2024-2025学年新教材高中数学第五章三角函数5.5.1第3课时二倍角的正弦余弦正切公式学案含解析新人教A版必修第一册

PAGE第三课时二倍角的正弦、余弦、正切公式内容标准学科素养1.理解二倍角的正弦、余弦、正切公式及其推导过程．逻辑推理数学运算2.能够敏捷运用二倍角的正弦、余弦、正切公式进行化简、求值、证明.授课提示：对应学生用书第107页[教材提炼]学问点倍角公式eq\a\vs4\al(预习教材，思索问题)利用Cα＋β、Sα＋β、Tα＋β，令α＝β可推出什么公式？学问梳理名称公式记法二倍角的正弦sin2α＝2sin_αcos_αS2α二倍角的余弦cos2α＝cos2α－sin2α＝1－2sin2α＝2cos2α－1C2α二倍角的正切tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)T2α[自主检测]1.eq\f(1,2)－cos2eq\f(π,8)的值等于()A．－eq\f(\r(2),4) B.eq\f(\r(2),4)C.eq\f(\r(2),2) D．－eq\f(\r(2),2)答案：A2．已知cosx＝eq\f(3,5)，则cos2x等于()A.eq\f(7,25) B．－eq\f(7,25)C.eq\f(24,25) D．－eq\f(24,25)答案：B3．1－2sin2750°＝________.答案：eq\f(1,2)4.eq\f(2tan150°,1－tan2150°)＝________.答案：－eq\r(3)授课提示：对应学生用书第108页探究一给角求值[例1]求下列各式的值：(1)eq\f(1,sin10°)－eq\f(\r(3),cos10°)；(2)cos20°cos40°cos80°.[解析](1)原式＝eq\f(cos10°－\r(3)sin10°,sin10°cos10°)＝eq\f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)cos10°－\f(\r(3),2)sin10°)),sin10°cos10°)＝eq\f(4sin30°cos10°－cos30°sin10°,2sin10°cos10°)＝eq\f(4sin20°,sin20°)＝4.(2)原式＝eq\f(2sin20°·cos20°·cos40°·cos80°,2sin20°)＝eq\f(2sin40°·cos40°·cos80°,4sin20°)＝eq\f(2sin80°·cos80°,8sin20°)＝eq\f(sin160°,8sin20°)＝eq\f(1,8).1．同角三角函数关系式、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式等都可应用于三角函数式的化简．在应用时，应找到化简思路后再动手化简．2．留意视察式子的特点及角之间的特别关系，敏捷运用二倍角公式解题，通过视察角度的关系，发觉其特征(二倍角形式)，创建条件正用或者逆用二倍角公式，使问题得以解决．计算eq\f(\r(3)tan12°－3,4cos212°－2sin12°)＝________.解析：原式＝eq\f(\f(\r(3)sin12°,cos12°)－3,22cos212°－1sin12°)＝eq\f(2\r(3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)sin12°－\f(\r(3),2)cos12°)),cos12°2cos24°sin12°)＝eq\f(2\r(3)sin－48°,2cos24°sin12°cos12°)＝eq\f(－2\r(3)sin48°,sin24°cos24°)＝eq\f(－2\r(3)sin48°,\f(1,2)sin48°)＝－4eq\r(3).答案：－4eq\r(3)探究二给值求值[例2](1)设α为锐角，若coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq\f(4,5)，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,12)))的值为________．(2)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＝eq\f(5,13)，0<x<eq\f(π,4)，则eq\f(cos2x,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x)))的值为________．[解析](1)∵α为锐角，∴α＋eq\f(π,6)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3))).又∵coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq\f(4,5)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq\f(3,5)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq\f(24,25)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)))＝2cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))－1＝eq\f(7,25)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,12)))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)))－\f(π,4)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)))coseq\f(π,4)－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)))sineq\f(π,4)＝eq\f(24,25)×eq\f(\r(2),2)－eq\f(7,25)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(17\r(2),50).(2)∵0<x<eq\f(π,4)，∴0<eq\f(π,4)－x<eq\f(π,4).又∵sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＝eq\f(5,13)，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＝eq\f(12,13).∵cos2x＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2x))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＝2coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))，∴eq\f(cos2x,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x)))＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＝eq\f(24,13).[答案](1)eq\f(17\r(2),50)(2)eq\f(24,13)(1)条件求值问题常有两种解题途径：①对题设条件变形，把条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；②对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论．(2)一个重要结论：(sinθ±cosθ)2＝1±sin2θ.(1)已知tanα＝2，则tan2α＝________；(2)已知0<α<eq\f(π,2)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝eq\f(1,3)，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋2α))＝________.解析：(1)∵tanα＝2，∴tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(2×2,1－22)＝－eq\f(4,3).(2)∵0<α<eq\f(π,2)，∴eq\f(π,6)<α＋eq\f(π,6)<eq\f(2π,3).∵coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝eq\f(1,3)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝eq\f(2\r(2),3).∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋2α))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝2×eq\f(2\r(2),3)×eq\f(1,3)＝eq\f(4\r(2),9).答案：(1)－eq\f(4,3)(2)eq\f(4\r(2),9)探究三利用二倍角公式化简证明[例3]求证：tan2x＋eq\f(1,tan2x)＝eq\f(23＋cos4x,1－cos4x).[证明]法一：(切化弦)∵左边＝eq\f(sin2x,cos2x)＋eq\f(cos2x,sin2x)＝eq\f(sin4x＋cos4x,sin2xcos2x)＝eq\f(sin2x＋cos2x2－2sin2xcos2x,sin2xcos2x)＝eq\f(1－2sin2xcos2x,sin2xcos2x)＝eq\f(1－\f(1,2)sin22x,\f(1,4)sin22x)＝eq\f(1－\f(1,2)·\f(1－cos4x,2),\f(1,8)1－cos4x)＝eq\f(23＋cos4x,1－cos4x)＝右边，∴等式成立．法二：(弦化切)∵右边＝eq\f(22＋1＋cos4x,2sin22x)＝eq\f(22＋2cos22x,2sin22x)＝eq\f(21＋cos22x,4sin2xcos2x)＝eq\f(1＋cos2x－sin2x2,2sin2xcos2x)＝eq\f(sin2x＋cos2x2＋cos2x－sin2x2,2sin2xcos2x)＝eq\f(2sin4x＋cos4x,2sin2xcos2x)＝tan2x＋eq\f(1,tan2x)＝左边，∴等式成立．证明三角恒等式常用方法从左边推到右边；从右边推到左边；找中间量，常用技巧：切化弦，降次消元，拆项拆角，“1”的代换以及公式变形等．指导思想是统一三角函数名称，统一为相同的角．求证：eq\f(1＋sin4α－cos4α,1＋sin4α＋cos4α)＝tan2α.证明：法一：左边＝eq\f(1－cos4α＋sin4α,1＋cos4α＋sin4α)＝eq\f(2sin22α＋2sin2αcos2α,2cos22α＋2sin2αcos2α)＝eq\f(2sin2αsin2α＋cos2α,2cos2αsin2α＋cos2α)＝tan2α＝右边．法二：左边＝eq\f(1＋sin4α－1－2sin22α,1＋sin4α＋2cos22α－1)＝eq\f(2sin2αcos2α＋2sin22α,2sin2αcos2α＋2cos22α)＝eq\f(2sin2αsin2α＋cos2α,2cos2αsin2α＋cos2α)＝tan2α＝右边．授课提示：对应学生用书第108页一、二倍角公式的运用技巧1．正用：从条件动身，顺着问题的线索，以“绽开”公式的方式运用．2．逆用：逆向转换，应用时要求对公式特点有一个整体感知．主要形式有2sinαcosα＝sin2α，sinαcosα＝eq\f(1,2)sin2α，cos2α－sin2α＝cos2α，eq\f(2tanα,1－tan2α)＝tan2α等．3．变形用：将公式进行简洁等价变形后，利用其新形式．主要形式有1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α，cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2).4．三角函数式的化简要留意“三变”：(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”．(2)变名：通过变换函数名称达到削减函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”“升幂与降幂”等．(3)变式：依据式子的结构特征进行变形，其手法通常有：“常值代换”“逆用变用公式”“通分约分”“分解与组合”“配方与平方”等．[典例]已知α∈(0，π)，化简：eq\f(1＋sinα＋cosα·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(α,2)－sin\f(α,2))),\r(2＋2cosα))＝________.[解析]原式＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2cos2\f(α,2)＋2sin\f(α,2)cos\f(α,2)))·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(α,2)－sin\f(α,2))),\r(4cos2\f(α,2))).因为α∈(0，π)