四川省成都市九县区2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题（含答案解析）

2024～2025学年度上期高中2024级期中考试数学考试时间120分钟，满分150分注意事项：1．答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”．2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效．3．考试结束后由监考老师将答题卡收回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】列举法表示出集合，利用交集概念求出答案.【详解】集合，，则.故选：B．2.命题“，”的否定为（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】根据题意，由全称命题的否定是特称命题，即可得到结果.【详解】因为命题“，”，则其否定为“，”故选：D3.下列四个命题中的真命题有（）①若，，则②若，，则③若，则④若，则A.②③ B.②④ C.①④ D.③④【答案】C【解析】【分析】对于①④：根据不等式的性质即可判断；对于②③：举反例说明即可.【详解】对于①：若，，根据同向可加性可得：，故①为真命题；对于②：例如，满足，，但，故②为假命题；对于③：例如，若，则，故③为假命题；对于④：若，显然，可得，故④为真命题；综上所述：真命题有①④.故选：C.4.函数的图象大致为（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】证明函数为奇函数，确定函数图象关于原点对称，排除AC，再通过计算f1，确定正确选项.【详解】函数的定义域为，定义域关于原点对称，且，所以函数为奇函数，所以函数的图象关于原点对称，选项AC错误；又，所以选项B错误.选项D满足以上特征.故选：D．5.函数的定义域为，则（）A.2 B.－2 C.－1 D.1【答案】A【解析】【分析】根据定义域知不等式的解集，再由不等式解集得出对应方程的根，即可得解.【详解】因为的定义域为，所以的解集为，得，解得，，故.故选：A．6.已知为定义在R上的奇函数，当时，，则（）A.－2 B.－1 C.0 D.1【答案】C【解析】【分析】根据奇函数的性质求出，再求出即可得解.【详解】因为为定义在R上奇函数，所以得，所以，故，则，故选：C．7.高一某班共有45名学生，该班参加数学强基班的学生有25人，参加物理强基班的学生有18人，既参加数学强基班又参加物理强基班的学生有8人，则既没有参加数学强基班又没有参加物理强基班的学生有（）A.10人 B.11人 C.12人 D.13人【答案】A【解析】【分析】利用图结合集合的运算即可求解.【详解】由图可知，既没有参加数学强基班又没有参加物理强基班的学生有（人），故选：A．8.集合的所有子集中的元素之和为（）A.126 B.128 C.130 D.132【答案】B【解析】【分析】根据子集概念分析即可求解.【详解】，集合的所有子集有：，，1，3，5，7分别在子集中各出现8次，.故选：B．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列函数为偶函数的是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】根据偶函数的定义逐项判断即可.【详解】对于A，函数的定义域为，定义域关于原点对称，，所以函数为偶函数，A正确；对于B，函数的定义域为，定义域关于原点对称，，所以函数为奇函数，B错误；对于C，函数的定义域为，定义域关于原点对称，，所以函数为偶函数，C正确；对于D，函数定义域为，定义域关于原点对称，，故，，，所以函数不偶函数，D错误；故选：AC10.下列函数的最小值为4的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】根据基本不等式的应用条件“一正、二定、三相等”，对选项逐一验证即可得出结论.【详解】A选项，当时，，故A错误；B选项，，当且仅当时，等号成立，故B正确；C选项，化简可得，当且仅当时，等号成立，故C正确；D选项，易知，当，即时，等号成立，最小值为，故D错误，故选：BC．11.下列说法正确的是（）A.从集合到集合的函数有个B.已知，，对，使得成立，则实数的取值范围为C.已知实数x，y，z，记，则的最小值为D.已知，，则【答案】ABD【解析】【分析】对于A，利用函数的定义即可求解；对于B，对，使得成立，，分别求出fx,gx的最小值，即可求出实数的取值范围；对于C，利用不等式的性质即可求解；对于D，首先推理出当时，是周期为的函数，再求的值即可.【详解】对于A选项，集合中每个元素都有种对应方法，则共（种），即从集合到集合的函数有个，故A正确；对于B选项，由，则，对于，，令，则，当时，，即，由题意，即，解得，故B正确；对于C选项，，可得，即，当时，的最小值为，故C错误；对于D选项，由，，，，，可知当时，是周期为的周期函数，故，则，故D正确，故选：ABD．【点睛】关键点睛：对于选项B，关键是由对，使得成立，，将恒成立问题转化为最值问题；对于选项D，关键是推理出当时，是周期为的周期函数.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数为偶函数，则实数______．【答案】【解析】【分析】根据给定条件，利用偶函数的定义求解即得.【详解】由函数为偶函数，得，当时，，，而当时，，则，即，当时，，，符合题意，所以.故答案为：313.已知集合，，且，则实数______．【答案】【解析】【分析】根据集合中元素的互异性求的值.【详解】，或，由互异性，.故答案为：．14.已知函数且关于x的不等式恒成立，则实数k的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】利用函数的奇偶性与单调性去函数符号解含参一元二次不等式即可.【详解】易知，即为奇函数，由幂函数的单调性知在R上是增函数，所以，则得在R上恒成立，若时，显然不成立，若时，显然恒成立成立，若时，则当且仅当时成立，综上：实数k的取值范围为．故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知，，且．（1）求xy的最大值；（2）求的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）方法一：利用基本不等式得到，求出；方法二：由得到，，求出的最大值为；（2）利用基本不等式“1”的妙用求出最值.【小问1详解】方法一：∵，，，∴，当且仅当，即，时等号成立，∴，∴，的最大值为；方法二：，解得，，，当时，的最大值为，此时；【小问2详解】∵，又∵，，∴，，∴，当且仅当时等号成立，∵，∴，，∴，∴当，时，的最小值为9．16.已知集合，集合．（1）求集合；（2）若集合C为关于x的不等式的解集，且是的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据不等式运算求集合，进而可得并集；（2）根据不等式运算求集合，分析可知集合是集合的真子集，根据包含关系列式求解即可.【小问1详解】令，解得，可得，令，解得，可得，所以；【小问2详解】因为，解得或，可得或，因为是的必要不充分条件，可知集合是集合的真子集，可得或，解得或，所以实数a的取值范围为．17.已知函数．（1）求函数的表达式和值域；（2）根据函数单调性的定义证明函数在区间上为增函数，若在区间上恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（1），（2）证明见解析，【解析】【分析】（1）首先根据换元法求解函数解析式，然后对与两种情况进行分类讨论，通过均值不等式求解函数值域；（2）首先通过取值、作差和变形、定符号等步骤，结合函数单调性的定义证明函数单调性，然后利用函数单调性求解函数的最大值，进而根据恒成立的要求求解参数取值范围即可.【小问1详解】（1）令，，，则，∴，∴，当时，，当时等号成立，当时，，，当时等号成立，∴函数的值域为；【小问2详解】设，则，∵，∴，，，∴，∴，∴函数在区间上为增函数，由题意在区间上恒成立，∵在区间上为增函数，∴，∴，，∴实数m的取值范围为．18.已知二次函数满足，，函数．（1）求函数的表达式并解关于x的不等式；（2）求函数在区间上的最小值的表达式，若对任意，都有成立，求实数m的取值范围．【答案】（1），答案见解析（2），【解析】【分析】（1）待定系数法求函数的解析式，分情况讨论解不等式.（2）先求的表达式，再把，转化成，从而求m的取值范围.【小问1详解】设，∵，，∴.∴，∴，，当时，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集为.【小问2详解】当即时，，当即时，，当即时，，综上.由题意得，∴或或解得或或，∴，∴实数m的取值范围为．19.经研究，函数为奇函数的充要条件是函数图象的对称中心为点，函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，由得函数关于点成中心对称图形的充要条件是．（1）已知函数，且，求的值；（2）证明函数图象的对称中心为；（3）已知函数，求的值．【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）【解析】【分析】（1）由知，，根据易求的值；（2）