专题09三角函数与数列(解答题)（原卷版） - 大数据之十年高考真题（2014-2025）与优 质模拟题（新高考卷与全国理科卷）

大数据之十年高考真题（2015-2024）与优质模拟题（新高考卷）专题09三角函数与数列(解答题)1．【2024年新高考1卷第15题】记△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知sinC=2(1)求B；(2)若△ABC的面积为3+3，求2．【2024年新高考1卷第19题】设m为正整数，数列a1,a2,...,a4m+2是公差不为0的等差数列，若从中删去两项ai和(1)写出所有的i,j，1≤i<j≤6，使数列(2)当m≥3时，证明：数列a1,(3)从1,2,...,4m+2中一次任取两个数i和ji<j，记数列a1,a23．【2024年甲卷理科第18题】记Sn为数列an的前n项和，已知(1)求an(2)设bn=(−1)n−4．【2024年新高考2卷第15题】记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+(1)求A．(2)若a=2，2bsin5．【2023年新课标全国Ⅱ卷第17题】记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知△ABC的面积为(1)若∠ADC=π3，求(2)若b2+c6．【2023年新课标全国Ⅱ卷第18题】已知an为等差数列，bn=an−6,n为奇数2an,n为偶数，记S(1)求an(2)证明：当n>5时，T7．【2023年新课标全国Ⅰ卷第17题】已知在△ABC中，A+B=3(1)求sinA(2)设AB=5，求AB8．【2023年新课标全国Ⅰ卷第20题】设等差数列an的公差为d，且d>1．令bn=n2+n(1)若3a2=(2)若bn为等差数列，且S99−9．【2023年高考全国乙卷理第18题】在△ABC中，已知∠BAC=120°，AB=2(1)求sin∠ABC(2)若D为BC上一点，且∠BAD=90°，求10．【2023年高考全国甲卷理第17题】设Sn为数列an的前n项和，已知(1)求an(2)求数列an+12n的前11．【2022年新课标全国Ⅰ卷第17题】记Sn为数列an的前n项和，已知a1(1)求an(2)证明：1a12．【2022年新课标全国Ⅰ卷第18题】记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosA(1)若C=2π3(2)求a213．【2022年新课标全国Ⅱ卷第17题】已知an为等差数列，bn是公比为2的等比数列，且(1)证明：a1(2)求集合kb14．【2022年新课标全国Ⅱ卷第18题】记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1,S(1)求△ABC的面积；(2)若sinAsinC=15．【2022年高考全国乙卷理第17题】记△ABC的内角A,B,C的对边分别为(1)证明：2a(2)若a=5,cosA=2516．【2022年高考全国甲卷理第17题】记Sn为数列an的前n项和．已知(1)证明：an(2)若a4,a17．【2021年新课标全国Ⅰ卷第17题】已知数列an满足a1（1）记bn=a2n，写出b（2）求an的前20项和18．【2021年新课标全国Ⅰ卷第19题】记△ABC是内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2=ac，点D在边AC上，（1）证明：BD=b；（2）若AD=2DC，求19．【2021年新课标全国Ⅱ卷第17题】记Sn是公差不为0的等差数列an的前n项和，若（1）求数列an的通项公式a（2）求使Sn>a20．【2021年新课标全国Ⅱ卷第18题】在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，b=a+1，c=a+2（1）若2sinC=3sinA（2）是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形?若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．21．【2021年高考全国乙卷理第19题】记Sn为数列an的前n项和，bn为数列Sn的前（1）证明：数列bn（2）求an22．【2021年高考全国甲卷理第18题】已知数列an的各项均为正数，记Sn为an的前n①数列an是等差数列：②数列Sn是等差数列；③注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．23．【2020年新课标全国Ⅱ卷第17题】在①ac=3，②csinA=3，③问题：是否存在△ABC，它的内角A,B,C的对边分别为a,b注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．24．【2020年新课标全国Ⅱ卷第18题】已知公比大于1的等比数列{an}（1）求{a（2）求a125．【2020年新课标全国Ⅰ卷第18题】已知公比大于1的等比数列{an}（1）求{a（2）记bm为{an}在区间(0,m](m∈26．【2020年新课标Ⅲ卷理科第17题】设数列{an}满足a1=3，an（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．27．【2020年新课标Ⅱ卷理科第17题】△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．（1）求A；（2）若BC=3，求△ABC周长的最大值.28．【2020年新课标Ⅰ卷理科第17题】设{an}是公比不为1的等比数列，a1为（1）求{a（2）若a1=1，求数列{29．【2019年新课标Ⅲ卷理科第18题】ΔABC的内角A,B,C（1）求B；（2）若ΔABC为锐角三角形，且c=1，求30．【2019年新课标Ⅱ卷理科第19题】已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0，4an+1（1）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列；（2）求{an}和{bn}的通项公式.31．【2019年新课标Ⅰ卷理科第17题】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sinB−（1）求A；（2）若2a+b=2c32．【2018年新课标Ⅱ卷理科第17题】记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知

（1）求{a

（2）求Sn，并求S33．【2018年新课标Ⅲ卷理科第17题】等比数列an中，a（1）求an（2）记Sn为an的前n项和．若Sm34．【2018年新课标Ⅰ卷理科第17题】在平面四边形ABCD中，∠ADC=90∘，∠A=45（1）求cos∠ADB（2）若DC=22，求35．【2017年新课标Ⅰ卷理科第17题】△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知△ABC的面积为a(1)求sinB(2)若6cosBcosC=1,36．【2017年新课标Ⅲ卷理科第17题】ΔABC的内角A,B,C（1）求角A和边长c；（2）设D为BC边上一点，且AD⊥AC,求ΔABD37．【2017年新课标Ⅱ卷理科第17题】△ABC的内角A,B,C的对边分别为（1）求cosB（2）若a+c=6，△ABC面积为2，求b38．【2016年新课标Ⅲ卷理科第17题】已知数列{an}的前n项和S（Ⅰ）证明{a（Ⅱ）若S5=3139．【2016年新课标Ⅱ卷理科第17题】Sn为等差数列an的前n项和，且2n−12,n为奇数2n（Ⅰ）求b1（Ⅱ）求数列bn40．【2016年新课标Ⅰ卷理科第17题】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知2cosC（1）求角C；（2）若c=7，SΔABC41．【2015年新课标Ⅱ理科第17题】ΔABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，ΔABD面积是(1)求sinB(2)若AD＝1，DC＝2242．【2015年新课标Ⅰ理科第17题】Sn为数列{an}的前n项和.已知an＞0，a（Ⅰ）求{an（Ⅱ）设bn=1an1．（2024·四川自贡·三模）已知数列an的前项和为Sn，且(1)证明：数列an(2)若a5，a9，a112．（2024·新疆喀什·三模）已知数列an的首项a1=3，且满足(1)求证：数列an(2)记bn=log2an−13．（2024·江西新余·二模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且△ABC的面积S=1(1)求角B；(2)若∠ABC的平分线交AC于点D，a=3，c=4，求4．（2024·山东济南·二模）如图，已知平面四边形ABCD中，AB=BC=2(1)若A,B,(2)求四边形ABCD面积的最大值.5．（2024·山东菏泽·二模）已知在△ABC中，CA⋅CB=−(1)求角C的度数；(2)若BC=2,D,E是AB上的动点，且∠DCE始终等于30°，记∠CED=α6．（2024·山东青岛·二模）已知数列an满足an+1(1)求数列an(2)设bn=(−2)an，数列bn7．（2024·陕西渭南·二模）已知等比数列an的各项均为正数，前n项和为Sn，且满足a1(1)求数列an(2)若数列bn满足bn=an+(8．（2024·浙江·三模）已知等比数列an和等差数列bn，满足an+1>an(1)求数列an，b(2)记数列an⋅bn的前n项和为Tn，数列Tnb9．（2024·重庆九龙坡·三模）已知Sn是等差数列an的前n项和，S5=a11=(1)求数列an和b(2)设cn=Snb10．（2024·湖南长沙·三模）如图，在△ABC中，已知AB=3,AC=6,A为锐角，BC,AC边上的两条中线(1)求BC的长度；(2)求∠APB的余弦值.11．（2024·福建泉州·一模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ccosB−bcosC=a−b，点D是(1)若△ABC的面积为33，求AD(2)若∠BAD=π6，求12．（2024·四川攀枝花·三模）请在①2a−b=2ccos③3sinA+B=3−(1)求角C；(2)若b=4，点D在边AB上，CD为∠ACB的平分线，求边