2024-2025学年高中数学第三章导数应用3.2.2最大值最小值问题学案含解析北师大版选修2-2

PAGE2．2最大值、最小值问题授课提示：对应学生用书第32页[自主梳理]函数的最大值与最小值1．函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值点x0指的是：函数在这个区间上全部点的函数值都不超过f(x0)．2.最大值或者在__________取得，或者在________取得．3．要想求函数的最大值，应首先求出函数的极大值点，然后将全部极大值点与区间端点的函数值进行比较，其中________即为函数的最大值．4．函数的最小值点也具有类似的意义和求法．函数的________和________统称为最值．[双基自测]1．函数f(x)＝2x－cosx在(－∞，＋∞)上()A．是增函数，无最值 B．是减函数，无最值C．有最大值 D．有最小值2．将8分为两数之和，使其立方之和为最小，则分法为()A．2和6 B．4和4C．3和5 D．以上都不对3．用边长为48cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒，当所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为(A．6cm BC．10cm D4．若函数f(x)在[a，b]上满意f′(x)>0，则f(a)是函数的最________值，f(b)是函数的最________值．[自主梳理]2．极大值点区间的端点3.最大的值4.最大值最小值[双基自测]1．Af′(x)＝2＋sinx>0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数．2．B设其中一个数为x，则另一个数为8－x，y＝x3＋(8－x)3,0≤x≤8，y′＝3x2－3(8－x)2，令y′＝0，即3x2－3(8－x)2＝0，得x＝4.当0≤x≤4时，y′＜0；当4＜x≤8时，y′＞0.所以当x＝4时，y最小．3．B设截去的小正方形的边长为xcm，铁盒的容积为Vcm3，由题意，得V＝x(48－2x)2(0＜x＜24)，V′＝12(24－x)(8－x)．令V′＝0，则在(0,24)内有解x＝8，故当x＝8时，V有最大值．4．小大f′(x)>0，所以f(x)在[a，b]上是增加的，f(b)为最大值，f(a)为最小值．授课提示：对应学生用书第33页探究一求函数的最值[例1]求下列函数在给定区间上的最值：(1)f(x)＝2x3－3x2－12x＋5，x∈[－2,3]；(2)f(x)＝sin2x＋x，x∈[－eq\f(π,2)，eq\f(π,2)]．[解析](1)f′(x)＝6x2－6x－12，令f′(x)＝0，则6x2－6x－12＝0，即x2－x－2＝0，解得x1＝－1，x2＝2.∵f(－1)＝12，f(2)＝－15，f(－2)＝1，f(3)＝－4，∴函数f(x)＝2x3－3x2－12x＋5在x∈[－2,3]上的最大值为12，最小值为－15.(2)f′(x)＝2cos2x＋1，令f′(x)＝0，又x∈[－eq\f(π,2)，eq\f(π,2)]，得x＝eq\f(π,3)或x＝－eq\f(π,3).∵f(eq\f(π,3))＝eq\f(\r(3),2)＋eq\f(π,3)，f(－eq\f(π,3))＝－eq\f(\r(3),2)－eq\f(π,3)，又f(eq\f(π,2))＝eq\f(π,2)，f(－eq\f(π,2))＝－eq\f(π,2)，∴f(x)max＝eq\f(\r(3),2)＋eq\f(π,3)，f(x)min＝－eq\f(\r(3),2)－eq\f(π,3).求函数在闭区间上的最值时，一般是先找出该区间上使导数为零的点，无需推断出是极大值还是微小值，只需将这些点对应的函数值与端点处的函数值比较，其中最大的是最大值，最小的是最小值．1．设函数f(x)＝ln(2x＋3)＋x2.(1)探讨f(x)的单调性；(2)求f(x)在区间[－eq\f(3,4)，eq\f(1,4)]上的最大值和最小值．解析：f(x)的定义域为(－eq\f(3,2)，＋∞)．(1)f′(x)＝eq\f(2,2x＋3)＋2x＝eq\f(4x2＋6x＋2,2x＋3)＝eq\f(2(2x＋1)(x＋1),2x＋3).当－eq\f(3,2)<x<－1时，f′(x)>0；当－1<x<－eq\f(1,2)时，f′(x)<0；当x>－eq\f(1,2)时，f′(x)>0.所以f(x)在区间(－eq\f(3,2)，－1)，(－eq\f(1,2)，＋∞)上是增加的，在区间(－1，－eq\f(1,2))上是削减的．(2)由(1)知f(x)在区间[－eq\f(3,4)，eq\f(1,4)]上的最小值为f(－eq\f(1,2))＝ln2＋eq\f(1,4).又因为f(－eq\f(3,4))－f(eq\f(1,4))＝lneq\f(3,2)＋eq\f(9,16)－lneq\f(7,2)－eq\f(1,16)＝lneq\f(3,7)＋eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)(1－lneq\f(49,9))<0，所以f(x)在区间[－eq\f(3,4)，eq\f(1,4)]上的最大值为f(eq\f(1,4))＝eq\f(1,16)＋lneq\f(7,2).探究二求含参数的函数的最值[例2]已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)．(1)若f′(1)＝3，求a的值及曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)求f(x)在区间[0,2]上的最大值．[解析](1)f′(x)＝3x2－2ax，因为f′(1)＝3－2a＝3，所以a＝0.又当a＝0时，f(1)＝1，f′(1)＝3，所以曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为3x－y－2＝0.(2)令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝eq\f(2a,3).当eq\f(2a,3)≤0，即a≤0时，f(x)在[0,2]上是增加的，从而f(x)max＝f(2)＝8－4a；当eq\f(2a,3)≥2，即a≥3时，f(x)在[0,2]上是削减的，从而f(x)max＝f(0)＝0；当0<eq\f(2a,3)<2，即0<a<3时，f(x)在[0，eq\f(2a,3)]上是削减的，在[eq\f(2a,3)，2]上是增加的，从而f(x)max＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(8－4a，0<a≤2，,0，2<a<3.))综上所述，f(x)max＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(8－4a，a≤2，,0，a>2.))含参数时，应分类探讨，应分清探讨的缘由，如本题要比较两根在不在区间[0,2)内或根之间要分出大小．2．已知函数f(x)＝(x－k)ex.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．解析：(1)f′(x)＝(x－k＋1)ex.令f′(x)＝0，得x＝k－1.x改变时，f(x)与f′(x)的改变状况如下：x(－∞，k－1)k－1(k－1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)－ek－1所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞)．(2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0,1]上是增加的，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k；当0＜k－1＜1，即1＜k＜2时，由(1)知f(x)在[0，k－1]上是削减的，在(k－1,1]上是增加的，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－ek－1；当k－1≥1，即k≥2时，函数f(x)在[0,1]上是削减的．所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.探究三生活中的优化问题[例3]某种商品每件的成本为9元，当售价为30元时，每星期可卖出432件．假如降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x(单位：元，0≤x≤21)的平方成正比．已知商品单价降低2元时，每星期可多卖出24件．(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？[解析](1)设商品降价x元，则多卖的商品数为kx2，若记商品在一个星期里的获利为f(x)，则有f(x)＝(30－x－9)(432＋kx2)＝(21－x)(432＋kx2)，又由已知条件，24＝k×22，于是有k＝6.所以f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9072，x∈[0,21]．(2)依据(1)，f′(x)＝－18x2＋252x－432＝－18(x－2)(x－12)．令f′(x)＝0，即－18(x－2)(x－12)＝0，得x1＝2，x2＝12.当x改变时，f′(x)，f(x)如下表：x0(0,2)2(2,12)12(12,21)21f′(x)－0＋0－f(x)9072微小值极大值0因为f(0)＝9072＜f(12)＝11664，所以x＝12时，f(x)取得最大值；即当定价为30－12＝18元时，能使一个星期的商品销售利润最大．利用导数解决优化问题的一般步骤(1)抽象出实际问题的数学模型，列出函数关系式y＝f(x)；(2)求函数f(x)的导数f′(x)，并解方程f′(x)＝0，即求函数可能的极值点；(3)比较函数f(x)在区间端点的函数值和可能极值点的函数值的大小，得出函数f(x)的最大值或最小值；(4)依据实际问题的意义给出答案．3．某商场销售某种商品的阅历表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满意关系式y＝eq\f(a,x－3)＋10(x－6)2，其中3＜x＜6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．解析：(1)因为x＝5时，y＝11，所以eq\f(a,2)＋10＝11，所以a＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y＝eq\f(2,x－3)＋10(x－6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)＝(x－3)[eq\f(2,x－3)＋10(x－6)2]＝2＋10(x－3)(x－6)2，3＜x＜6.从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)．于是，当x改变时，f′(x)，f(x)的改变状况如下表：x(3,4)4(4,6)f′(x)＋0－f(x)极大值42由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点．所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．导数在解决实际问题中的应用[例4](本题满分12分)某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元(3≤a≤5)的管理费，预料当每件产品的售价为x元(9≤x≤11)时，一年的销售量为(12－x)2万件．(1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式；(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q(a)．[解析](1)分公司一年的利润L(万元)与售价x的函数关系式为：L＝(x－3－a)(12－x)2，x∈[9,11].2分(2)L′＝(12－x)(18＋2a－3x)，令L′＝0，得x＝6＋eq\f(2,3)a或x＝12(不合题意，舍去)．因为3≤a≤5，所以8≤6＋eq\f(2,3)a≤eq\f(28,3).在x＝6＋eq\f(2,3)a两侧，由左向右L′的值由正变负，4分所以当8≤6＋eq\f(2,3)a＜9，即3≤a＜eq\f(9,2)时，Lmax＝L(9)＝9(6－a)，当9≤6＋eq\f(2,3)a≤eq\f(28,3)，即eq\f(9,2)≤a≤5时，Lmax＝Leq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6＋\f(2,3)a))＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(1,3)a))3.9分Q(a)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(9(6－a)，3≤a＜\f(9,2)，,4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(1,3)a))3，\f(9,2)≤a≤5.))10分即若3≤a＜eq\f(9,2)时，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q(a)＝9(6－a)(万元)；若eq\f(9,2)≤a≤5时