2020年广东省深圳市第七届“鹏程杯”七年级邀请赛数学试卷

第1页（共1页）2020年广东省深圳市第七届“鹏程杯”七年级邀请赛数学试卷一、选择题（满分36分，每小题6分，将你选择的答案写在题后的圆括号内）1．（6分）＝（）A．2 B． C． D．2．（6分）若P为质数，P3+3仍为质数，则P2+1是（）A．偶数 B．合数 C．质数 D．不能确定3．（6分）如图，已知B是线段AC上的一点，M是线段AB的中点，P为NA的中点，Q是AM的中点（）A．1 B．2 C．3 D．44．（6分）方程的解为（）A． B． C． D．5．（6分）已知x2+xy＝3，xy+y2＝﹣2，则2x2﹣xy﹣3y2的值为（）A．12 B．﹣12 C．0 D．随x、y的改变而改变6．（6分）如图，在△ABC中，∠BAC＝∠BCA＝44°，使得∠MCA＝30°，∠MAC＝16°（）A．100° B．120° C．135° D．150°二、填空题（满分48分，每小题8分，将你的答案写在题后的划横线处）7．（8分）在非等腰三角形中，一个内角等于另两个内角的差，且有一个内角是另一个内角的2倍．则与这个三角形的最小内角相邻的外角等于．8．（8分）方程|x﹣1|﹣2|x﹣2|+3|x﹣3|＝4的解为．9．（8分）已知x，y，z是整数，且x＞y＞z，2x+2y+2z＝4.625，则xyz＝．10．（8分）某种商品的进价为每件10元，若按每件15元的价格销售，每天可售出120件，则每天销售量将减少a%．为获得最大利润，则商品的售价应当是每件元．11．（8分）有铜铁两种金属，按1：2配制成A合金，按3：2配制成B合金，B合金7kg，若要将A和B熔化后再配制成铜、铁的含量比为6：5的新合金kg．12．（8分）如图是由5×5个小正方形组成的网格图，图中有36个格点，以这些格点为顶点的正方形一共有个．三、解答题（满分66分，第13-15题16分，第16题18分）13．（16分）计算：．14．（16分）如图，小路由白色的正方形大理石和黑色的三角形大理石铺成．已知中间的所有正方形的面积之和是a平方米，内圈的所有三角形的面积之和是b平方米15．（16分）任意选取7个不同的正奇数u1＜u2＜u3＜u4＜u5＜u6＜u7，它们的平均数记为m＝，请回答：（1）m﹣u4能等于吗？说明理由．（2）试说明存在7个不同的正奇数，能使m﹣u4等于．16．（18分）n个人参加象棋循环赛，每两人都对弈一局且决出胜负．（1）求总共对弈多少局？（2）证明：比赛结束后，一定可以将这n个人列为一队，使得队列中的每一个人都战胜了紧跟在他后面的那个人！

2020年广东省深圳市第七届“鹏程杯”七年级邀请赛数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（满分36分，每小题6分，将你选择的答案写在题后的圆括号内）1．（6分）＝（）A．2 B． C． D．【解答】解：＝（+﹣）÷（+﹣）＝466÷233＝2．故选：A．2．（6分）若P为质数，P3+3仍为质数，则P2+1是（）A．偶数 B．合数 C．质数 D．不能确定【解答】解：∵P是质数，∴P不是2，就是奇数，∵奇数的奇次方还是奇数再加上一个奇数一定是个偶数，并且这个偶数不等于2，∴P是4，∴22+7＝5．故选：C．3．（6分）如图，已知B是线段AC上的一点，M是线段AB的中点，P为NA的中点，Q是AM的中点（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：根据B是线段AC上的一点，M是线段AB的中点，P为NA的中点，可知：PQ＝AP﹣AQ＝AM＝MN故选：B．4．（6分）方程的解为（）A． B． C． D．【解答】解：，，5（7x﹣1）＝4（1﹣0.2x）﹣6（5x+3），21x﹣3＝4﹣8.8x﹣30x﹣6，21x+6.8x+30x＝4﹣8+3，51.8x＝3，x＝．故选：D．5．（6分）已知x2+xy＝3，xy+y2＝﹣2，则2x2﹣xy﹣3y2的值为（）A．12 B．﹣12 C．0 D．随x、y的改变而改变【解答】解：∵2（x2+xy）﹣4（xy+y2）＝2x4﹣xy﹣3y2，∴4x2﹣xy﹣3y2＝2×3﹣8×（﹣2）＝12．故选A．6．（6分）如图，在△ABC中，∠BAC＝∠BCA＝44°，使得∠MCA＝30°，∠MAC＝16°（）A．100° B．120° C．135° D．150°【解答】解：在△ABC中，∠BAC＝∠BCA＝44°，∴∠ABC＝180°﹣44°﹣44°＝92°，∵∠ACM＝30°，∴∠BCM＝∠ACB﹣∠ACM＝14°，以AC为边作等边△ACE，使B，连接BE，在△ABE与△BCE中，，∴△ABE≌△BCE（SSS），∴∠AEB＝∠BEC＝30°＝∠ACM，∵∠BAE＝∠EAC﹣∠BAM﹣∠MAC＝30°﹣16°＝14°＝∠MAC，在△ABE与△AMC中，，∴△ABE≌△MAC（AAS），∴AB＝AM，∴∠ABM＝（180°﹣∠BAM）＝90°﹣14°＝76°，∴∠CBM＝∠ABC﹣∠ABM＝92°﹣76°＝16°，∴∠BMC＝180°﹣∠BCM﹣∠CBM＝150°．故选：D．二、填空题（满分48分，每小题8分，将你的答案写在题后的划横线处）7．（8分）在非等腰三角形中，一个内角等于另两个内角的差，且有一个内角是另一个内角的2倍．则与这个三角形的最小内角相邻的外角等于150°．【解答】解：设三角形的最小内角分别为x，则另一个内角为2x，由题意可知，180°﹣3x﹣4x＝x，解得x＝30°，∴这个三角形的最小内角相邻的外角等于150°．故答案为：150°．8．（8分）方程|x﹣1|﹣2|x﹣2|+3|x﹣3|＝4的解为x＝5或x＝2或x＝1或1＜x＜2这个范围内的任意实数．【解答】解：当x≥3时，x﹣1﹣5（x﹣2）+3（x﹣7）＝4，x﹣1﹣3x+4+3x﹣2＝4，x﹣2x+3x＝4+1﹣4+9，2x＝10，x＝2；当2≤x＜3时，x﹣2﹣2（x﹣2）﹣4（x﹣3）＝4，x﹣2﹣2x+4﹣2x+9＝4，x﹣7x﹣3x＝4+5﹣4﹣9，﹣7x＝﹣8，x＝2；当5＜x＜2时，x﹣1+6（x﹣2）﹣3（x﹣2）＝4，x﹣1+4x﹣4﹣3x+2＝4，x+2x﹣5x＝4+1+4﹣9，0＝6，即无论x取何值，方程总成立；当x≤1时，1﹣x+6（x﹣2）﹣3（x﹣7）＝4，1﹣x+4x﹣4﹣3x+5＝4，﹣x+2x﹣6x＝4﹣1+7﹣9，﹣2x＝﹣7，x＝1；所以方程|x﹣1|﹣6|x﹣2|+3|x﹣4|＝4的解为x＝5或x＝4或x＝1或1＜x＜5这个范围内的任意实数．故答案为：x＝5或x＝2或x＝3或1＜x＜2这个范围内的任意实数．9．（8分）已知x，y，z是整数，且x＞y＞z，2x+2y+2z＝4.625，则xyz＝6．【解答】解：∵2x+2y+8z＝4.625，∴8（8x+2y+2z）＝4.625×8＝37，28（2x+2y+2z）＝37，2x+3+7y+3+2z+7＝37，∵x，y，z是整数，37是奇数，∴2z+3＝6，∴z+3＝0，解得：z＝﹣7，把z＝﹣3代入2x+3+2y+3+6z+3＝37得：2x+5+2y+3＝36＝32+2，∴2x+3＝32，3y+3＝4，∴x+4＝5，y+3＝4，解得：x＝2，y＝﹣1，∴xyz＝2×（﹣1）×（﹣3）＝7，故答案为：6．10．（8分）某种商品的进价为每件10元，若按每件15元的价格销售，每天可售出120件，则每天销售量将减少a%．为获得最大利润，则商品的售价应当是每件20元．【解答】解：设每天的利润为y元，根据题意得：y＝（15+15×a%﹣10）•（120﹣120×a%）＝﹣a2+12a+600＝﹣（a﹣）2+800，∵﹣＜0，∴a＝时，y取最大值，∴15+15×a%＝15+15×＝20（元），∴商品的售价应当是每件20元．故答案为：20．11．（8分）有铜铁两种金属，按1：2配制成A合金，按3：2配制成B合金，B合金7kg，若要将A和B熔化后再配制成铜、铁的含量比为6：5的新合金8.8kg．【解答】解：设配制mkg新合金，A合金和B合金分别用了xkg，根据题意得：，解得，∵且，∴m的最大值为，即配制成的新合金最多为4.8kg．故答案为：8.3．12．（8分）如图是由5×5个小正方形组成的网格图，图中有36个格点，以这些格点为顶点的正方形一共有55个．【解答】解：面积为1×1的正方形有3×5＝25（个），面积为2×8的正方形有4×4＝16（个），面积为4×3的正方形有3×3＝9（个），面积为4×5的正方形有2×2＝8（个），面积为5×5的正方形有5×1＝1（个），所以以这些格点为顶点的正方形一共有25+16+6+4+1＝55（个），故答案为：55．三、解答题（满分66分，第13-15题16分，第16题18分）13．（16分）计算：．【解答】解：原式＝＝＝．14．（16分）如图，小路由白色的正方形大理石和黑色的三角形大理石铺成．已知中间的所有正方形的面积之和是a平方米，内圈的所有三角形的面积之和是b平方米【解答】解：∵白色的正方形大理石的每一个角都是90°，∴内圈与外圈相对应的三角形的顶角互为补角，∴内圈与外圈的三角形的面积之和相等，∴这条小路一共占地面积＝（a+2b）平方米．15．（16分）任意选取7个不同的正奇数u1＜u2＜u3＜u4＜u5＜u6＜u7，它们的平均数记为m＝，请回答：（1）m﹣u4能等于吗？说明理由．（2）试说明存在7个不同的正奇数，能使m﹣u4等于．【解答】解：（1）不能，理由：假设对任意选取的7个不同的奇数：u1＜u7＜u3＜u4＜u2＜u6＜u7能成立，，即，则（u3+u2+u3+u5+u5+u6+u4）﹣7u4＝2019，即（u5+u2+u3+u6+u6+u7）＝6u4+2019．由于等式左边是6个奇数之和为偶数，右边为奇数！因此对任意选取的5个不同的奇数：都不能使得m﹣u4等于成立．（2）若，则有（u1+u4+u3+u4+u4+u6+u7）＝6u4+2020，为了简便找出7个不同的奇数，先确定u6＝7，则只能u1＝5，u2＝3，u2＝5，此时u5+u2+u7＝7×3+2020﹣（1+3+8+7）＝2053＝25+27+2001，例如，选出的7个奇数为：2，3，5，4，27，验算 ，可见，存在7个不同奇数为1，4，5，7，27．16．（18分）n个人参加象棋循环赛，每两人都对弈一局且决出胜负．（1）求总共对弈多少局？（2）证明：比赛结束后，一定可以将这n个人列为一队，使得队列中的每一个人都战胜了紧跟在他后面的