上海市宝山区行知中学2020-2021高二上学期期中考试数学(含答案)

上海市行知中学2020学年第一学期期中高二年级数学学科试卷11.12考试时间：120分钟满分：150分一、填空题（本题满分54分，1-6每题4分，7-12每题5分）1.和的等比中项等于_________.2.行列式中，的代数余子式的值是_________.3.已知向量，，则与向量相等的位置向量的坐标为_________.4.过点，且与向量垂直的直线方程是_________.（用一般式表示）5.关于、的二元线性方程组的增广矩阵经过变换，最后得到的矩阵为，则_________.6.已知变量、满足约束条件，则的最小值为_________.7.已知直线，过点的直线与直线夹角为，则直线的直线方程是_________.8.不等式表示的平面区域面积是_________.9.已知点，点，直线：与线段有一个公共点，则实数的取值范围是_________.10.已知点，点、分别是轴和直线上的两个动点，则的最小值等于_________.11.如图，等边是半径为的圆的内接三角形，是边的中点，是圆外一点，且，当绕圆心旋转时，则的取值范围为_________.12.设数列的前项和为，，（），（,）．且、均为等差数列，则_________.二、选择题（本题满分20分，共4小题，每小题5分）13.用数学归纳法证明：的过程，从“到”左端需增加的代数式为………（）A.B.C.D.14.已知，则与的夹角为（）A.B.C.D.15.已知是实数等比数列前项和，则在数列中（）A.必有一项为零B.可能有无穷多项为零C.至多一项为零D.任何一项均不为零P（第16题图）16.如图,四边形是正方形，延长至，使得.若动点从点出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到点，其中，下列判断P（第16题图）正确的是……………（）（A）满足的点必为的中点.（B）满足的点有且只有一个.（C）的最大值为3.（D）的最小值不存在.三、解答题（本大题满分76分，共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应的编号的规定区域内写出必要的步骤.）17.（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）已知，，，且满足.（1）求实数的值；（2）求与垂直的单位向量的坐标.18.（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）已知直线.（1）若直线过点，试写出直线的一个方向向量；（2）若实数，求直线的倾斜角的取值范围.19.(本题满分14分，第(1)小题6分，第(2)小题8分)2019年某公司投资8千万元启动休闲旅游项目.规划从2020年起，在今后的若千年内，每年继续投资2千万元用于此项目.2019年该项目的净收入为5百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均在上一年的基础上增长50%，记2019年为第1年，为第1年至此后第()年的累计利润(注:含第年，累计利润累计净收入累计投入，单位:千万元)，且当为正值时，认为该项目赢利.（1）试求;（2）根据预测，该项目将从哪年开始并持续赢利?请说明理由，20.（本题满分16分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分）数列，，数列前项和为.，.（1）求数列的通项公式；（2）若（为非零实数），求；（3）若对任意的，都存在，使得成立，求实数的最大值.21.（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）设为不等于的正常数，各项均为正，首项为，且前项和为，已知对任意的正整数，当时，恒成立.（1）求数列的通项公式；（2）若数列是首项为，公差为的等差数列，存在一列数：恰好使得且，求数列的通项公式；（3）当时，设，问数列中是否存在不同的三项恰好成等差数列?若存在，求出所有这样的三项，若不存在，请说明理由上海市行知中学2020学年第一学期期中高二年级数学学科试卷11.12考试时间：120分钟满分：150分一、填空题（本题满分54分，1-6每题4分，7-12每题5分）1.和的等比中项等于_________.【答案】2.行列式中，的代数余子式的值是_________.【解析】6的代数余子式为.3.已知向量，，则与向量相等的位置向量的坐标为_________.【答案】4.过点，且与向量垂直的直线方程是_________.（用一般式表示）【解析】所求直线方程为，即.5.关于、的二元线性方程组的增广矩阵经过变换，最后得到的矩阵为，则_________.【答案】6.已知变量、满足约束条件，则的最小值为_________.【解析】作出可行域，如图，最优解为，. 7.已知直线，过点的直线与直线夹角为，则直线的直线方程是_________.【答案】或.8.不等式表示的平面区域面积是_________.【解析】不等式表示的平面区域为图中的菱形区域，.9.已知点，点，直线：与线段有一个公共点，则实数的取值范围是_________.【解析】代入得即或10.已知点，点、分别是轴和直线上的两个动点，则的最小值等于_________.【解析】作点关于轴的对称点，则，最小值即为到直线的距离，，所以的最小值为.11.如图，等边是半径为的圆的内接三角形，是边的中点，是圆外一点，且，当绕圆心旋转时，则的取值范围为_________.【解析】法一：不妨以为原点，方向为轴正方形建系，因为，所以，因为，设，所以.法二：向量分解，观察到，，又因为，所以12.设数列的前项和为，，（），（,）．且、均为等差数列，则_________.【解析】因为，，所以①，因为分别构成等差数列，所以②，③，④，由②+③，得，而是等差数列，所以必为常数，所以，或，由①得，即，因为，所以，因为，所以，即或（舍去），所以，所以，同理，由③+④得，，所以或，因为，而，所以，即或（舍去），所以，所以，所以，所以.二、选择题（本题满分20分，共4小题，每小题5分）13.用数学归纳法证明：的过程，从“到”左端需增加的代数式为………（D）A.B.C.D.【解析】增加的代数式是，故选D.14.已知，则与的夹角为（C）A.B.C.D.【答案】C15.已知是实数等比数列前项和，则在数列中（B）A.必有一项为零B.可能有无穷多项为零C.至多一项为零D.任何一项均不为零【解析】当公比时，，即存在无穷多项为0，故选B.P（第16题图）16.如图,四边形是正方形，延长至，使得.若动点从点出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到点，其中，下列判断P（第16题图）正确的是……………（C）（A）满足的点必为的中点.（B）满足的点有且只有一个.（C）的最大值为3.（D）的最小值不存在.【解析】如图建系，设正方形的边长为1，则，所以，当时，，此时点和重合，不是的中点，故A错误；当时，，此时点和重合，满足，当时，，此时点为中点，满足，故点不唯一，故B错误；当时，，所以，当时，，所以，当时，，所以，当时，，所以，综上，，故C正确，D错误，故选C.三、解答题（本大题满分76分，共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应的编号的规定区域内写出必要的步骤.）17.（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）已知，，，且满足.（1）求实数的值；（2）求与垂直的单位向量的坐标.【解析】（1），，因为，所以，解得；（2）与垂直的向量为和，故所求单位向量为和.18.（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）已知直线.（1）若直线过点，试写出直线的一个方向向量；（2）若实数，求直线的倾斜角的取值范围.【解析】（1）把代入直线的方程，得，解得，此时直线的方程为，故直线的一个方向向量为；（2）因为，所以直线的斜率所以倾斜角.19.(本题满分14分，第(1)小题6分，第(2)小题8分)2019年某公司投资8千万元启动休闲旅游项目.规划从2020年起，在今后的若千年内，每年继续投资2千万元用于此项目.2019年该项目的净收入为5百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均在上一年的基础上增长50%，记2019年为第1年，为第1年至此后第()年的累计利润(注:含第年，累计利润累计净收入累计投入，单位:千万元)，且当为正值时，认为该项目赢利.（1）试求;（2）根据预测，该项目将从哪年开始并持续赢利?请说明理由，【解析】（1）由题意得第1年至此后第年的累计投入为（千万元），第1年至此后第年的累计净收入为（千万元），所以（千万元）；（2）令，当时，，所以时，单调递减，当时，，所以时，单调递增，又，所以该项目从第8年起开始并持续盈利.20.（本题满分16分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分）数列，，数列前项和为.，.（1）求数列的通项公式；（2）若（为非零实数），求；（3）若对任意的，都存在，使得成立，求实数的最大值.【解析】（1）因为，所以，又，所以是首项为2，公比为2的等比数列，所以，所以；（2），记，当时，，此时不存在，当时，，当时，，当时，，当时，不存在；（3）由题意得对有解，因为，所以当时，，当时，，所以，所以对恒成立，即对恒成立，因为，所以，所以，所以实数的最大值是.21.（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）设为不等于的正常数，各项均为正，首项为，且前项和为，已知对任意的正整数，当时，恒成立.（1）求数列的通项公式；（2）若数列是首项为，公差为的等差数列，存在一列数：恰好使得且，求数列的通项公式；（3）当时，设，问数列中是否存在不同的三项恰好成等差数列?若存在，求出所有这样的三项，若不存在，请说明理由【解析】（1）因为当时，恒成立，所以当时，令，得，即，又，适合，所以；（2）因为数列是首项为1，公差为3的等差数列，所以，所以，所以，因为，所以，解得，所以；（3）当时，，因为，所以数列是递减数列，假设数列中存在三项成等差数列，其中，则，即，当时，，若，则（数列是递减数列），矛盾，所以，所以，因为数列是递减数列，，而，故只能，解得，此时，故存在成等差数列.【注】填空12选自2020届闵行一模21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知数列满足，（），（）．（1）当时，写出所有可能的值；（2）当时，若且对任意恒成立，求数列的通项公式；（3）记数列的前项和为，若、分别构成等差数列，求．【解析】（1）当时，，即是以为首项、为公差的等差数列，所以……2分可得：，，所以，，所以或或或.……………4分（2）当时，，即是首项为、公差为的等差数列.所以，所以，,因为且，所以，…6分所以,所以,………8分所以.………10分（3）由已知得…………………=1\*GB3①若、分别构成等差数列，则…=2\