x+y)A>，>°D.(x+y)A>'W0

【提示】利用绝对值不等式的性质，即可得到答案.

【答案】D

【解析】由绝对值不等式的性质，可得|x+_y|+|p闫工+》一町，|,当且仅当(x+y)外工。时，

等号成立，

所以“|x+y|+1X)，|=|x+y-冲|”的充要条件为“(x+y)xy<0

故选：D

【说明】本题主要考直了绝对值不等式的性质、充要条件，属于基题.修+回+lc+d闫(〃+与土(c+4)l是绝对

值不等式中常用的性质.

14、,一目<|。一1|十|。一1|取等号的条件是()

A.(«-1)(/?-1)<0B.(a-1乂人-1)>0

C.(6f-l)(/?-l)<0D.(a-l)(Z?-l)>0

【提示】分析：利用绝对值不等式1。1+/闫4+b](当且仅当"20时取等号)即可求得答案.

【答案】C

【解析】•・•步一1|=|〃一1|+|1”闫(。-1)+(1-31=1。一4，

当且仅当(〃-1)(1一320,即(。-1)(。-1)«0时取等号.

故选：C.

【说明】本题考查绝对值不等式，考查绝对值不等式取等号的条件,属于中档题.

15、若⑷<I,依<1,则一”与2的大小关系是()

A.\a+b\+\a-b\>2B.\a+h\+\a-b\<2

C.\a+b\+\a-b\=2D.不确定

【提示】根据的符号相同或相反，利用绝对值的性质求解.

【答案】B

【解析】当(a+5)(a-)巨0时，\a+b\+\a-b|=|(a+^)+(a-^)|=2\a|<2；

当(a+b)(a・b)v0时，\a+b\+\a-b\=\(a+b)-(a-b)\=2\b\<2f

综上有M+b|+|c・b|<2.

故选：B

16、对任意x,y£R,比一l|+|x|+|y—l|+|y+l|的最小值为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】；gl|+M+Ml|+ly+l|=(|Lx|+|x|)+(|lW+|l+M)

>|(1-X)+X|+|(1-J)+(1+J)|=1+2=3,

当且仅当(Lx)论0,(l・y)・(l+y)N0,

即叱烂1,・10W时等号成立，

・•・gl|+|x|+lMI+ly+l|的最小值为3.

三、解答题(本大题共有5题，满分14+14+14+16+18=76分，解答下列各题必须写出必要的步骤)

17.(本题满分14分)

已知yU)=|x-IO|+|x—2O|(x£R),求/(幻的最小值，并求当人大)有最小值时，实数X的取值范围.

【解析】V|x-10|+k-20|=|x-101+|20-x|

>|(r-10)+(20-x)|=10.

当且仅当(x—10)(20—xa0时取等号.

由一-10)(20—x巨0,

得105立20,

因此Nr)的最小值为10,此时实数x的取值范围是[10,20]

18、（本题满分14分）

/,、•八，一八k/l,\b\|〃+〃|

（1）―小"R，求证：i+同+i+胪1+|〃+圻

【提示】利用绝对值不等式性质或构造函数证明.

【证明】法一：①若曲=0或。+力=0,不等式显然成立.

②若。厚0且。+厚0,丁|。+6区同+网，

・⑷+叫_1

•」+⑷+步厂1

团+叫

田]E|“+)〃|.

q团⑷\b\\b\

乂1+|31+⑷+步|'1+步|1+MI+网'

,⑷也I）|。|十例

••1+|川十1+网1+|川+步「

又由（*）式可知1%⑷+禺|>1时

综上①®可知能i+曲>磊磊.

法二：若诏=0或a+Z>=0,不等式显然成立.

若a厚0且0+厚0,•・•|。+）国。|+仍|,

・・・0<1+团：步1口+上；目.

即0』+团+&1+|。+可

即㈤+⑸0\a+b\*

|a|+叫|a+加

取倒数得

1+1。|+步+|。+)|'

又由法一知，原不等式成立.

法三:・；|。|+步闫a+b],

.•・|a|+网+（|〃|+网）・|a+力|N|a+〃|+（⑷+|力|）・|a+B],

即（团+网）（1+|«+切目a+M（l+im+»D・

两边同除以（1+|。+川）（1+团+步）得

M+向心+加

1+⑷+肝1+心+圻

又由法一知，原不等式成立.

法四：构造函数八X）=含，

任取X[,幻6[0,+8）且X[VX2，有

­、.X2"一工2_

人小）人应）一]+处1+也一。+刈）（1+冷）

・・・«r）在[0,+◎上为增函数.

又阳+族闫。+加，・\川〃|+网心AH+团)，

加1川+步I,1。+引

1+|川+\b\~\+1。+。「

又由法一知，所证不等式成立.

(2)已.知|%+1|号卜一2|卜,|z+.3|寻求证:|x+2y+z|<£；

【证明】k+2)，+z|=|x+l+2(y—2)+z+3|

W|x+11+|2()，一2升+以+3|=|x+11+2,—2|+|z+3|

4+1+f=£.,a+2y+z|v£.

19、(本题满分14分)

已知函数«x)=|2x+l|+|x—4|；

(1)解不等式犬浜;

(2)若不等式«v)+M-4匕尸一8。有解，求实数。的取值范围.

・1

—3x+3,x<-2»

【解析】(1)由己知得共x+5,_乩4,

3x—3»x>4,

当XV-;时，原不等式可化为一3x+3W6,即・・・一1士一今

当一；4“时，原不等式可化为x+5W6,即烂1,，一烂1；

当x>4时，原不等式可化为3X-3S6,即烂3(舍去).

综上，凡r)V6的解集为

(2)/U)+仅一4|=|2x+11+|2］一8|早(当且仅当一时取等号)

•</U)+|x-4|vo2-8〃有解，・・・“2_8a>%即(〃-9)3+1)>0,解得*一1或。>9,

；・实数〃的取值范围是(一8,-1)U(9,+8)：

【说明】本题考查了利用绝对值不等式的性质求最值；求含绝对值函数的最值时，常用的方法有三种:

1、利用绝对值的几何意义；

2、利用绝对值的三角不等式,即⑷十步野依助以同-|加；

3、利用零点分段法，转化为分段函数求最值；

20.(本题满分16分)

已知函数/(x)=yjx2+2x4-1+Jx'-6x+9-m>0恒成立.

(1)求加的取值范围；

21

(2)若团的最大值为〃，当正数。、满足------+------=〃时，求7。+4〃的最小值.

3a+ba+2b

【提示】⑴函数/("=，？+2*1+5/^^6工+9-机20恒成立，即k+1|+上一3|-〃止0恒成立，设函数

g(x)=|x+l|+k—3|,则〃?Wg(x).,利用绝对值不等式的性质求得g(R*即可得解；

2I

(2)由(1)可得：;--+——=4,然后利用基本不等式计算即可求得7。+4〃的最小值；

3a+ba+2b

9

【答案】(1)〃z<4；(2)—.

4

【解析】(1)函数/(x)=+2x+l+-6x+92()恒成立,

即上|1|十,一3|一〃z±0恒成立，

设函数g(x)=k+1|+上一3|,则m<gMmin,

X|x+l|+|x-3|>