2024-2025学年安徽省芜湖市镜湖区高二上学期11月期中数学质量检测试题（含解析）

2024-2025学年安徽省芜湖市镜湖区高二上学期11月期中数学质量检测试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知，则（）A. B. C. D.2.如图，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，点N为BC中点，则等于（）A B.C. D.3.在空间直角坐标系中，已知点，点，则（）A.点和点关于轴对称 B.点和点关于轴对称C点和点关于轴对称 D.点和点关于原点中心对称4.已知直线的斜率的范围为，则直线的倾斜角的取值范围为（）A.或B.C.D.或5.已知点，，，则外接圆的方程是（）．A. B.C. D.6.与椭圆有相同焦点，且短轴长为的椭圆的标准方程为（）A. B. C. D.7.已知是椭圆的两个焦点，焦距为6.若为椭圆上一点，且的周长为16，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.8.已知是圆上的两个不同的点，若，则的取值范围为（）A. B. C. D.二､多选题：本题共4小题，每小题6分，共24分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知直线和直线，下列说法正确的是（）A直线始终过定点 B.若，则或C.若，则或 D.当时，不过第四象限10.点在圆上，点在圆上，则（）A.两个圆的公切线有2条B.的取值范围为C.两个圆上任意一点关于直线的对称点仍在该圆上D.两个圆的公共弦所在直线的方程为11.如图，在棱长为2的正方体中，分别为的中点，是线段上的一个动点，则下列说法正确的是（）A.直线与平面所成角的余弦值的取值范围为B.点到平面的距离为C.点到所在直线的距离为2D.若线段的中点为，则一定平行于平面12.双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布•伯努利用来描述他所发现曲线.在平面直角坐标系中，把到定点的距离之积等于的点的轨迹称为双纽线.已知曲线为一条双纽线，曲线上的点到定点的距离之积为4，点是曲线上一点，则下列说法中正确的是（）A.点在曲线上B.面积的最大值为1C.点在椭圆上，若，则点也在曲线上D.的最大值为三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.直线l过点且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为______．14.已知圆与圆相交，则的取值范围为__________.15.加斯帕尔•蒙日是18～19世纪法国著名的几何学家，他在研究时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆，若直线上存在点，过可作的两条互相垂直的切线，则椭圆离心率的取值范围是______.16.阅读材料：数轴上，方程可以表示数轴上的点；平面直角坐标系中，方程不同时为可以表示坐标平面内的直线；空间直角坐标系中，方程不同时为可以表示坐标空间内的平面.过点且一个法向量为n=a,b,c的平面的方程可表示为.阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为__________.四､解答题：本题共6小题，共66分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知的顶点边上的中线所在直线方程边上的高所在直线方程为.（1）求顶点的坐标；（2）求直线的斜率.18.已知圆的方程为.（1）过点的直线截圆所得弦长为，求直线的方程；（2）过直线上任意一点向圆引切线，切点为，求的最小值.19.如图，在四棱锥中，底面为菱形，是边长为的正三角形，，平面平面.（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.20.已知直线与椭圆交于两点，线段的中点坐标为.（1）求直线的方程；（2）求的面积.21.如图，已知多面体的底面为矩形，四边形为平行四边形，平面平面是的中点.（1）证明：平面；（2）在棱（不包括端点）上是否存在点，使得平面与平面的夹角为？若存在，求的长度；若不存在，请说明理由.22.知椭圆分别为椭圆的左顶点和上顶点，为右焦点.过的直线与椭圆交于的最小值为，且椭圆上的点到的最小距离为.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知椭圆的右顶点为是椭圆上的动点（不与顶点重合）.若直线与直线交于点，直线与轴交于点.记直线的斜率为，直线的斜率为，求的最小值.2024-2025学年安徽省芜湖市镜湖区高二上学期11月期中数学质量检测试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，则（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】利用向量加减法的坐标表示计算可得结果.【详解】由可得.故选：B2.如图，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，点N为BC中点，则等于（）A. B.C. D.【正确答案】B【分析】利用空间向量的加法及减法运算法则进行线性运算，逐步表示即可得到结果.【详解】∵点为中点，∴，∴.故选：B.3.在空间直角坐标系中，已知点，点，则（）A.点和点关于轴对称 B.点和点关于轴对称C.点和点关于轴对称 D.点和点关于原点中心对称【正确答案】B【分析】根据空间直角坐标系点的对称规律解题.【详解】由于,坐标不变，其他互为相反数.则两点关于轴对称.故选：B.4.已知直线的斜率的范围为，则直线的倾斜角的取值范围为（）A.或B.C.D或【正确答案】D【分析】利用直线的倾斜角与斜率的关系计算即可.【详解】由题意可知，由正切函数的单调性可知：或.故选：D5.已知点，，，则外接圆的方程是（）．A. B.C. D.【正确答案】B【分析】根据条件可得是直角三角形，求出圆的圆心与半径，写出圆的标准方程即可．【详解】由题得是直角三角形，且，所以圆的半径为，圆心为，所以外接圆的方程为.故选：B.6.与椭圆有相同焦点，且短轴长为的椭圆的标准方程为（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】求出所求椭圆的焦点坐标，可得出的值，由已知条件可得出的值，由此可得出的值，进而可得出所求椭圆的标准方程.【详解】椭圆可化为标准方程，可知椭圆的焦点在轴上，焦点坐标为，故可设所求椭圆方程为，则.又，即，所以，故所求椭圆的标准方程为.故选：B.本题考查椭圆方程的求解，要注意分析椭圆焦点的位置，考查计算能力，属于基础题.7.已知是椭圆的两个焦点，焦距为6.若为椭圆上一点，且的周长为16，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】运用椭圆定义和焦距性质可解.【详解】根据题意，焦距，.根据椭圆定义，周长为，解得.则离心率为.故选：C8.已知是圆上的两个不同的点，若，则的取值范围为（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】由题设知，.设为中点，所以.求出点的轨迹方程.设点到直线的距离分别为，求出，得到.求出点到直线的距离，得出的范围即可解决.【详解】由题设知，圆圆心坐标，半径为2，因为，所以.设为的中点，所以.所以点的轨迹方程为.其轨迹是以为圆心，半径为的圆.设点到直线的距离分别为，所以，所以.因为点到直线的距离为，所以，即，所以.所以的取值范围为.故选：A二､多选题：本题共4小题，每小题6分，共24分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知直线和直线，下列说法正确的是（）A.直线始终过定点 B.若，则或C.若，则或 D.当时，不过第四象限【正确答案】AC【分析】根据已知条件，直接求出直线的定点，即可判断A，再结合直线平行、垂直的性质判断B、C，将直线方程化为斜截式，即可判断D【详解】对于A：直线，即，令，解得，故直线过定点0,1，故A正确；对于B：若，则，解得或，当时，，，则与重合，故舍去，当时，易得，所以，故B错误；对于C：若，则，解得或，故C正确；对于D：当时，直线始终过点0,1，且斜率为负，故该直线过第一、二、四象限，故D错误．故选：AC．10.点在圆上，点在圆上，则（）A.两个圆的公切线有2条B.的取值范围为C.两个圆上任意一点关于直线的对称点仍在该圆上D.两个圆的公共弦所在直线的方程为【正确答案】BC【分析】求出两圆圆心坐标和半径可判断出两圆外离，即A错误，D错误；利用圆上点最值关系可得B正确，易知直线即为两圆对称轴，可得C正确.【详解】易知圆的圆心为，半径将化为，可知圆心为，半径；对于A，易知两圆心距，可知两圆外离，所以两个圆的公切线有4条,即A错误；对于B，易知的最小值为，最大值为，所以的取值范围为，即B正确；对于C，显然两圆圆心，都在直线上，因此直线即为两圆对称轴，即可判断C正确；对于D，由选项A可知两圆外离，即不存在公共弦，所以D错误.故选：BC11.如图，在棱长为2的正方体中，分别为的中点，是线段上的一个动点，则下列说法正确的是（）A.直线与平面所成角的余弦值的取值范围为B.点到平面的距离为C.点到所在直线的距离为2D.若线段的中点为，则一定平行于平面【正确答案】BCD【分析】建系，求平面的法向量.对于A：利用空间向量求线面夹角；对于B：利用空间向量求点到面的距离；对于C：利用空间向量求点到直线的距离；对于D：利用空间向量证明线面平行.【详解】如图，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，

则，设，可得，设平面的法向量，则，令，则，可得，对于选项A：设直线与平面所成角为，可得，所以直线与平面所成角的余弦值的取值范围为，故A错误；对于选项B：点到平面的距离为，故B正确；对于选项C：因为，则，且，则点到所在直线的距离为，故C正确；对于选项D：由题意可知：，则，可得，可知，且平面，所以一定平行于平面，故D正确；故选：BCD12.双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布•伯努利用来描述他所发现的曲线.在平面直角坐标系中，把到定点的距离之积等于的点的轨迹称为双纽线.已知曲线为一条双纽线，曲线上的点到定点的距离之积为4，点是曲线上一点，则下列说法中正确的是（）A.点在曲线上B.面积的最大值为1C.点在椭圆上，若，则点也在曲线上D.的最大值为【正确答案】ACD【分析】对A：根据双纽线定义，求得其轨迹方程，将点坐标代入即可检验；对B：根据三角形面积公式，结合勾股定理，即可容易求得面积最大值；对C：根据题意，求得，即可验证是否满足双纽线定义；对D：根据，结合余弦定理，即可求得的最大值.【详解】对A：设动点，由题可得的轨迹方程；把点代入上式，上式显然成立，故点在曲线上，A正确；对B：，当时，即当时，即当或时，，，此时，的面积取得最大值，故B错误；对C：椭圆上的焦点坐标恰好为与，则，又，所以，故，所以点也在曲线上，C正确；对D：因为，所以由余弦定理得，于是有，因此，所以，则，当且仅当，也即时，根据A中所求，结合对称性可知，也即，等号成立；故的最大值为，D正确.故选：ACD.关键点点睛：处理本题的关键，一是熟练掌握椭圆、双曲线中焦点三角形面积的处理方法，从而在双纽线中借鉴类似的处理手段；二是，紧扣双纽线定义和轨迹方程，从而处理问题.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.直线l过点且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为______．【正确答案】或【分析】利用分类讨论，结合点斜式方程与截距式方程，可得答案.【详解】当直线过原点时，斜率为，则方程为；当直线不过原点时，由题意方程可设，代入，可得，解得，则方程为.故或.14.已知圆与圆相交，则的取值范围为__________.【正确答案】【分析】先求得两圆的圆心与半径，然后根据两圆的位置关系列出不等式，代入计算，即可得到结果.【详解】因为圆的圆心，半径为，圆的圆心为，半径为，则圆心距为，且两圆相交，则，解得.故15.加斯帕尔•蒙日是18～19世纪法国著名的几何学家，他在研究时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆，若直线上存在点，过可作的两条互相垂直的切线，则椭圆离心率的取值范围是______.【正确答案】【分析】首先通过椭圆的四条特殊切线可知道蒙日圆的半径，问题转化为直线与蒙日圆有交点问题，根据直线与圆的位置关系列式即可求解.【详解】由椭圆方程可知蒙日圆半径为，所以蒙日圆方程为，∵点在椭圆的蒙日圆上，又因为点在直线上，∴直线和蒙日圆有公共点.∴圆心到直线的距离不大于半径，即，所以，所以椭圆离心率，所以.故答案为.16.阅读材料：数轴上，方程可以表示数轴上的点；平面直角坐标系中，方程不同时为可以表示坐标平面内的直线；空间直角坐标系中，方程不同时为可以表示坐标空间内的平面.过点且一个法向量为n=a,b,c的平面的方程可表示为.阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为__________.【正确答案】【分析】利用题意先得出平面的方程及其一个法向量，再计算两平面与的法向量，设交线的方向向量结合线面夹角的向量法计算即可.【详解】平面的方程为，所以平面的法向量可取，平面的法向量为，平面的法向量为，设两平面的交线的方向向量为，由，取，可得，所以为直线的一个方向向量.设直线与平面所成角的大小为，则.故答案为.四､解答题：本题共6小题，共66分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知的顶点边上的中线所在直线方程边上的高所在直线方程为.（1）求顶点的坐标；（2）求直线的斜率.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）根据两条直线互相垂直斜率互为相反数，得出AC所在直线方程，再跟CM所在直线方程联立方程即可.（2）设点的坐标把M的坐标表示出来，利用点B在直线BH上，点M在直线CM上，列式联立方程即可.【小问1详解】边上的高所在直线方程为，其斜率为，故直线的斜率为，则直线的方程为：，即，联立方程与中线所在直线方程，可得，故点的坐标为.【小问2详解】设点的坐标为，由点在直线上可得；的中点的坐标为，点的坐标满足直线方程，即；故可得，即点坐标为.则直线的斜率为.18.已知圆的方程为.（1）过点的直线截圆所得弦长为，求直线的方程；（2）过直线上任意一点向圆引切线，切点为，求的最小值.【正确答案】（1）或（2）6【分析】（1）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，再由弦长公式求得结果；（2）由切线长公式可知当最小，计算可得的最小值.【小问1详解】圆的标准方程为.①当斜率不存在时，直线的方程为，直线截圆所得弦长为，符合题意；②当斜率存在时，设直线，圆心到直线的距离为根据垂径定理可得，即，解得.即直线的方程为或【小问2详解】圆心.因为与圆相切，所以.当最小，所以.可得19.如图，在四棱锥中，底面为菱形，是边长为的正三角形，，平面平面.（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【正确答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）取的中点，连接，根据条件得到，，由线面垂直的判定理得平面，再由线面垂直的性质定理，即可证明结果；（2）根据条件，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和，利用线面角的向量法，即可求解.【小问1详解】如图，取的中点，连接，因为是边长为的正三角形，所以，在菱形中，，则为等边三角形，所以，又平面，所以平面，又平面，所以.【小问2详解】由（1）得，因为平面平面，平面平面平面，所以平面，如图，以点为原点，分别以为轴正方向建立空间直角坐标系.因，则.设平面的法向量为n=x,y,z，则有，令，则，所以，因为，记直线与平面所成角为，则所以直线与平面所成角的正弦值为.20.已知直线与椭圆交于两点，线段中点坐标为.（1）求直线的方程；（2）求的面积.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）设Ax1,（2）根据（1）中求出的直线方程和椭圆联立，根据韦达定理，可求出长，根据点到直线距离公式可求出点到直线的距离，即可求解.【小问1详解】设Ax由是椭圆上两点得，，两式相减得，即，因为线段的中点坐标为，所以，所以，即，所以直线的方程为，即.【小问2详解】由得，，则，所以，点到直线的距离，所以.21.如图，已知多面体的底面为矩形，四边形为平行四边形，平面平面是的中点.（1）证明：平面；（2）在棱（不包括端点）上是否存在点，使得平面与平面的夹角为？若存