专题06指对幂函数重难考点突破2021-2022学年高一数学上学期期末复习重难点突破（人教A版2019）

专题06:指对幂函数重难考点突破考点一：指对幂的运算1．已知，且，则（）A． B． C． D．【答案】D【详解】设，则，所以，解得，所以，，，，，故选：D2．人们用分贝(dB)来划分声音的等级，声音的等级（单位：dB）与声音强度（单位：）满足，一般两人小声交谈时，声音的等级约为54dB，在有40人的课堂上讲课时，老师声音的强度约为一般两人小声交谈时声音强度的10倍，则老师声音的等级约为（）A．36dB B．63dB C．72dB D．81dB【答案】B【详解】解：设一般两人小声交谈时声音强度为，则，即，所以，则老师声音的等级约为．故选：．3．计算：______【答案】【详解】原式.故答案为：4．______．【答案】【详解】.故答案为：5．已知，则________.【答案】1【详解】由可知，，所以.故答案为：6．计算下列各式的值：（1）；（2）；（3）已知，，求的值．【答案】（1）；（2）2；（3）1.【详解】（1）；（2）；（3）由，得，又由，即，得，所以.7．（1）计算：；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）.（2）依题意，计算可得；【详解】解：（1）.（2）若，则，所以，故.考点二：指对幂型函数的图像及恒过定点8．幂函数，及直线将直角坐标系第一象限分成八个“卦限：（如图所示），那么，而函数的图象在第一象限中经过的“卦限”是（）A． B． C． D．【答案】B【详解】对于幂函数，因为，所以在第一象限单调递减，根据幂函数的性质可知：在直线的左侧，幂函数的指数越大越接近轴，因为，所以的图象比的图象更接近轴，所以进过第卦限，在直线的右侧，幂函数的指数越小越接近轴，因为，所以的图象位于和之间，所以经过卦限，所有函数的图象在第一象限中经过的“卦限”是，故选：B9．若幂函数(m，n∈N*，m，n互质)的图像如图所示，则（）A．m，n是奇数，且<1B．m是偶数，n是奇数，且>1C．m是偶数，n是奇数，且<1D．m是奇数，n是偶数，且>1【答案】C【详解】由图知幂函数f(x)为偶函数，且，排除B，D；当m，n是奇数时，幂函数f(x)非偶函数，排除A；故选：C.10．已知函数（其中）的图象如下图所示，则的图象是（）A．B．C． D．【答案】A【详解】解：由图象可知：，因为，所以由可得：，由可得：，由可得：，因此有，所以函数是减函数，，所以选项A符合，故选：A11．已知三个函数的图象示，则（）A． B．C． D．【答案】C【详解】由指数函数图象可知，，由幂函数的图象可知，，由对数函数的图象可知，故可得，故选：C12．在同一直角坐标系中，函数，的图象可能是（）A． B．C． D．【答案】AC【详解】A：根据的图像知对数函数在定义域上单调递增，所以，图像过点，所以；根据的图像为的一条直线可判断，且无论a为何值图像均为，此类情况符合题意，A正确；B：由的图像可知，若，对数函数的图像应向右平移，选项中的图像向左平移，故B错误；C：由对数函数的图像知且，函数的图像与直线交点的横坐标小于1且函数单调递减，所以且，C正确；D：由的图像知函数单调递减则，但未向右平移，错误.故选：AC13．已知函数（且）的图象如下图所示，则下列四个函数图象与函数解析式对应正确的是（）A． B．C． D．【答案】ABD【详解】由图可得，即，单调递减过点，故A正确；为偶函数，在上单调递减，在上单调递增，故B正确；为偶函数，结合指数函数图象可知C错误；，根据““上不动、下翻上”可知D正确；故选：ABD.14．函数恒过定点______．【答案】【详解】当，即时，，函数恒过定点.故答案为：.15．已知函数（且）的图象过定点，则（）A．5 B．6 C． D．8【答案】D【详解】解：，当时，所以过定点，则，，则故选：D.16．若函数是幂函数，则函数(其中且)的图象过定点（）A． B． C． D．【答案】A【详解】∵是幂函数，∴，，∴过定点.故选：A考点三：指对幂型函数的定义域及值域17．函数的定义域为（）A． B．C． D．【答案】C【详解】函数的定义域满足或即.故选：C.18．函数的定义域为（）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为函数，所以，即，解得，所以函数的定义域为，故选：C19．已知全集，集合，，则（）A． B． C． D．【答案】D【详解】由，解得，故.因为，所以，所以，从而.故选：D20．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（）A． B． C． D．【答案】B【详解】的定义域为，，即，，解得：且，的定义域为.故选：.21．已知函数，，对于任意，存在有，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【详解】对于任意，存在有，，.由，函数1)，可得，，令，设，则，，故选：A．22．已知函数，则下列说法正确的是（）A．定义域R B．值域为C．在上单调递增 D．在上单调递减【答案】ABD【详解】函数，可得函数定义域为，故A正确；设，由指数函数的单调性得到，函数值域为，故B正确；在上是单调递增的，而在定义域内是单调递减的，根据复合函数单调性法则，得到函数在上单调递减，故C错误；D正确.故选：ABD.23．若函数在上的值域为，且，则__________.【答案】4【详解】在上单调递增，，，则，又，.故答案为：4.考点四：指对幂型函数的比较大小24．设，则（）A． B． C． D．【答案】D【详解】，即，且，故.故选：D.25．已知，，，则（）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，，，所以.故选：B26．设，则（）A． B． C． D．【答案】A【详解】根据题意，因为，且，，所以.故选：A.27．已知，则的大小为（）A． B．C． D．【答案】A【详解】∵，又，,因为在上为增函数，且，所以，又，即，综上所述：.故选：A.28．已知，，且a，b都是不等于1的实数，则下列不等式成立的是（）A． B． C． D．【答案】AC【详解】考查函数，时，在定义域上是增函数，时，，故A正确；考查函数，时，在定义域上是增函数，时，，故B错误；考查函数，时，在定义域上是增函数，时，，故C正确；考查函数，时，在上是减函数，时，，故D错误.故选：AC．29．设，，均为正数，且，则（）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：因为、、为正数，令，，则，，，

所以，，，

，，，

，，

，

，

故选：D30．已知偶函数在上单调递增，若，，，则（）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为是偶函数，所以，因为，所以，因为在，上的单调递增，所以，即．故选：B．31．已知奇函数在上是增函数，．若，，，则，，的大小关系为（）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为是奇函数且在上是增函数，所以在时，，从而是上的偶函数，且在上是增函数，，，又，则，所以即，，所以.故选：C．考点五：指对幂型函数的单调性与奇偶性综合应用32．函数的单调递增区间为（）A． B． C． D．【答案】A【详解】根据题意，令，由，得，因此函数的定义域为，且是由和复合得到.因为单调递增，在上单调递增，在上单调递减，所以函数的单调递增区间为.故选：A.33．已知函数，在单调递减，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【详解】令，易知在其定义域上单调递减，要使在上单调递减，则在单调递增，且，即，所以，即.因此，实数的取值范围是.故选：D.34．已知定义域为I的偶函数在上单调递增，则下列函数中符合上述条件的是（）A． B． C． D．【答案】ACD【详解】A，且定义域为，即为偶函数；当时，易知在上单调递增，符合题设；B，由解析式知：，可得，即的定义域为，不符合在上单调递增；C，且定义域为，即为偶函数；当时，易知在上单调递增，符合题设；D，且定义域为，即为偶函数；由幂函数的性质知在上单调递增，符合题设.故选：ACD.35．下面叙述正确的有（）A．不等式的解集为；B．若函数的值域为，则；C．若函数的定义域为，则；D．函数在上单调递减．【答案】BCA，由在上递增，在上递减且为偶函数，由不等式可得，解得且，故错误；B，要使值域为，即的值域必包含，故只需，故正确；C，要使定义域为，即在上恒成立，故只需，故正确；D，在上，令，则，显然在上递减，上递增，即在上递减，上递增，故错误.故选：BC.36．设函数，下列四个命题正确的是（）A．函数为偶函数B．若，其中，，，则C．函数在（1，2）上为单调递增函数D．若，则【答案】BC【详解】A选项，的定义域为，所以是非奇非偶函数，A错误.B选项，由于，，，所以，B正确.C选项，，由，的开口向下，对称轴为，根据复合函数单调性同增异减可知函数在（1，2）上为单调递增函数.C正确.D选项，，，所以，即，由于，，所以不成立，D错误.故选：BC37．已知函数，，则（）A．函数为偶函数B．函数为奇函数C．函数在区间上的最大值与最小值之和为0D．设，则的解集为【答案】BCD【详解】对于A：，定义域为，，则为奇函数，故A错误；对于B：，定义域为，，则为奇函数，故B正确；对于C：，，都为奇函数，则为奇函数，在区间上的最大值与最小值互为相反数，必有在区间上的最大值与最小值之和为0，故C正确；对于D：，则在上为减函数，，则在上为减函数，则在上为减函数，若即，则必有，解得，即的解集为，故D正确；故选：BCD38．已知函数，下面说法正确的有（）A．的图像关于原点对称 B．的图像关于y轴对称C．的值域为 D．，且【答案】ACD【详解】的定义域为关于原点对称,，所以是奇函数，图象关于原点对称，故选项A正确，选项B不正确；，因为，所以，所以，，所以，可得的值域为，故选项C正确；设任意的，则，因为，，，所以，即，所以，故选项D正确；故选：ACD考点六：指对幂型函数的综合应用39．已知函数是幂函数，且.（1）求函数的解析式；（2）试判断是否存在实数，使得函数在区间上的最大值为6，若存在，求出b的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）存在，.【详解】解：因为函数是幂函数，所以，解得或，当时，，则，故不符题意，当时，，则，符合题意，所以；（2）由（1）得，函数图像开口向下，对称轴为：，当时，函数在区间上递减，则，解得，符合题意；当时，函数在区间上递增，则，解得，符合题意；当时，，解得，不符题意，综上所述，存在实数满足题意.40．已知函数.（1）当时，求该函数的值域；（2）求不等式的解集；（3）若于恒成立，求的取值范围．【答案】（1）（2）或（3）（1）令，，则，函数转化为，，则二次函数，在上单调递减，在上单调递增，所以当时，取到最小值为，当时，取到最大值为5，故当时，函数的值域为.（2）由题得，令，则，即，解得或，当时，即，解得；当时，即，解得，故不等式的解集为或．（3）由于对于上恒成立，令，，则即在上恒成立，所以在上恒成立，因为函数在上单调递增，也在上单调递增，所以函数在上单调递增，它的最大值为，故时，对于恒成立．41．已知函数在区间[2，3]上有最大值4，最小值1．函数（1）求函数g(x)的解析式；（2）若存在使得不等式f(lnx)klnx≤