不等式及其性质第2课时练习 高一上学期数学人教B版2019必修第一册

第2课时不等式的证明方法一、选择题1.下图是解决数学问题的思维过程的流程图,在此流程图中,与①②两条流程线的思维方法匹配正确的是 ()A.①综合法,②反证法B.①分析法,②反证法C.①综合法,②分析法D.①分析法,②综合法2.已知a>b>c,且a+b+c=0,则下列不等式恒成立的是 ()A.ac>bc B.ab>acC.a|b|>c|b| D.a2>b2>c23.分析法又叫执果索因法,若使用分析法证明“设a>b>c,且a+b+c=0,求证:b2-ac<3a”,索的因应是下列式子中的 A.(a-b)(a-c)>0B.(a-b)(a-c)<0C.(b-a)(b-c)>0D.(b-a)(b-c)<04.利用反证法证明:若a+b2=0,则a=0且b=0,应假设 ()A.a,b不都为0B.a,b都不为0C.a,b不都为0,且a≠bD.a,b至少有一个为05.实数a,b,c满足a2=2a+c-b-1且a+b2+1=0,则下列关系式成立的是 ()A.b>a>c B.c>a>bC.b>c>a D.c>b>a6.已知a1,a2∈(1,+∞),若P=1a1+1a2,Q=1a1a2+1,则A.P>Q B.P=QC.P<Q D.不确定7.已知a>b>c,则1a-b+1b-c+A.为正数 B.为非正数C.为非负数 D.不确定8.(多选题)要证明x<y,只需证明不等式M,不等式M可能是 ()A.x2<y B.|x|<yC.-x<y D.x<0★9.(多选题)下列命题为真命题的是 ()A.∃a,b∈R,|a-2|+(b+1)2≤0B.∀a∈R,∃x∈R,使得ax>2C.ab≠0是a2+b2≠0的充要条件D.若a≥b>0,则a1+a二、填空题10.设a=3+5,b=2+6,则a,b的大小关系为.(用“>”连接)

11.已知x<1,则x2+2与3x的大小关系为.(用“>”连接)

12.若aa+bb>ab+ba,则实数a,b应满足的条件是.

三、解答题13.已知x,y∈R,求证:x2+2y2≥2xy+2y-1.14.(1)若a,b∈(1,+∞),证明:a+b<(2)已知x∈R,a=x2+12,b=2-x,c=x2-x+1,试证明a,b,c至少有一个不小于1第2课时不等式的证明方法1.C[解析]由已知到可知,进而得到结论的应为综合法;由未知到需知,进而找到与已知的关系为分析法,故选C.2.B[解析]因为a+b+c=0且a>b>c,所以a-b>0,c<0,所以ac-bc=(a-b)c<0,即ac<bc,故A不正确;因为b-c>0,a>0,所以ab-ac=a(b-c)>0,即ab>ac,故B正确;|b|有可能为0,故C不正确;取a=2,b=1,c=-3,显然a>b>c且a+b+c=0,但a2>b2且b2<c2,故D不正确.故选B.3.A[解析]因为a>b>c,且a+b+c=0,所以3c<a+b+c<3a,即a>0,c<0.要证b2-ac<3a,只需证b2-ac<3a2,只需证(a+c)2-ac<3a2,只需证2a2-ac-c2>0,只需证(a-c)(2a+c)>0,只需证(a-c)[a+c+(-b-c)]>0,即证(a-c)(a-b)>0,显然成立4.A[解析]a=0且b=0表示“a,b都为0”,其否定是“a,b不都为0”.故选A.5.D[解析]由a2=2a+c-b-1,可得(a-1)2=c-b≥0(当且仅当a=1时取等号),所以c≥b,由a+b2+1=0,可得a=-b2-1,所以a≠1,所以c>b.因为b-a=b2+b+1=b+122+34>0,所以6.C[解析]由已知得P-Q=1a1+1a2-1a1a2-1=a1+a2-a1a2-1a1a2=(1-a1)(a2-1)a17.A[解析]因为a>b>c,所以a-b>0,b-c>0,a-c>b-c>0,所以1a-b>0,1b-c>0,1a-c<1b-c,所以1b-c+1c-a8.ABD[解析]若x2<y,则x≤|x|<y,∴x<y,∴A,B中不等式都是x<y的充分条件;若x=y=2,则-x<y,但x>y,故C中不等式不是x<y的充分条件;若x<0,则x<0≤y,∴x<y,故D中不等式是x<y的充分条件.故选ABD.9.AD[解析]对于A,当a=2,b=-1时,|a-2|+(b+1)2=0,故A为真命题.对于B,当a=0时,ax>2不成立,故B为假命题.对于C,当“ab≠0”时,“a2+b2≠0”成立;当“a2+b2≠0”时,若a=1,b=0,则ab=0,故“ab≠0”不成立,所以“ab≠0”是“a2+b2≠0”的充分不必要条件,故C为假命题.对于D,当a≥b>0时,a+ab≥b+ab,即a(1+b)≥b(1+a),因为1+b>0,1+a>0,所以a1+a≥b1+b[技巧点拨]对于与全称量词或存在量词和充分必要条件结合的不等式,要注意是全称量词命题还是存在量词命题,若是有全称量词的不等式,则需要证明,若是有存在量词的不等式,则只需要举出特例即可.10.a>b[解析]∵215>212,∴8+215>8+212,即(3)2+215+(5)2>(2)2+212+(6)2,∴(3+5)2>(2+6)2,∴3+5>2+6,故a>b.11.x2+2>3x[解析](x2+2)-3x=(x-1)(x-2),因为x<1,所以x-1<0,x-2<0,所以(x-1)(x-2)>0,所以x2+2>3x.12.a≥0,b≥0且a≠b[解析]aa+bb>ab+ba⇔aa-ab>ba-bb⇔a(a-b)>b(a-b)⇔(a-b)(a-b)>0⇔(a+b)(a-b)2>0,故a≥0,b≥0且a≠b.13.证明:x2+2y2-(2xy+2y-1)=(x2-2xy+y2)+(y2-2y+1)=(x-y)2+(y-1)2,∵(x-y)2≥0,(y-1)2≥0,∴(x-y)2+(y-1)2≥0(当且仅当x=y=1时等号成立).14.证明:(1)要证a+b<1+ab,只需证(a+b)2<(1+ab)2,只需证a+b<1+ab,即a+b-1-ab<0,即证(a-1)(1-b