黑龙江省哈尔滨市第九中学校2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷

高三上学期期中考试数学学科试卷满分150分，考试时间120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由集合的交集运算求解．【详解】，则，故选：C2.若复数满足，则的实部与虚部之和为（）A. B. C.1 D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，利用复数的运算法则，化简求得，结合复数的概念，即可求解.【详解】因为，所以，则，所以的实部为，虚部为，则的实部与虚部之和为.故选：D.3.已知等差数列的前6项和为60，且，则（）A5 B.10 C.15 D.20【答案】C【解析】【分析】由通项公式及前项和公式代入求解即可.【详解】由，可得：，即，又，所以，所以.故选：C4.在平面直角坐标系中，若的终边经过点，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据三角函数的定义及余弦的和差公式即可求解.【详解】的终边经过点，所以，，.故选：.5.如图，四边形表示水平放置的四边形根据斜二测画法得到的直观图，，，，，则（）A B. C.6 D.【答案】B【解析】【分析】根据斜二测的性质还原图形，再由勾股定理即可求解.【详解】解：还原四边形，如图所示：依题意可得：．取的中点，连接，则，且，故.

故选：B6.若曲线的一条切线方程是，则（）A. B.1 C. D.e【答案】A【解析】【分析】求出原函数的导函数，利用切点处的导数值等于切线的斜率求解切点坐标，把切点坐标代入切线方程求值．【详解】由，得，设切点坐标为，由，得，切点坐标为，代入，得，即．故选：A．7.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为，面积为的扇形，则该圆锥的外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出圆锥的底面圆半径和高，再求出外接球的半径，由此求得圆锥的外接球的面积.【详解】设圆锥的底面圆半径为，则该圆锥的侧面展开图扇形弧长为，于是，解得，该圆锥的高为，设该圆锥的外接球的半径为，则球心到圆锥底面圆距离，由球的性质知，，解得，所以该圆锥的外接球的面积为.故选：A8.在学习完“错位相减法”后，善于观察的同学发现对于“等差×等比数列”此类数列求和，也可以使用“裂项相消法”求解．例如，故数列的前项和．记数列的前项和为，利用上述方法求（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先将裂成两项，再运用待定系数法求解裂成两项的系数，接着利用裂项相消法求和即得.【详解】设，左右对照可得，解得所以，则数列的前项和为：，故.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题主要考查运用裂项相消法解决“等差×等比数列”的求和问题，属于难题.解题的关键在于按照题意，将数列通项写成两项的差的形式，通过待定系数法确定各项系数，再裂项相加即可.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知平面向量，夹角为，且，若，，则下列结论正确的是（）A. B.与可以作为平面内向量的一组基底C. D.在上的投影向量为【答案】BD【解析】【分析】对A，计算可判断；对B，根据平面向量基底的定义判断；对C，利用向量数量积运算判断；对D，根据投影向量的定义运算判断.【详解】对于A，，故A错误；对于B，因为，所以与不共线，所以与可以作为平面的一组基底，故B正确；对于C，因为，所以，故C错误；对于D，，所以在上的投影向量为，故D正确.故选：BD.10.在中，内角所对的边分别为，已知，为线段上一点，则下列判断正确的是（）A.为钝角三角形B.的最大内角是最小内角的2倍C.若为中点，则D.若，则【答案】BCD【解析】【分析】依题意由正弦定理得，不妨设，则，故求出最大边所对的角即最大角即可判断A；由余弦定理以及二倍角公式即可判断B；求出中线即可判断C；借助求出角平分线即可判断D.【详解】由题知内角所对的边分别为，由正弦定理可知，不妨设，则，对于A，由上知边为最大边，故为最大角，由余弦定理知，故为锐角，所以为锐角三角形，故错误；对于，由上知A为最小角，且，又，知，即，又均为锐角，则，故B正确；对于，因为为中点，所以，平方得，，又，故，故C正确；对于D，由，得，又，所以，由，即，故，故D正确，故选：BCD.11.设数列an的前项和为，若，则称数列bn是数列an的“均值数列”．已知数列bn是数列an的“均值数列”，且，则下列结论正确的是（A.B.设数列an的前项积为，则有最大值，无最小值C.数列中没有最大项D.若对任意，成立，则或【答案】AD【解析】【分析】先由数列递推式求得，再由求得，由与的关系式求出，代值即可判断A项；对于B，由通项分析项的符号特征即可判断；对于C，分析数列的项的单调性特点可判断其由最大项，排除C；对于D，利用C项结果将不等式恒成立转化成求解不等式即得.【详解】当时，，得，因①，当时，②，由①②，，即，取时，满足题意，故数列的通项公式为，又因，故.当时，；当时，，因时，符合题意，故，则，故A正确；对于B，由A已得，，则，因时，，时，，而，故没有最大值，也没有最小值，故B错误；对于C，由，可得，易得,且，故的最大项为，故C错误；对于D，由，可得，由C项分析已得为的最大项，故得，解得或，故D正确.故选：AD.【点睛】思路点睛：本题主要考查新定义数列的项与和的性质的应用，属于难题.解题的思路在于，由递推和式采用赋值相减法求出通项，可得,再由与的关系式求出通项，再分析项的符号以及单调性特征，逐一判断选项可得.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若，且为第二象限角，则___________.【答案】##【解析】【分析】利用同角三角函数的平方关系求解，再利用正弦的二倍角公式，即得解【详解】由题意，为第二象限角，故故答案为：13.已知函数在处取得极大值，则_________．【答案】0【解析】【分析】求出函数的导数，再由求出并验证即可.【详解】函数，求导得，依题意，，解得或，当时，，当或时，，当时，，函数在处取得极大值，符合题意，则；当时，，当或时，，当时，，函数在处取得极小值，不符合题意，所以.故答案为：014.已知数列an满足，，则______；设数列an的前项和为，则______．（第二个空结果用指数幂表示）【答案】①.60②.【解析】【分析】根据递推公式，依次求和；当为奇数时，令，可得，当为偶数时，令，可得，即可求得数列是以2为首项，2为公比的等比数列，从而求出数列的通项公式，再利用分组求和法，即可求解.【详解】由得，进而得；当为奇数时，，令，则，当为偶数时，，令，则，则，当时，，所以是以为首项，2为公比的等比数列，所以，即则当为奇数时，由，则，所以，当为偶数时，由，则，所以，所以，所以，所以，.故答案为：；四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数．（1）求的最小正周期；（2）将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求不等式的解集．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由降幂公式和辅助角公式化简，结合周期公式即可求解；（2）结合平移法则和诱导公式化简得，由余弦函数图象特征解不等式即可求解.【小问1详解】，故；【小问2详解】因为，向左平移个单位长度，得到，故要使，需满足，解得，故的解集为16.数列满足．（1）求数列通项公式．（2）设，求数列的前n项和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意有，数列是首项为2，公差为2的等差数列，可求数列通项公式．（2），分为奇数和为偶数，结合分组求和法求.【小问1详解】由，有，又，所以数列是首项为2，公差为2的等差数列，则有，所以数列通项公式.【小问2详解】设，为奇数时，；为偶数时，.为奇数时，；为偶数时，.所以.17.在中，角的对边分别是，已知．（1）求角；（2）若点在边上，且，求面积的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据条件，利用正弦定理得，再利用正弦的和角公式得到，即可求解；（2）根据条件，利用向量的线性运算，得到，从而有，再结合条件，利用余弦定理得到，即可求解.【小问1详解】因为，由正弦定理得，整理得到，即，又B∈0,π，所以，得到，又，所以.【小问2详解】因为，所以，又，又由余弦定理，得，所以，所以，当且仅当取等号，所以面积的最大值为.18.南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积，体积的连续量问题转化为求离散变量的垛积问题”．在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍薨垛、刍童垛等的公式．如图，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……第层球数是第n层球数与的和，设各层球数构成一个数列an．（1）求数列an（2）证明：当时，（3）若数列bn满足，对于，证明：．【答案】（1）（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）依题意可得，利用累加法计算可得；（2）设，利用导数说明函数的单调性，即可得证；（3）由（2）令即可得到，从而得到，再利用错位相减法计算可得.【小问1详解】根据题意，，则有，当时，，又也满足，所以.【小问2详解】设，，则，所以在上单调递增，则，即，即当时，.【小问3详解】由（2）可知当时，，令，则，所以，所以，令，则，所以，所以，所以.【点睛】关键点点睛：本题第三问关键是结合（2）的结论，令得到，从而得到.19.定义：如果函数在定义域内，存在极大值和极小值，且存在一个常数，使成立，则称函数为极值可差比函数，常数称为该函数的极值差比系数．已知函数．（1）当时，判断是否为极值可差比函数，若是求极值差比系数，若不是说明理由；（2）是否存在使的极值差比系数为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；（3）若，求的极值差比系数的取值范围．【答案】（1）是极值可差比函数，；（2）不存在，理由见解析；（3）【解析】【分析】（1）按照题目所给信息，验证fx（2）将问题转化为验证方程在范围内是否有解；（3）由（2）可得的极值差比为，后令，结合，将问题转化为求函数值域即可.【小问1详解】当时，fx=x−所以，当时，；当时，，所以在和上单调递增，在上单调递减，所以的极大值为，极小值为，所以，因此是极值可差比函数．其中；小问2详解】由题的定义域为0,+∞，，即，假设是极值可差比函数，且极值差比系数为，设的极大值点为，极小值点为.则Δ=a2−4>0x1+又，则.由于.由题则有：，从而，结合，得（*）.令g