四川省南充市嘉陵第一中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

嘉陵一中高2023级高二上期中考试数学试卷考试时间：120分钟，满分150分注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.2.已知圆，圆，则两圆的公共弦所在直线的方程为（）A. B. C. D.3.平面内，动点的坐标满足方程，则动点的轨迹方程为（）A. B. C. D.4.“”是“直线与直线平行”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.已知，是椭圆的两个焦点，点在上，且，则的面积为（）A.3 B.4 C.6 D.106.如图，已知正方体的棱长为，为的中点，则点到平面的距离等于（）A. B. C. D.7.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点、的距离之比为定值的点所形成的图形是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，.点满足，设点所构成的曲线为，下列结论不正确的是（）A.的方程为B.在上存在点，使得到点的距离为3C.在上存在点，使得D.上的点到直线的最小距离为18.，，函数的最小值为（）A.2 B. C. D.二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分。每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分）9.对于随机事件和事件，，，则下列说法正确的是（）A.若与互斥，则 B.若与互斥，则C.若与相互独立，则 D.若与相互独立，则10.关于空间向量，以下说法正确的是（）A.若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则B.若空间中任意一点，有，则，，，四点共面C.若空间向量，满足，则与夹角为钝角D.若空间向量，，则在上的投影向量为11.伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达・芬奇方砖，在正六边形上画了正方体图案，如图1，把三片这样的达・芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则（）A.B.直线与平面所成角的正弦值为C.异面直线与所成角的余弦值为D.点到直线的距离是三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知向量，，若，则__________.13.已知两点，，过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是__________.14.已知圆的方程为，点是直线上的一个动点，过点作圆的两条切线，，，为切点，则四边形面积的最小值为__________；直线过定点__________.四、解答题：（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.（13分）已知直线的方程为.（I）直线与垂直，且过点，求直线的方程；（II）直线与平行，且直线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线的方程.16.（15分）某居民小区为了提高小区居民的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站.由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内读书者进行年龄调查，随机抽取了一天中40名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段：，，，，，，得到的频率分布直方图如图所示.（1）估计这40名读书者中年龄分布在区间上的人数；（2）估计这40名读书者年龄的众数和第80百分位数；（3）从年龄在区间上的读书者中任选两名，求这两名读书者年龄在区间上的人数恰为1的概率.17.（15分）已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，是线段的中点，（1）求点的轨迹方程；（2）记（1）中所求轨迹为曲线，过定点的直线与曲线交于，两点，曲线的中心记为点，求面积的最大值，并求此时直线的方程.18.（17分）如图，在四棱锥中，平面，，，且.（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值；（3）在棱上是否存在点（与，不重合），使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值，若不存在，说明理由.19.（17分）圆幂是指平面上任意一点到圆心的距离与半径的平方差：在平面上任给两个不同心的圆，则两圆圆幂相等的点的集合是一条直线，这条线称为这两个圆的根轴.已知圆与圆（1）求圆与圆的根轴；（2）已知点为根轴上的一动点，过点作圆的切线，，切点为，，当最小时，求直线的方程；（3）给出定点，设，分别为根轴和圆上的动点，求的最小值及此时点的坐标.

高二数学期中答案学生版参考答案：题号12345678910答案BBBCCCCCBCABD题号11答案ABD12.213.14.15.（1）（2）直线的方程为：或【详解】试题分析：（1）由直线与垂直，可设直线的方程为：，将点代入方程解得，从而可得直线的方程；（2）由直线与平行，可设直线的方程，由直线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，解得可得直线的方程.试题解析：（1）设直线的方程为：直线过点，解得直线的方程为：.（2）设直线的方程为：令，得；令，得则，得直线的方程为：或.16.（1）30（2）众数为55；第80百分位数为66（3）【分析】（1）先根据频率分布直方图求出频率，再根据频数的计算方法可得答案；（2）最高矩形中点横坐标即为众数；根据百分位数的定义可求得样本的第80百分位数；（3）计算抽取的人中，位于的有2人，记为，，数学成绩位于的有4人，记为，，，，列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式即可求解.【详解】（1）由频率分布直方图知，年龄在区间上的频率为：所以40名读书者中年龄分布在区间上的人数为：（2）由频率分布直方图可知，40名读书者年龄的众数约为55；年龄在区间上的频率为：年龄在区间上的频率为：，故第80百分位数位于之间，设为，所以，解得，所以这40名读书者年龄的第80百分位数约为66.（3）由频率分布直方图知：年龄在区间上的读书者有人，分别记为，，年龄在区间上的读书者有人，分别记为，，，，从上述6人中选出2人，则有，，，，，，，，，，，，，，，共15种情况；其中恰有1人在的情况有，，，，，，，，共8种情况；所以恰有1人在的概率为.17.（1）（2）或【分析】（1）设点，，根据题意得到，代入圆，即可求解；（2）根据题意，设直线，求得圆心到直线的距离为，得到，结合基本不等式，求得最小值，进而求得直线的方程.【详解】（1）解：设点，，由点的坐标为，且是线段的中点，则，可得，，即，因为点在圆上运动，所以点点坐标满足圆的方程，即，整理得，所以点的轨迹方程为.（2）解：过点定点的直线与曲线交于，两点，则直线的斜率一定存在且不为0，设直线，即，则圆心到直线的距离为，又因为，当且仅当时，即时，等号成立，所以时，取得最大值2，此时，解得或，所以取得最大值2，此时直线的方程为或.18【分析】（1）根据线面垂直的性质定理，结合线面垂直的判定定理进行证明即可；（2）根据线面的垂直关系，建立空间直角坐标系，利用空间向量平面间夹角公式进行求解即可；（3）利用空间向量线面角夹角公式进行求解即可.【详解】（1）因为平面，平面，所以，又因为，，所以，而，，平面，所以平面；（2）因为平面，，平面，所以，，而，于是建立如图所示的空间直角坐标系，，，，，，由（1）可知：平面，所以平面的法向量为，设平面的法向量为，，，则有，设平面与平面夹角为，；（3）设，设，于是有，，由（2）可知平面的法向量为，假设与平面所成角的正弦值为，则有，或舍去，即.19.（1）；（2）；（3）的最小值为，此时.【分析】（1）先求出圆和圆的圆心和以及半径和，接着由列式化简即可得解.（2）先由题意求得，进而结合求得取得最小值时亦即取得最小值时，接着求出此时的点坐标，再求出以线段为直径的圆的方程，从而求出该圆与圆的公共弦所在直线方程即可得解.（3）先求出关于根轴对称的点，接着得，从而得与圆和根轴相交的点和使得最小，进而求得的最小值，再由联立根轴的方程即可求出.【详解】（1）由题圆的圆心为，半径为；圆圆心为，半径为，设点为圆与圆的根轴上的任意一点，则由题可得，即，整理得，即圆与圆的根轴为直线.（2）由题意可知且，，，设与相交于点，则，又，所以，所以取得最小值时即为取得最小值时，又，所以取得最小值时亦即取得最小值时，而取得最小值时，且该最小值为圆心到根轴的距离为，此时即，联立，故此时，所以此时中点坐标为，所以以线段为直径的圆的方程为，即，则是该圆与圆的公共弦，所以两圆方程相减即为直线的方程为：即