2024-2025学年陕西省咸阳市乾县高二上学期第一次阶段性检测数学试题（含解析）

2024-2025学年陕西省咸阳市乾县高二上学期第一次阶段性检测数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必填写答题卡上的有关项目．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡交回．一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列各式正确的是（）A. B.C. D.2.在平行六面体中，AC与BD的交点为M，设，，，则下列向量中与相等的向量是（）A. B.C. D.3.双曲线的两条渐近线的夹角的大小等于（）A. B. C. D.4.已如向量，，且与互相垂直，则（）．A. B. C. D.5.若正三棱锥的所有棱长均为3，则该正三棱锥的体积为（）A.3 B. C. D.6.已知空间中三点，，，则以，为邻边的平行四边形的面积为（）A B. C.3 D.7.在中，，则的长为（）A. B.4 C. D.58.已知点A，B，C，D，P，Q都在同一个球面上，为正方形，若直线PQ经过球心，且平面.则异面直线所成的角的最小值为（）A. B. C. D.二、多选题（本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或者不选得0分．）9.设，为随机事件，且，是，发生的概率.，，则下列说法正确的是（）A.若，互斥，则 B.若，则，相互独立C.若，互斥，则，相互独立 D.若，独立，则10.已知空间三点，，，则下列说法正确的是（）A. B. C. D.11.函数y=fx的定义域为，区间，对于任意，，恒满足，则称函数在区间上为“凸函数”.下列函数在定义域上为凸函数的是（）A. B.C. D.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知直线过点，且在轴上的截距为在轴上的截距的两倍，则直线的方程是___________.13.方程的两根为，且，则____________.14.如图，在正方体中，，点分别为中点，则平面截正方体所得截面面积为__________，动点满足，且，则当取得最小值时二面角的余弦值为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.在中，角所对的边分别为．（1）若，求的值；（2）求面积的最大值．16已知空间三点.（1）求（2）求的面积；17.我们可以用“配方法”和“主元法”等方法证明“二元不等式”：，当且仅当时，等号成立．（1）证明“三元不等式”：．（2）已知函数．①解不等式；②对任意x∈0,+∞，恒成立，求实数的取值范围．18.如图，四边形是直角梯形，为的中点，是平面外一点，是线段上一点，三棱锥的体积是.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.19.一般地，我们把按照确定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，常用符号表示，，第个位置上的数叫做这个数列的第项，常用符号表示.定义：一个正整数称为“漂亮数”，当且仅当存在一个数列，满足①②③：①都是正整数；②；③.（1）写出最小的“漂亮数”；（2）当时，求出所有“漂亮数”2024-2025学年陕西省咸阳市乾县高二上学期第一次阶段性检测数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必填写答题卡上的有关项目．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡交回．一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列各式正确的是（）A. B.C. D.【正确答案】D【分析】根据指数幂运算求解.【详解】对A：原式，所以A选项错误；对B：原式，所以B选项错误；对C：原式，所以C选项错误；对D：显然，所以原式，所以D选项正确.故选：D2.在平行六面体中，AC与BD的交点为M，设，，，则下列向量中与相等的向量是（）A. B.C. D.【正确答案】C【分析】结合图形，由空间向量的线性运算可得.【详解】如图，因为四边形ABCD为平行四边形，所以M为AC中点，所以，所以.故选：C3.双曲线的两条渐近线的夹角的大小等于（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】求得双曲线的两条渐近线方程，得到斜率和倾斜角，再求出渐近线夹角的大小.【详解】双曲线的两条渐近线的方程为，由直线的斜率为，可得倾斜角为，的斜率为，可得倾斜角为，所以两条渐近线的夹角的大小为，故选：B.4.已如向量，，且与互相垂直，则（）．A. B. C. D.【正确答案】B【分析】计算，根据向量垂直得到答案.【详解】，，则，与互相垂直，则，.故选：B.本题考查了根据向量垂直求参数，属于简单题.5.若正三棱锥的所有棱长均为3，则该正三棱锥的体积为（）A.3 B. C. D.【正确答案】C【分析】作出三棱锥的高，求出对应线段长，通过体积公式得出三棱锥体积.【详解】如图，正三棱锥，，取中点，连接，取等边三角形的中心，连接，由正四面体的性质可知，顶点与底面中心连线垂直底面，∴平面即三棱锥的高为，∵，∴，∴，∴，∴.故选：C6.已知空间中三点，，，则以，为邻边的平行四边形的面积为（）A. B. C.3 D.【正确答案】D【分析】依题意求出，，，，即可求出，再由面积公式计算可得.【详解】因为，，，所以，，则，，，所以，又因为，所以，则以，为邻边的平行四边形的面积.故选：D7.在中，，则的长为（）A. B.4 C. D.5【正确答案】C【分析】根据题意可知，所以根据两角和正弦公式可求得，再根据正弦定理可求得.【详解】根据三角形内角和为，所以可知，则，根据正弦定理可知，代入解之可得.故选：C8.已知点A，B，C，D，P，Q都在同一个球面上，为正方形，若直线PQ经过球心，且平面.则异面直线所成的角的最小值为（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】先由几何关系确定球心，再建立如图所示坐标系，然后分别求出及其模长，再代入向量的夹角公式，最后结合余弦函数的取值确定最小值即可.【详解】设球的半径为，记正方形中心为，因为为正方形，直线PQ经过球心，且平面．所以过点且的中点为球心，设球心为，以为原点，分别为x，y，z轴正半轴，建立空间直角坐标系，设，，则，，，，所以，，所以，所以，，又，即．所以，当且仅当时等号成立，设直线所成的角为，则，又，所以．故选：A．二、多选题（本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或者不选得0分．）9.设，为随机事件，且，是，发生的概率.，，则下列说法正确的是（）A.若，互斥，则 B.若，则，相互独立C.若，互斥，则，相互独立 D.若，独立，则【正确答案】ABD【分析】利用互斥事件的概率公式可判断A选项；由相互独立事件的概念可判断B选项；由互斥事件和相互独立事件的概念可判断C选项；由相互独立事件的概念，可判断D选项.【详解】对于选项A，若互斥，根据互斥事件的概率公式，则，所以选项A正确，对于选项B，由相互独立事件的概念知，若，则事件是相互独立事件，所以选项B正确，对于选项C，若互斥，则不一定相互独立，例：抛掷一枚硬币的试验中，事件：“正面朝上”，事件：“反面朝上”，事件与事件互斥，但，，不满足相互独立事件的定义，所以选项C错误，对于选项D，由相互独立事件的定义知，若，独立，则，所以选项D正确，故选：ABD.10.已知空间三点，，，则下列说法正确的是（）A. B. C. D.【正确答案】AC【分析】由条件可得的坐标，然后逐一判断即可.【详解】因为，，，所以所以，，所以不共线.故选：AC11.函数y=fx的定义域为，区间，对于任意，，恒满足，则称函数在区间上为“凸函数”.下列函数在定义域上为凸函数的是（）A. B.C. D.【正确答案】AD【分析】对A：，结合对数函数性质化简即可得；对B：，举出反例即可得；对C：，化简即可得；对D：，化简即可得.【详解】对A：，，，由在0,+∞上单调递增，故其等价于，化简可得，故满足题意，故A正确；对B：，，，取，，可得，，又，故此时不满足题意，故B错误；对C：，，，化简得恒成立，不满足题意，故C错误；对D：，，，左右平方后化简可得，故满足题意，故D正确.故选：AD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知直线过点，且在轴上的截距为在轴上的截距的两倍，则直线的方程是___________.【正确答案】或【分析】当纵截距为时，设直线方程为，代入点求得的值，当纵截距不为时，设直线的截距式方程，代入点求解.【详解】①当直线在两坐标轴上的截距均为时，设直线方程为，因为直线过点，所以，所以直线的方程为；②当直线在两坐标轴上的截距均不为时，设直线在轴上的截距为，则在轴上的截距为，则直线的方程为，又因为直线过点，所以，解得：，所以直线的方程为，即，综上所述：直线的方程为或，故y=2x或．13.方程的两根为，且，则____________.【正确答案】-3【分析】根据根与系数的关系即可求得答案.【详解】∵方程的两根为，∴，，由题意得：；，∵，∴，，故，故-3.14.如图，在正方体中，，点分别为的中点，则平面截正方体所得截面面积为__________，动点满足，且，则当取得最小值时二面角的余弦值为__________.【正确答案】①.②.##【分析】建立适当的空间直角坐标系，第一空：只需证明即可得到平面截正方体所得截面为梯形，进一步结合已知条件求解即可；第二空：结合已知将取得最小值转换为，其中，进一步求出两平面的法向量即可求解.【详解】由题意以点为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，第一空：因为分别为的中点，所以，因为，所以，所以四边形是平行四边形，所以，因为，所以，即四点共面，所以平面截正方体所得截面为梯形，由对称性可知该梯形是等腰梯形，因为正方体棱长为4，所以梯形的上底，下底，梯形的腰长为，所以梯形的高为，故所求截面面积为；第二空：由题意，且，所以，在中，当时，，所以表示经过点且法向量为的平面，即点在平面上，由以上分析可知，，若要取得最小值，只需最小，此时，当然也有，由题意设，而，设平面的法向量为n1=所以，令，解得，所以可取，显然平面的一个法向量可以是，二面角的余弦值为.故18，.关键点点睛：第二空的关键在于将取得最小值转换为，其中，由此即可顺利得证.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.在中，角所对的边分别为．（1）若，求的值；（2）求面积的最大值．【正确答案】（1）（2）【分析】（1）根据正弦定理可得，从而可求的值；（2）利用基本不等式可得，再根据余弦定理可得的范围，从而可得的范围，结合三角形面积公式，即可得面积的最大值．【小问1详解】由正弦定理，可得，【小问2详解】，，由余弦定理可得，，，，，当且仅当时，等号成立，此时面积取得最大值16.已知空间三点.（1）求（2）求的面积；【正确答案】（1）（2）【分析】（1）先求出向量坐标，再根据模长公式计算即可；（2）先求出向量，的夹角，再利用三角形的面积公式即可求解；小问1详解】，【小问2详解】设向量，的夹角为，由，，，，又三角形中，.17.我们可以用“配方法”和“主元法”等方法证明“二元不等式”：，当且仅当时，等号成立．（1）证明“三元不等式”：．（2）已知函数．①解不等式；②对任意x∈0,+∞，恒成立，求实数的取值范围．【正确答案】（1）见解析（2）①；②.分析】（1）先证明，，，再将三式相加结合基本不等式即可证明；（2）①移项通分化整式不等式，解高次不等式即可得出答案；②由三元不等式求出在0,+∞的最小值，可以将题意转为在x∈0,+∞恒成立，即，解不等式即可得出答案.【小问1详解】因为，则（当且仅当时取等），所以（当且仅当时取等），同理（当且仅当时取等），（当且仅当时取等），三式相加可得：，又因为，所以，所以（当且仅当时取等）.【小问2详解】①由可得：，所以，即，即，则，所以，解得.②因为当x∈0,+∞时，当且仅当，即时取等，所以当x∈0,+∞时，对任意x∈0,+∞，则，所以，解得.所以实数的取值范围为.18.如图，四边形是直角梯形，为的中点，是平面外一点，是线段上一点，三棱锥的体积是.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.【正确答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）连接交于点，借助全等三角形的判定定理可得，从而可得，即可得，再利用线面垂直的判定定理可得平面，即可得，再利用勾股定理的逆定理及线面垂直的判定定理即可得证；（2）建立适当空间直角坐标系，设，再借助体积公式计算出的值，从而可计算出平面与平面的法向量，再利用空间向量夹角公式求解即可得.【小问1详解】如图，连接交于点，因为，所以，所以，因为，所以，所以，即，又因为平面，所以平面，又平面，所以．又因为，所以，又平面，所以平面；【小问2详解】以为原点，所在直线分别为轴，平行于的直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，设，则，即点，则三棱锥体积，解得，所以，则，设平面的法向量，由，令，