第1章 一元二次方程全章复习与测试（原卷版）

第1章一元二次方程全章复习与测试1.了解一元二次方程及有关概念；2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法．一、一元二次方程的有关概念1.一元二次方程的概念：

通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．

2.一元二次方程的一般式：

3.一元二次方程的解：

使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.

要点诠释：判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2.对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．二、一元二次方程的解法1．基本思想一元二次方程一元一次方程2．基本解法直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．要点诠释：解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解

法，再考虑用公式法．三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1.一元二次方程根的判别式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.2.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程的两个实数根是，那么，.注意它的使用条件为a≠0，Δ≥0.要点诠释：1.一元二次方程的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题：

(1)不解方程判定方程根的情况；

(2)根据参系数的性质确定根的范围；

(3)解与根有关的证明题．

2.一元二次方程根与系数的应用很多：

(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；

(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；

(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．四、列一元二次方程解应用题1.列方程解实际问题的三个重要环节：

一是整体地、系统地审题；

二是把握问题中的等量关系；

三是正确求解方程并检验解的合理性.

2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.

3.解决应用题的一般步骤：

审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；

设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；

列(根据题目中的等量关系，列出方程)；

解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验(检验方程的解能否保证实际问题有意义）；

答(写出答案，切忌答非所问).

4.常见应用题型

数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.要点诠释：列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.一．一元二次方程的定义（共2小题）1．（2022秋•丹徒区期末）下列方程中，一定是一元二次方程的是（）A．x2﹣+2＝0 B．x2+2x+3＝x（x+1） C．2x+3y＝6 D．（a2+2）x2﹣2x+3＝02．（2022秋•大丰区期末）如果（m﹣3）x2+5x﹣2＝0是一元二次方程，则（）A．m≠0 B．m≠3 C．m＝0 D．m＝3二．一元二次方程的一般形式（共2小题）3．（2022秋•建邺区期中）将方程（x﹣1）2＝6化成一元二次方程的一般形式，正确的是（）A．x2﹣2x+5＝0 B．x2﹣2x﹣5＝0 C．x2+2x﹣5＝0 D．x2+2x+5＝04．（2021秋•海州区校级期末）一元二次方程3x2﹣2x＝1的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A．3，﹣2，1 B．3，2，1 C．3，﹣2，﹣1 D．3，2，﹣1三．一元二次方程的解（共2小题）5．（2022秋•邳州市期末）已知关于x的方程x2+bx+2＝0的一个根为x＝1，则实数b的值为（）A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣36．（2023•武进区校级模拟）若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+x+k2﹣4＝0有一个根是0，则k的值是（）A．﹣2 B．2 C．0 D．﹣2或2四．解一元二次方程-直接开平方法（共2小题）7．（2022秋•苏州期末）方程x2＝4的根是（）A． B．2 C．或 D．2或﹣28．（2022秋•宜兴市期末）方程（x+3）2＝4的根是（）A．x1＝﹣1，x2＝﹣5 B．x1＝1，x2＝﹣5 C．x1＝x2＝﹣1 D．x1＝﹣1，x2＝5五．解一元二次方程-配方法（共2小题）9．（2017秋•灌云县月考）已知一元二次方程x2+4x﹣3＝0，下列配方正确的是（）A．（x+2）2＝3 B．（x﹣2）2＝3 C．（x+2）2＝7 D．（x﹣2）2＝710．（2022秋•京口区校级期末）解下列方程：（1）3（x﹣1）2﹣12＝0；（2）2x2﹣4x﹣7＝0．六．解一元二次方程-公式法（共1小题）11．（2022秋•海安市期末）用适当的方法解下列方程：（1）4x2﹣4x+1＝x2+2x+1；（2）x2﹣x﹣1＝0．七．解一元二次方程-因式分解法（共2小题）12．（2023•鼓楼区二模）解方程：x（x﹣6）＝﹣4（x﹣6）．13．（2023•武进区校级模拟）按要求解方程：（1）直接开平方法：4（t﹣3）2＝9（2t﹣3）2；（2）配方法：2x2﹣7x﹣4＝0；（3）公式法：3x2+5（2x+1）＝0；（4）因式分解法：3（x﹣5）2＝2（5﹣x）．八．换元法解一元二次方程（共2小题）14．（2022秋•建湖县校级月考）用适当的方法解下列方程：（1）x2+4x﹣6＝0．（2）（x+4）2＝5（x+4）．（3）3x2﹣1＝4x．（4）（x+2）2﹣8（x+2）+15＝0．15．（2021秋•工业园区校级期中）小敏与小霞两位同学解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的过程如下框：小敏：两边同除以（x﹣3），得3＝x﹣3，则x＝6．小霞：移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0．则x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0，解得x1＝3，x2＝0．你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．九．根的判别式（共2小题）16．（2022秋•邗江区期末）已知关于x的方程mx2+nx﹣2＝0（m≠0）．（1）若方程有两个相等的实数根，请求出m，n的关系；（2）求证：当n＝m﹣2时，方程总有两个实数根．17．（2022秋•泰兴市期末）已知关于x的一元二次方程x2+4x+k＝0有两个实数根．（1）求k的取值范围；（2）取一个合适的k的值，使得方程的解为负整数并求出此时方程的解．一十．根与系数的关系（共3小题）18．（2023•南京三模）若x1，x2是方程x2﹣ax﹣2＝0的两个根，则（）A．x1≠x2 B．x1+x2＞0 C．x1•x2＞0 D．x1＜0，x2＜019．（2022秋•太仓市期末）已知a，b是一元二次方程x2+x﹣2＝0的两根，求代数式a2+2a+b﹣5的值．20．（2022秋•大丰区期末）已知关于x的一元二次方程ax2﹣（2a﹣2）x+a﹣2＝0（a≠0）（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数a的值．一十一．一元二次方程的应用（共2小题）21．（2022秋•常州期末）常州大剧院举办文艺演出．经调研，如果票价定为每张50元，那么1200张门票可以全部售出；如果票价每增加1元，那么售出的门票将会减少20张．要使门票收入达到60500元，票价应定为多少元？22．（2022秋•江阴市期末）某校为表彰“学生节”中表现优异的学生，计划购买古典诗词和散文两类图书作为奖品．已知古典诗词类图书每本60元，散文类图书每本40元．为弘扬中国传统文化，商家决定对古典诗词类图书推出销售优惠活动，但是散文类图书售价不变．若购买古典诗词类图书不超过40本时，均按每本60元价格销售；超过40本时，每增加2本，单价降低1元．（1）如果购买古典诗词类图书46本，则每本古典诗词类图书的单价是元；（2）如果该校共购进图书100本，用去购书款4750元．求该校购进古典诗词类图书多少本？一十二．配方法的应用（共1小题）23．（2022秋•淮安区校级期末）先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m和n的值．解：因为m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，所以m2+2mn+n2+n2﹣6n+9＝0．所以（m+n）2+（n﹣3）2＝0．所以m+n＝0，n﹣3＝0．所以m＝﹣3，n＝3．问题：（1）若x2+2xy+5y2+4y+1＝0，求xy的值；（2）已知a，b，c是等腰△ABC的三边长，且a，b满足a2+b2＝10a+8b﹣41，求△ABC的周长．一十三．高次方程（共2小题）24．（2022•扬州一模）已知x1、x2、x3为方程x3+3x2﹣9x﹣4＝0的三个实数根，则下列结论一定正确的是（）A．x1x2x3＜0 B．x1+x2﹣x3＞0 C．x1﹣x2﹣x3＞0 D．x1+x2+x3＜025．（2022秋•镇江月考）阅读理解：回顾我们学过的各类方程的解法，不难发现：各类方程的解法虽各不相同，但是它们的一个共同的基本数学思想——转化，即化未知为已知．用转化的数学思想，我们可以解一些新的方程．例如：一元三次方程x3+x2﹣2x＝0，可以通过因式分解把它转化为x（x2+x﹣2）＝0，解一元一次方程x＝0和一元二次方程x2+x﹣2＝0，可得x＝0，x＝﹣2，x＝1；操作尝试：解一元三次方程x4+x3﹣x2＝0．一十四．无理方程（共2小题）26．（2022秋•邳州市期中）我们已探索过二元一次方程组、分式方程及一元二次方程方程的解法，在学习过程中感受到转化数学思想及检验反思的数学方法．（1）你能否用这些数学思想方法来探索方程﹣x+＝﹣1的解？（2）在求解的过程中，你有何疑惑，请尝试解决这些疑惑？27．（2022秋•太仓市期中）阅读理解以下内容，解决问题：例：解方程：x2+|x|﹣2＝0．解：∵x2＝|x|2，∴方程即为：|x|2+|x|﹣2＝0，设|x|＝t，原方程转化为：t2+t﹣2＝0解得，t1＝1，t2＝﹣2，当t1＝1时，即|x|＝1，∴x1＝1，x2＝﹣1；当t2＝﹣2时，即|x|＝﹣2，不成立．∴综上所述，原方程的解是x1＝1，x2＝﹣1．以上解方程的过程中，将其中|x|作为一个整体设成一个新未知数t，从而将原方程化为关于t的一元二次方程，像这样解决问题的方法叫做“换元法”（“元”即未知数）．（1）已知方程：x2+﹣2x﹣﹣1＝0，若设x+＝m，则利用“换元法”可将原方程化为关于m的方程是；（2）仿照上述方法，解方程：﹣﹣5＝0．一十五．一元二次方程的整数根与有理根（共2小题）28．（2022秋•连云港期末）一元二次方程x2﹣8x﹣a＝0的两实数根都是整数，则下列选项中a可以取的值是（）A．12 B．16 C．20 D．2429．（2022•工业园区校级自主招生）已知关于x的方程|x2+2px﹣3p2+5|﹣q＝0，其中p，q都是实数．（1）若q＝0时，方程有两个不同的实数根x1，x2，且，求实数p的值．（2）若方程有三个不同的实数根x1，x2，x3，且，求实数p和q的值．（3）是否同时存在质数p和整数q使得方程有四个不同的实数根x1，x2，x3，x4且x1x2x3x4＝3（）4？若存在，求出所有满足条件的p，q．若不存在，说明理由．一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）下列方程属于一元二次方程的是（）A．1﹣x＝2x B．x+2y＝3 C．2x2﹣x+1＝0 D．2．（3分）把方程x2+2x＝5（x﹣2）化成ax2+bx+c＝0的形式，则a，b，c的值分别为（）A．1，﹣3，2 B．1，7，﹣10 C．1，﹣5，12 D．1，﹣3，103．（3分）下列配方有错误的是（）A．x2﹣4x﹣1＝0，化为（x﹣2）2＝5 B．x2+6x+8＝0，化为（x+3）2＝1 C．2x2﹣7x﹣6＝0，化为（x﹣）2＝ D．3x2﹣4x﹣2＝0，化为（3x+2）2＝64．（3分）关于x的方程x2+（k2﹣4）x+k+1＝0的两个实数根互为相反数，则k的值是（）A．k＝±2 B．k＝2 C．k≥﹣1 D．k＝﹣25．（3分）若关于x的方程（x2+2x）2+2（x2+2x）﹣8＝0有实数根，则x2+2x的值为（）A．﹣4 B．2 C．﹣4或2 D．4或﹣26．（3分）一元二次方程x2﹣2x﹣6＝0，其中较大的一个根为x1，下列最接近x1的范围是（）A．3＜x1＜4 B．3＜x1＜3.5 C．3.5＜x1＜3.7 D．3.7＜x1＜47．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，则（）A．m＜1 B．m＞1 C．m≠0 D．0＜m＜18．（3分）已知无论x取何值，等式（x+a）（x+b）＝x2+2x+n恒成立，则关于代数式a3b+ab3﹣2的值有下列结论：①交换a，b的位置，代数式的值不变；②该代数式的值是非正数；③该代数式的值不会小于﹣2，上述结论正确的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③9．（3分）2018年，宣城市全年居民人均可支配收入26112元，2020年全年居民人均可支配收入为30746元，设宣城市2018年至2020年全年居民人均可支配收入的年平均增长率为x，则可列方程为（）A．26112（1+2x）＝30746 B．26112（1+x）2＝30746 C．26112（1﹣2x）＝30746 D．26112（1﹣x）2＝3074610．（3分）三角形的两边长分别为2和7，第三边是方程x2﹣10x+21＝0的解，则第三边的长为（）A．7 B．3 C．7或3 D．无法确定二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）11．（3分）若ax2﹣9x+5＝0是一元二次方程，则不等式3a+6＞0的解集是．12．（3分）解方程2（x﹣