第22讲数列中的范围与最值问题（原卷版）

第22讲数列中的范围与最值问题方法总结：1、在数列中涉及到的不等关系通常与数列的最值有关，而要求的数列中的最值项，要依靠数列的单调性，所以判断数列的单调性往往是此类问题的入手点，判断数列的单调性的方法：（1）函数角度：从通项公式入手，将其视为关于的函数，然后通过函数的单调性来判断数列的单调性。由于，所以如果需要用到导数，首先要构造一个与通项公式形式相同，但定义域为的函数，得到函数的单调性后再结合得到数列的单调性（2）相邻项比较：在通项公式不便于直接分析单调性时，可考虑进行相邻项的比较得出数列的单调性，通常的手段就是作差（与0比较，从而转化为判断符号问题）或作商（与1比较，但要求是正项数列）典型例题：例1．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列的前项和为，若，，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围是__．例2．（2022·江苏南通·一模）设是等比数列的前项和，，且、、成等差数列.(1)求的通项公式；(2)求使成立的的最大值.例3．（2022·浙江温州·高三开学考试）已知数列和满足，，.(1)求与；(2)设的前n项和为，若不等式，对一切都成立，求实数的最小值.例4．（2022·江西景德镇·模拟预测（理））已知数列是公差不为零的等差数列，，且成等比数列.(1)求的通项公式；(2)设，记数列的前n项和为，求使得恒成立的m的最小值.例5．（2022·河南南乐·高三阶段练习（文））已知是等差数列，满足，，数列满足．(1)求数列、的通项公式；(2)设数列的前n项和为，令，求的最小值．例6．（2022·浙江·镇海中学高三期末）已知公差不为0的等差数列的前项和为，且(1)求数列的前项和；(2)在数列中，，且若对任意的正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围．例7．（2022·浙江·温州中学高三期末）已知数列的前项和为，数列满足，(1)求数列与的通项公式；(2)若，对恒成立，求实数的取值范围.例8．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，，且．(1)求数列的通项；(2)设数列满足，记的前项和为．①求；②若对任意恒成立，求实数的取值范围．过关练习：一、单选题1．（2022·湖北·荆州中学高三开学考试）已知等差数列的公差不等于0．其前为项和为．若，则的最大值为（

）A．18 B．20C．22 D．242．（2022·山西临汾·一模（文））已知{}为等比数列，，公比.若是数列{}的前n项积，则取最大值时n为（）A．3 B．4 C．3或4 D．4或53．（江苏省淮安市20212022学年高二上学期期末调研测试数学试题）已知数列满足，（且），若恒成立，则M的最小值是（

）A．2 B． C． D．34．（四川省2022届高三诊断性测试数学（理）试题）设为等差数列的前n项和，若，且．则使的n的最小值为（

）．A．30 B．31 C．32 D．335．（2022·全国·模拟预测）设正项数列的前项和满足，记表示不超过的最大整数，．若数列的前项和为，则使得成立的的最小值为(

)A．1180 B．1179 C．2020 D．20216．（2022·黑龙江·双鸭山一中高三期末（理））已知数列满足，且取最小值时为（

）A． B． C． D．7．（2022·浙江·模拟预测）设数列满足，则下列结论中不可能的是（

）注：和分别表示，，…中的最小值和最大值．A．数列从某一项起，均有B．数列从某一项起，均有C．数列从某一项起，均有D．数列从某一项起，均有8．（2022·河南驻马店·高三期末（理））已知等差数列满足，，数列满足，记数列的前项和为，则当取得最小值时，的值为（

）A．4 B．5 C．6 D．79．（2022·江西宜春·高三期末（理））在正项等比数列}中，存在两项且，使得，且，则的最小值是（

）A． B． C． D．10．（2022·浙江·高三期末）已知数列满足，对任意中存在一项是另外两项之和，且，记数列的则前项和为，则的最小值为（

）A．1361 B．1481 C．1681 D．202111．（2022·浙江省浦江中学高三期末）设等差数列的公差为d，其前n项和为，且，，则使得的正整数n的最小值为（

）A．16 B．17 C．18 D．1912．（2022·安徽亳州·高三期末（理））设数列的前项和为，已知，，数列的前项和为，则满足的的最小值为（

）A．12 B．7 C．6 D．113．（2022·江苏扬州·高三期末）在正项等比数列中，，，记数列的前n项积为，，则n的最小值为（

）A．3 B．4 C．5 D．614．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测（理））已知数列的首项是，前项和为，且，设，若存在常数，使不等式恒成立，则的取值范围为（

）A． B． C． D．15．（2022·全国·高三专题练习）设，为实数，首项为，公差为的等差数列的前项的和为，满足，则的取值范围是（

）A． B．C． D．16．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的通项公式为，前项和为，若实数满足对任意正整数恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．17．（2022·全国·高三专题练习）已知数列是首项为，公差为1的等差数列，数列满足．若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（

）A．， B． C．， D．二、多选题18．（2022·福建三明·高三期末）已知等差数列{}中，，公差，则使其前n项和取得最大值的自然数n是（

）A．3 B．4 C．5 D．619．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列的前项和为，公差为.已知，，，则（

）A．数列的最小项为第项 B．C． D．时，的最大值为20．（2022·江苏·苏州中学高三开学考试）在数列中，，前n项的和为Sn，则（

）A．的最大值为1 B．数列是等差数列C．数列是等差数列 D．21．（江苏省宿迁市20212022学年高二上学期期末数学试题）设等差数列前n项和为，公差，若，则下列结论中正确的有（

）A． B．当时，取得最小值C． D．当时，n的最小值为29三、双空题22．（2022·湖北襄阳·高三期末）如图，是一块半径为的半圆形纸板，在的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得图形，，…，，…，记第块纸板的面积为，则（1）______，（2）如果，使得成立，那么的取值范围是______．四、填空题23．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）已知数列满足，其前n项和为，且，则的最大值为________．24．（2022·河南·高三阶段练习（理））已知为等比数列的前n项和，，（c为实数）．若，则当取最小值时，n＝______．25．（2022·广东·模拟预测）已知表示不小于x的最小整数，表示不大于x的最大整数，如，，数列满足，且对，有，若为递增数列，则整数b的最小值为______．26．（2022·湖北·黄石市有色第一中学高三期末）在等差数列中，，当取得最小值时，______.27．（2022·安徽黄山·一模（文））已知数列满足，，数列是单调递增数列，且，，则实数的取值范围为___________.