22人教版高中数学新教材选择性必修第一册-第1课时-空间中点、直线和平面的向量表示

1.4.1用空间向量研究直线、平面的向量表示第1课时空间中点、直线和平面的向量表示课标解读课标要求素养要求1.能用向量语言描述点、直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量.1.数学抽象——能够抽象出直线的方向向量与平面的法向量.2.数学运算——会用空间向量的坐标运算求平面向量的法向量2.掌握直线的方向向量和平面的法向量自主学习·必备知识教材研习教材原句要点一空间中点、直线的向量表示1.点的位置向量：如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量OP来表示我们把向量OP称为点P的①位置向量.2.空间直线的向量表示式：如图1,a是直线l的方向向量，在直线l上取AB=a，设P是直线l上的任意一点，则点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得AP=ta，即②AP=tAB.如图2，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数上述两个式子都称为空间直线的③向量表示式由此可知，空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.要点二空间平面的向量表示1.空间平面的向量表示式：如图，取定空间任意一点O，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x,y,OP=OA+xAB+y2.平面的法向量：如图，直线l⊥a，取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面α的⑤法向量给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{p|a⋅AP自主思考1.基点是确定的吗？提示是.2.已知A(2,2,0),B(0,0,2),C(0,0,0),p(1,1,1提示因为不在同一直线上的三点确定一个平面，所以由A,B,C三点确定一个平面，若P在平面ABC内，则存在实数x,y使AP=xAB+y=AC，即(−1,−1,12)=x(−2,−2,2)+y(−2,−2,0),即，−2x−2y=−1,2x=12,解得x=y=14,所以3.“a⋅提示“a⋅名师点睛求平面法向量n的三个注意点（1）选向量：在选取平面内的向量时,要选取不共线的两个向量.（2）取特殊值：在求n的坐标时,可令x,y,z中的任一个为特殊值,得另外两个值,从而得到平面的一个法向量.（3）注意0：假设法向量n=(x,y,z)互动探究·关键能力探究点一直线的方向向量精讲精练例（1）已知点M(3,1,2),N(1,−5,−4),A(4,1,3),C为线段AB上一点,且ACMN=13,A.(72,−C.(103,−1,1)（2）若M(2,0,−1),N(−1,3,1)在直线l上,则直线l的方向向量的单位向量为答案：（1）C（2）(−3解析：（1）∵C在线段AB上,∴AC∥AB,又MN是直线AB设C(x,y,z),易知MN=(−2,−6,−6),AC=(x−4,y−1,z−3)∴(x−4,y−1,z−3)=1即3(x−4)=−2,3(y−1)=−6,3(z−3)=−6,解得x=103,y=−1,z=1,∴（2）因为M(2,0,−1),N(−1,3,1),所以MN=(−3,所以直线l的方向向量的单位向量是MN|解题感悟求直线的方向向量就是求与该直线共线的向量,注意直线的方向向量有无数个.迁移应用若A(−1,0,1),B(1,4,7)在直线l上.（1）则直线l的一个方向向量是()A.（1,2,3）B.（1,3,2）C.（2,1,3）D.（3,2,1）（2）若直线l的一个方向向量为(2x−1,x+1,3),则x的值为.答案：（1）A（2）1解析：（1）易知AB=(2,4,6)=2(1,2,3),取a=(1,2,3),则a∥AB故选A.（2）由（1）知AB=(2,4,6),又直线l的一个方向向量为(2x−1,x+1,3),所以2x−1解得x=1.探究点二平面的法向量精讲精练例如图,已知四边形ABCD是直角梯形,∠ABC=90∘,SA⊥（1）求平面ABCD的一个法向量;（2）求平面SAB的一个法向量.解析：以点A为原点,AD、AB、AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),D(1答案：（1）∵SA⊥平面ABCD,∴AS=(0,0,1)是平面（2）易知AD⊥AB,AD⊥SA,且AB∩SA=A,AB,SA⊂平面SAB,∴AD⊥平面SAB,∴AD=(1解题感悟求平面法向量的步骤：（1）设出法向量;（2）选向量,在平面内选取两个不共线向量;（3）由垂直关系列出方程组;（4）解方程组;（5）赋非零值：取法向量中一个坐标为非零值（常取±1）;（6）得结论.迁移应用在正方体ABCD−A1B1C（1）平面BDD（2）平面BDEF的一个法向量.答案：（1）设正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2,则D(0,0,0),连接AC（图略）,易知AC⊥平面BDD所以AC=(−2,2,0)为平面BD（2）易知DB=(2,2,0),DE设平面BDEF的法向量为n=(x,y,z)∴n⋅DB令x=2,得y=−2,z=−1,即n=(2,−2,−1)为平面BDEF探究点三平面法向量的应用精讲精练例如图,在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中,点答案：以D为原点,DA所在直线为x轴,DC所在直线为y轴,DD1所在直线为则A(2,0,0),E(1,2,0),F(0,2,1),所以AE=(−1,2,0),AF设平面AEF的法向量为n=(x,y,z)则n⋅取y=1,得n=(2,1,2)所以平面AEF的一个法向量为n=(2,1,2)解题感悟涉及平面法向量的问题,合理建立空间直角坐标系和利用垂直关系联立方程是解题的关键.迁移应用1.在平面ABCD中,A(0,1,1),B（1,2,1）,C(−1,0,3),若a=(−1,y,z),且a为平面ABCD的法向量,则yA.2B.0C.1D.无意义答案：C解析：由题意得AB=(1,1,0),AC=(−1,−1,2),又a所以a⋅AB=0,a⋅AC=0,2.在直三棱柱ABC−A1B1C1中,CA=CB=1,∠ACB=90∘,平面答案：2解析：以C为原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴,y轴,设AA1=ℎ,由题意可知C(0,0,0)所以CA1=(1,0,ℎ)根据法向量的定义可得,n⋅CA1=(−2,−2,1)⋅(1,0,ℎ)=−2+ℎ=0评价检测·素养提升课堂检测1.（2021辽宁六校协作体高二期中联考）已知平面α上的三点A(3,2,1),B(−1,2,0),C(4,−2,−1),则平面α的一个法向量为()A.（4,-9,-16）B.（4,9,-16）C.（-16,9,4）D.（16,9,-4）答案：B解析：由已知得AB=(−4,0,−1),AC设平面α的法向量为n=(x,y,z)则n⋅AB=0,取x=4,可得z=−16,y=9,所以平面α的一个法向量为n=(4,9,−16)2.给出下列说法：①一个平面的法向量是唯一的;②一个平面的所有法向量都是同向的;③平面的法向量与该平面内的任一向量都是垂直的;④与一个平面的法向量共线的所有非零向量都是该平面的法向量.其中正确的说法是.答案：③④解析：一个平面的法向量有无数个,故①中说法错误;一个平面的所有法向量不一定相同,故②中说法错误;易知③、④中说法正确.3.平面α经过三点A(−1,0,1),B(1,1,2),C(2,−1,0),求平面α的一个法向量.答案：易知AB=(2,1,1),AC=(3,−1,−1),设平面α的法向量为则n⋅令z=−1,则y=1,x=0,∴n∴平面α的一个法向量为n=(0,1,−1)素养演练直观想象、数学运算、逻辑推理——在关于法向量的探索性问题中的应用已知四边形ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AB=1,AD=2,点M、N在线段PB、DC上（不含端点）,且满足BM=λMP（1）若λ=1,求平面PBD的一个法向量;（2）是否存在λ,使MN是平面PAB的法向量？请说明理由.答案：（1）建立空间直角坐标系,当λ=1时,M,N分别为PB,DC的中点,因为A(0,0,0),P(0,0,1),B(1,0,0),D(0,2,0),C(1,2,0),所以M(12,0,设平面PBD的法向量为n=(x,y,z)则n⋅令y=1,则x=z=2,所以n所以平面PBD的一个法向量为n=(（2）假设存在λ,因为BM=λMP,所以M(1所以MN=(易知PB=(1,0,−1),若MN是平面PAB的法向量,则MN⋅PB=0,MN此方程组无解,即假设不成立,所以不存在λ,使MN是平面PAB的法向量.素养探究：（1）由题意建立空间直角坐标系,渗透了直观想象的素养;设出平面PBD的法向量,根据法向量的定义,建立方程组求解,渗透了数学运算的素养.（2）假设存在λ,使MN是平面PAB的法向量,然后根据平面法向量的定义建立方程组求解,渗透了逻辑推理、数学运算的素养.迁移应用在三棱锥S−ABC中,底面是边长为23的正三角形,点S在底面ABC上的射影O恰是BC的中点,侧棱SA和底面成45（1）在侧棱SA上是否存在一点D,使BD是平面SAC的法向量？请说明理由;（2）求平面ACS的一个法向量.答案：连接OA,由题意可知SO⊥底面ABC,且OA⊥BC,所以以O为原点,OC所在直线为x轴,OA所在直线为y轴,OS所在直线为z轴建立空间直角坐标系.因为△ABC是边长为23的正三角形,且SA与底面所成的角为45∘,所以所以O(0,0,0),C(3（1）假设存在点D,设AD=a,则D(0,3−2所以BD=(易知AC=(若BD是平面SAC的法向量,则BD⋅此方程组无解,所以在侧棱SA上不存在一点D,使BD是平面SAC的法向量.（2）由(1)知AS=(0,−3,3),AC=(3,−3,0),设平面ACS的法向量为令z=1,则x=3,y=1,所以n=(3,1,1),所以平面课时评价作业基础达标练1.若A(−1,0,2),B（1,4,10）在直线l上,则直线l的一个方向向量为()A.（1,2,4）B.（1,4,2）C.（2,1,4）D.（4,2,1）答案：A2.设A是空间中一定点,n为空间内任一非零向量,则满足条件AM⋅n=0A.圆B.直线C.平面D.线段答案：C3.（2020湖南张家界高二期末）已知直线l的一个方向向量为m=(2,−1,3),且直线l过A(0,y,3)和B(−1,2,z)两点,则y−z=A.0B.1C.32答案：A4.在正方体ABCD−A1BA.BD1B.DBC.BA答案：A5.平面α经过三点O(0,0,0)，A(2,2,0)，B(0,0,2),则平面α的法向量可以是()A.（1,0,1）B.（1,0,-1）C.（0,1,1）D.（-1,1,0）答案：D6.（多选题）在如图所示的空间直角坐标系中,ABCD−AA.直线DDB.直线BCC.平面ABBD.平面B1答案：ABC7.若A(0,2,198)，B(1,−1,58)，C(−2,1,58)是平面α答案：2:3:(-4)素养提升练8.（多选题）已知空间中的三点A(0,1,0)，B(2,2,0)，C(−1,3,1),则下列说法不正确的是()A.AC不是直线AB的一个方向向量B.直线AB的一个单位方向向量是(2C.AB与BC夹角的余弦值是5511D.平面ABC的一个法向量是（1,-2,5）答案：BC解析：易知AB=(2,1,0)，AC=(−1,2,1),所以不存在实数λ,使得因为AB=(2,1,0),所以(25易知BC=(−3,1,1),所以cos设平面ABC的法向量是n=(x,y,z),则n⋅AB=0,n⋅BC=0,即9.（2020河南平顶山高二期末）如图,在正方体ABCD−A1B1C1D1中,以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz，E,F分别在棱BBA.（1,-1,3）B.（1,-1,-3）C.（2,-3,6）D.（-2,3,-6）答案：A解析：设正方体的棱长为1,平面AEF的法向量为n=(x,y,z)则A(1,0,0),E(1,1,13),F(0,1,23则n⋅AE=0,n⋅EF=0,即y+10.（多选题）（2021福建泉州高二期中）已知平面α过点A(1,−1,2),且其法向量n=(2,−1,2),则下列点中不在平面αA.（2,3,3）B.（3,-3,4）C.（-1,2,0）D.（-2,-3,4）答案：BC解析：对于A,设Q(2,3,3),则AQ=(1,4,1),所以AQ⋅n=1×2+4×(−1)+1×2=0,故对于B,设R(3,−3,4),则AR=(2,−2,2),所以AR⋅n=2×2+(−2)×(−1)+2×2=10≠0,故对于C,设M(−1,2,0),则AM=(−2,3,−2),所以AM⋅n=−2×2+3×(−1)+(−2)×2=−11≠0,故对于D,设N(−2,−3,4),则AN=(−3,−2,2),所以AN⋅n=−3×2+(−2)×(−1)+2×2=−6+2+4=0,故11.（2021山东济宁鱼台一中高二月考）四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O为底面的中心,A1O⊥平面答案：(1,0,-1