第08讲行程问题（二）多次相遇及追击问题

第08讲行程问题（二）多次相遇及追击问题学会分析运动过程，画出示意图掌握多次相遇问题及追及问题模块一：多次相遇问题1.含义两个物体从两地出发，相向而行，经过一段时间，必然会在途中相遇，这类题型就把它称为相遇问题。2.一般分析行程问题，基本思路是：

分析运动过程，画出示意图。由示意图找出两物体位置关系。根据物体运动性质列出含有时间的位置方程。3．相遇问题常用的数量关系：速度和×相遇时间=相遇路程；相遇路程÷速度和=相遇时间；相遇路程÷相遇时间=速度和4.相遇问题基本关系图式 5.多次相遇与全程问题：两地相向出发：第一次相遇，共走1个全程；第二次相遇，共走3个全程；…………，…………；第N次相遇，共走2N1个全程；两地同向出发：第一次相遇，共走2个全程；第二次相遇，共走4个全程；…………，…………；第N次相遇，共走2N1个全程；模块二：追及问题1.两个运动物体在不同地点同时出发（或者在同一地点而不是同时出发，或者在不同地点又不是同时出发）作同向运动，在后面的，行进速度要快些，在前面的，行进速度较慢些，在一定时间之内，后面的追上前面的物体。这类应用题就叫做追及问题。2.一般分析行程问题，基本思路是：

分析运动过程，画出示意图。由示意图找出两物体位置关系。根据物体运动性质列出含有时间的位置方程。3．追及问题常用的数量关系是：速度差×追及时间=追及距离；追及距离÷速度差=追及时间；追及距离÷追及时间=速度差4.相遇问题基本关系图式例题解析同时出发不出发同时例题解析模块一：多次相遇问题【例1】甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，在距A地80千米处相遇，相遇后两车继续前进，甲车到达B地、乙车到达A地后均立即按原路返回，第二次在距B地60千米处相遇。求A、B两地间的路程。

[解析]根据题意可画出下面的线段图：

解析：图中可知，甲、乙两车从同时出发到第二次相遇，共行驶了3个全程，第一次相遇距A地80千米，说明行完一个全程时，甲行了8O千米。两车同时出发同时停止，共行了3个全程，说明两车第二次相遇时甲共行了8×3＝240（千米），从图中可以看出来甲车实际行了一个全程多60千米，所以A、B两地间的路程就是：

240－60＝180（千米）【例2】甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，在距A地80千米处相遇，相遇后两车继续前进，甲车到达B地、乙车到达A地后均立即按原路返回，第二次在距A地60千米处相遇。求A、B两地间的路程。[解析]根据题意可画出线段图：由图中可知，甲、乙两车从同时出发到第二次相遇，共行驶了3个全程，第一次相遇距A地8O千米，说明行完一个全程时，甲行了8O千米。两车同时出发同时停止，共行了3个全程。说明两车第二次相遇时甲车共行了：80×3＝24O（千米），从图中可以看出来甲车实际行了两个全程少60千米，所以A、B两地间的路程就是：（24O＋6O）÷2＝150（千米）模块二：追及问题【例1】上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是8千米，这时是几点几分？【解析】画一张简单的示意图：图上可以看出，从爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了84＝4（千米）.4而爸爸骑的距离是4＋8＝12（千米）.这就知道，爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的12÷4＝3（倍）.按照这个倍数计算，小明骑8千米，爸爸可以骑行8×3＝24（千米）.但事实上，爸爸少用了8分钟，骑行了4＋12＝16（千米）.少骑行2416＝8（千米）.摩托车的速度是1千米/分，爸爸骑行16千米需要16分钟.8＋8＋16＝32.答：这时是8点32分.【例2】一架敌机侵犯我领空，我机立即起飞迎击，在两机相距50千米时，敌机扭转机头以每分钟15千米的速度逃跑，我机以每分钟22千米的速度追击，当我机追至敌机1千米时与敌机激战，只用了半分钟就将敌机击落，敌机从扭头逃跑到被击落共多少时间？【解析】追击距离：501=49（千米）

追击时间：49÷（2215）=49÷7=7（分钟）所以,共计用时7+0.5=7.5（分钟）【例3】A、B两地间有条公路，甲从A地出发，步行到B地，乙骑摩托车从B地出发，不停地往返于A、B两地之间，他们同时出发，80分钟后两人第一次相遇，100分钟后乙第一次追上甲，问：当甲到达B地时，乙追上甲几次？【解析】

由上图容易看出：在第一次相遇与第一次追上之间，乙在10080=20（分钟）内所走的路程恰等于线段FA的长度再加上线段AE的长度，即等于甲在（80+100）分钟内所走的路程，因此，乙的速度是甲的9倍（=180÷20），则BF的长为AF的9倍，所以，甲从A到B，共需走80×（1+9）=800（分钟），乙第一次追上甲时，所用的时间为100分钟，且与甲的路程差为一个AB全程.从第一次追上甲时开始，乙每次追上甲的路程差就是两个AB全程，因此，追及时间也变为200分钟，所以，在甲从A到B的800分钟内，乙共有4次追上甲，即在第100分钟，300分钟，500分钟和700分钟。1．甲火车从后面追上到完全超过乙火车用了60秒，甲火车长180米，车速是每秒25米，乙车速是每秒17米，乙火车长多少米？【答案】300米【分析】甲火车从后面追上到完全超过乙火车的路程差是甲、乙两列火车的车长之和，还知道追及时间是60秒，甲、乙两列火车的速度差25—17＝8（米/秒），根据追及问题的基本公式路程差＝追及时间×速度差，即可求出甲、乙两列火车车长之和，再减去甲车的车长就可以求出乙车的车长。【详解】60×（25—17）—180＝60×8—180＝300（米）答：乙火车长300米。【点睛】本题主要考查了火车行驶的追及问题，关键是要理解追及问题的基本公式：路程差＝追及时间×速度差。2．甲乙两人同时从A地出发，在相距90千米的A、B两地之间不断往返骑车，已知甲骑车的速度是每小时30千米，乙骑车的速度是每小时25千米，请问：（1）出发多长时间，甲第一次追上乙？（2）出发多长时间，甲第二次追上乙？【答案】（1）36小时；（2）72小时【分析】两人从同一地点出发的追及线段图如下：由图可知，甲第一次追上乙时，甲和乙的路程差是2个全程；以后每两个相邻追及之间，两人的路程差也是2个全程。据此解答本题即可。【详解】（1）从出发到第一次追上，路程差是2个全程，所以时间是：2×90÷（30－25）＝2×90÷5＝36（小时）答：出发36小时，甲第一次追上乙。（2）从出发到第二次追上，路程差是4个全程，所以时间是：4×90÷（30－25）＝4×90÷5＝72（小时）答：出发72小时，甲第二次追上乙。【点睛】解答此类问题，要读懂题意，画出线段图，帮助理解。一般地，两人从某地同时出发，同向而行，在两地之间不断往返，相邻两次追及之间，两人的路程差恰好等于2个全长。3．大宝和小宝两人同时分别从甲、乙两地相对出发，各自到达对方地点后立即返回，第一次相遇时大宝比小宝多走了80米，求第二次相遇地点距离中点多少米？【答案】120米【分析】第一次相遇的路程差是相遇地点距中点距离的2倍，所以第一次相遇地距中点距离为80÷2＝40（米），即第一次相遇大宝走了全程的一半多40米，从出发到第二次迎面相遇所走的路程是第一次相遇所走路程的3倍，即大宝走了全程的1.5倍多40×3＝120（米），由此得解。【详解】解法1：第一次相遇距中点距离：80÷2＝40（米）第二次相遇距中点距离：40×3＝120（米）答：第二次迎面相遇地点距离中点120米。解法2：设第一次相遇，小宝走了x米，大宝走了x＋80米，那么全程为x＋x＋80＝2x＋80米，半程为x＋40米，从出发到第二次相遇，小宝走了3x米，则第二次迎面相遇距离中点：x＋40－[3x－（2x＋80）]＝x＋40－[3x－2x－80]＝x＋40－[x－80]＝x＋40－x＋80＝120（米）答：第二次迎面相遇地点距离中点120米。【点睛】本题考查二次相遇问题，关键是画图分析出第一次相遇点距离中点的距离是两人路程差的一半，或者列代数式进行计算分析。4．甲、乙两地相距216千米，客货两车同时从甲、乙两地相向而行。已知客车每小时行58千米，货车每小时行50千米，各自到达对方出发地点后立即返回，两车第二次相遇时，客车比货车多行多少千米？【答案】48【分析】客、货两车从出发到第二次相遇，共行驶了3个全程，所以“路程×3÷速度和＝二次相遇时间”；客车每小时比货车多行驶58－50＝8（千米），根据“路程差＝速度差×相遇时间”，即可得解。【详解】第二次相遇所用时间：216×3÷（58＋50）＝648÷108＝6（小时）两车第二次相遇时，客车比货车多行的路程：（58－50）×6＝8×6＝48（千米）答：两车第二次相遇时，客车比货车多行48千米。【点睛】本题考查二次相遇问题，关键是理解并掌握第二次相遇时两车共同行驶了3个路程。5．学校组织学生步行去野外实习，每分钟走80米，出发9分钟后，班长发现有重要东西还在学校，就以原速度返回，找到东西再出发时发现又耽搁了18分钟，为了在到达目的地之前赶上队伍他改骑自行车，速度为260米／分，当他追上学生队伍时距目的地还有120米．求走完全程学生队伍步行需多长时间？【答案】53.5分钟【分析】此题中的追及问题发生在班长返回后，从学校出发追学生队伍，此时学生队伍已走出一段距离．这段距离即路程差．由路程=速度×时间，学生行走速度已知，学生先走的时间：9+9+18=36（分钟），因为以原速返回，则返回学校这段路程所用时间也是9分钟．可求路程差=80×36=2880（米）．由追及时间=路程差÷速度差，可知班长用2880÷（26080）=16（分钟）追上学生队伍．那么全程可求，学生队伍走这段路所用的时间易知．【详解】班长从学校出发时与学生队伍的距离：80×（9+9+18）=2880（米）追上学生队伍所用的时间：2880÷（26080）=16（分钟）从学校到实习目的地全程：260×16+120=4280（米）学生队伍行走所需时间：4280÷80=53.5（分钟）答：学生走完全程需53.5分钟．6．有甲、乙两列火车，甲车车长115米，每秒钟行驶27米，乙车车长130米，每秒钟行驶32米．从甲车追及乙车到两车离开，共需多长时间？【答案】49秒【详解】从甲车追及乙车到离开乙车的过程中，路程差为两个列车的车身长和：115+130=245（米）．甲、乙两车的速度差：3227=5（米／秒）追及时间：245÷5=49（秒）答：从甲车追及乙车到两车离开，共需49秒．7．甲、乙二人练习跑步，若甲让乙先跑10米，则甲跑5秒可追上乙；若乙比甲先跑2秒，则甲跑4秒能追上乙．问：两人每秒各跑多少米？【答案】甲6米

乙4米【详解】甲乙速度差为10/5=2速度比为（4+2）：4=6：4所以甲每秒跑6米，乙每秒跑4米．8．当甲在60m赛跑中冲过终点线时，比乙领先10m，比丙领先20m。如果乙和丙按各自原来的速度继续冲向终点，那么当乙到达终点时，将比丙领先几米？【答案】12米【分析】先求出乙和丙的速度比，再根据速度比列出比例解答即可。【详解】乙和丙的速度比为（60－10）∶（60－20）＝5∶4解：设乙到达终点时，比丙领先xm。5∶4＝10∶（20－x）5（20x）=401005x=405x=60x＝12答：将比丙领先12米。【点睛】本题考查了比例应用题，求出乙和丙的速度比是关键。9．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，在A、B间不断往返行驶。甲车每小时行20千米，乙车每小时行50千米，已知两车第10次与第18次迎面相遇的地点相距60千米，则A、B相距多少千米？【答案】105千米【分析】将A、B两地的距离看作单位“1”，相同时间甲、乙的路程比为20∶50＝2∶5，第一次相遇甲、乙共行一个全程，甲行了全程的；往后每相邻两次迎面相遇，甲、乙都共行2个全程，第n次相遇所走的路程和为（2n－1）个全程，甲所走的路程是第一次相遇路程的（2n－1）倍，据此可分别求出第10次相遇和第18次相遇甲所走的路程是几个全程又几分之几，若所走全程个数为奇数，则相遇地点距离B地几分之几；若所走全程个数为偶数，则相遇地点距离A地几分之几，据此分析计算，即可得解。【详解】相同时间甲、乙的路程比为20∶50＝2∶5，第一次相遇，甲行了全程的；第10次迎面相遇，甲、乙共行了2×10－1＝19个全程，甲行了全程的，此时甲距离B地占全程的；第18次迎面相遇，甲、乙共行了2×18－1＝35个全程，甲行了全程的，此时甲在A地；第10次与第18次迎面相遇的距离占全程的，A、B两地的距离为（千米）。答：A、B相距105千米。【点睛】本题考查多次迎面相遇问题，关键是理解并掌握此类问题的特点。10．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，在A、B间不断往返行驶。甲车每小时行45千米，乙车每小时行36千米，已知两车第2次与第3次迎面相遇的地点相距40千米，则A、B相距多少千米？【答案】90千米【分析】将A、B两地的距离看作单位“1”，由甲、乙的速度，可知第一次相遇时，甲、乙的路程比为45∶36＝5∶4，甲行了全程的，乙行了全程的；第二次相遇于C点（如图），甲、乙共行了3个全程，甲行了全程的，乙行了全程的，于是AC为全程的；第三次相遇于D点，甲、乙共行了5个全程，甲行了全程的，即甲走了一个来回又从A地走到D点，易知AD为全程的；CD＝AD－AC，故CD全程的，由题意知，CD＝40千米，用40千米除以对应分率，即可求出AB。【详解】在相同时间内甲、乙两车所行路程的比为45∶36＝5∶4第一次相遇甲行了全程的，乙行了全程的；如图，第二次两车相遇于C点，此时，乙行了全程的，AC为全程的；第三次相遇于D点，甲、乙共行了2×3－1＝5个全程，甲行了全程的，AD为全程的；CD为全程的，所以全程为40÷＝90（千米）答：A、B相距90千米。【点睛】本题考查多次相遇问题，关键是理解并掌握此类问题的特点：设全程为s，则第n次相遇所走的路程和为（2n－1）s，每个人所走的路程是第一次相遇路程的（2n－1）倍。11．甲、乙分别从A和B两地同时出发，相向而行，往返运动。两人在中途的C加油站处第一次迎面相遇，相遇后，两人继续行进并在D加油站处第二次迎面相遇。若甲速度提升一倍，那么当甲第一次走到D处时，乙恰好第一次走到了C处，已知CD之间距离为60千米，则从A地到B地的全程为多少千米？【答案】150千米【分析】根据题意，两人第一次迎面相遇是在C处，甲速度提升一倍，当甲第一次走到D处时，乙恰好第一次走到了C处，由此可知甲提速一倍走到D处所用的时间与提速前走到C处所用的时间相同，所以甲提速一倍后走到D处的路程是提速前走到C处的路程的2倍，因此AD＝2AC＝AC＋CD，所以AC＝CD＝60千米，即第一次相遇时，甲走了60千米；从第一次相遇到第二次相遇，甲走的路程是第一次相遇时走的路程的2倍，为60×2＝120千米，即CD＋2BD＝120千米，所以BD＝（120－60）÷2，进而可求出AB。【详解】如图，根据题意，甲提速一倍后走到D处所用时间与提速前走到C处所用时间相同，所以路程也增加一倍，因此AC＝CD＝60千米，第一次相遇，甲走了60千米，第一次相遇到第二次相遇，甲走了60×2＝120（千米），即CD＋2BD＝120，BD＝（120－60）÷2＝60÷2＝30（千米）所以AB＝AC＋CD＋BD＝60＋60＋30＝150（千米）答：从A地到B地的全程为150千米。【点睛】本题考查涉及变速的二次相遇问题，关键理解题意，分析出甲提速一倍后走到D处与提速前走到C出所用时间相同，因此所走路程也增加一倍。12．客、货两车同时从甲、乙两地相对开出，在途中相遇后继续前进，各自到达对方出发地后立即返回，途中第二次相遇，两次相遇地点相距120千米。客车每小时行60千米，货车每小时行48千米。问甲、乙两地的距离。【答案】540千米【分析】根据题意，客车和货车的速度比为60∶48＝5∶4，那么，相同时间的路程比也为5∶4；设甲、乙两地的距离为5＋4＝9（份），则第一次相遇，客车和货车共行驶了1个全程，客车行驶了5份，货车行驶了4份；从出发到第二次相遇，客车和货车共行驶了3个全程，客车行驶路程是第一次相遇行驶路程的3倍，即5×3＝15（份），两次相遇相距15－9－4＝2（份），2份对应120千米，由此求出1份的路程是多少，进而求出甲、乙两地的距离。【详解】解法1：客、货两车速度比：60∶48＝5∶4设甲、乙两地的距离为5＋4＝9（份），两相遇地的距离所对应份数为：5×3－9－4＝15－9－4＝2（份）甲、乙两地的距离为：120÷2×9＝540（千米）答：甲、乙两地的距离为540千米。解法2：如图，设第一次相遇，货车行驶的路程为a，客车比货车多行驶的路程为b，即客车行驶的路程为（a＋b），那么第一次相遇到第二次相遇，客车行驶的路程是第一次相遇路程的2倍，即为2（a＋b）＝2a＋2b，由图可知，两次相遇的距离为2b，即两次相遇地点的距离是第一次相遇两车路程差的2倍。第一次相遇时间：120÷2÷（60－48）＝60÷12＝5（小时）甲、乙两地距离：（60＋48）×5＝108×5＝540（千米）答：甲、乙两地的距离为540千米。【点睛】本题考查二次相遇问题，关键是画线段图分析出数量关系，可根据比例求解或画图分析出两次相遇地的距离是第一次相遇路程差的2倍，进而根据公式求解：路程差÷速度差＝相遇时间，速度和×相遇时间＝路程。13．快、慢两车同时从甲、乙两地相对开出并往返行驶。快车每小时行80千米，慢车每小时行45千米。两车第二次相遇时，快车比慢车多行了210千米。求甲、乙两地间的路程。【答案】250千米【分析】由题目可知快车每小时比慢车要多行（）千米，而两辆车第二次相遇时快车一共比慢车多行210千米，由此我们可以求出在第二次相遇时它们一共行了多少小时；由题目已知两车相对开出并往返行驶，因此根据它们行驶方式我们可知，它们第二次相遇时两车一共行驶了3个两地间的路程；可以利用第二次相遇时它们行驶的时间求出1个两地间的路程两车一共花费的时间，最后根据两车的速度求出甲、乙两地间的路程。【详解】两车的速度差：＝35（千米）；到第二次相遇行驶的时间：210÷35＝6（小时）；1个两地间路程所用的时间：6÷3＝2（小时）；两地间的路程：2×（）＝2×125＝250（千米）；答：甲、乙两地间的路程是250千米。【点睛】这是一道典型的行程问题，里面包含路程、时间、速度三个量。而这类问题解题的关键及规律有：同时同地相背而行：路程＝速度和×时间；同时相向而行：两地的路程＝速度和×时间；同时同向而行（速度慢的在前，快的在后）：追及问题＝路程÷速度差；同时同地同向而行（速度慢在后，快的在前）：路程＝速度差×时间。14．甲、乙二人分别从A、B两地同时相向而行，甲的速度是乙的速度的2倍，二人相遇后继续行进，甲到B地，乙到A地后都立即返回。已知两人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点20千米，求A、B两地的距离。【答案】30千米【分析】由于甲的速度是乙的速度的2倍，所以同一时间内，甲走的路程是乙走的路程的2倍。设A、B两地的距离为3份，第一次相遇，甲、乙共走了一个全程，甲走了2份，乙走了1份；从第一次相遇到第二次相遇，甲、乙共走了两个全程，这期间乙走了1×2＝2份，正好到达A地，两次相遇地点相距2份为20千米，1份的路程为20÷2＝10（千米），进而可求出A、B两地的距离。【详解】如图，设A、B两地的距离为3份，根据题意，第一次相遇在C处，第二次相遇在A地。A、B两地的距离：20÷2×3＝30（千米）答：A、B两地的距离是30千米。【点睛】本题考查二次相遇问题，关键是熟知时间相同，路程比等于速度比，根据题意设出份数，画图分析，找出20千米所对应的份数。15．甲、乙两车分别同时从A、B两地相对开出（甲从A地，乙从B地），第一次相遇后两车继续前进，第二次相遇时乙车离A地120千米，已知甲、乙两车速度比为5∶4，求AB两地路程。【答案】360千米【分析】由于第二次相遇时，两车共行了3个全程，又甲、乙两车速度比为5∶4，所以第二次相遇时，乙车行了3个全程的，即，即行了一个全程又全程的，第二次相遇时乙车离A地120千米，所以这120千米占全程的，所以全程是千米。【详解】＝360（千米）答：AB两地路程是360千米。【点睛】本题考查二次相遇问题，关键是理解第二次相遇两车行驶的路程是第一次相遇的3倍，然后运用比进行求解。16．快车车速19米／秒，慢车车速15米／秒．现有慢车、快车同方向齐头行进，20秒后快车超过慢车，首尾分离．如两车车尾相齐行进，则15秒后快车超过慢车，求两列火车的车身长．【答案】快车车身长为80米，慢车车身长60米【详解】当两车同时同向齐头行进，快车超过慢车时，两车的路程差相当于一个快车的车身长．那么快车车身长=速度差×追及时间=（l915）×20＝80（米）当两车车尾相齐同向行进，快车超过慢车时，多行的路程即路程差，相当于一个慢车的车身长．则慢车的车身长（19－15）×15＝60（米）答：快车车身长为80米，慢车车身长60米．17．一架飞机从机场出发到某地执行任务，原计划每分钟飞行8千米．为了争取时间，现将飞行速度提高到每分钟12千米，结果比计划早到了40分钟．问机场与目的地相距多远？【答案】960千米【分析】将此题可看作是追及问题．一架每分钟飞行8千米的飞机，飞行40分钟后，另一架每分钟飞行12千米的飞机，沿第一架飞机的飞行路线从后面赶来，两架飞机同时到达目的地．【详解】路程差：8×40=320（千米）追及时间：320÷（12－8）＝80（分钟），即第二架飞机的飞行时间．则这段路程：12×80=960（千米）答：机场与目的地相距960千米．18．在一条长400米的环形跑道上，正在进行一场5000米的长跑比赛．1号队员的平均跑步速度是每秒6米，2号队员平均每分钟跑0．8圈．当1号队员与2号队员在比赛开始一段时间后又并肩而跑的时候，l号队员距离终点还有多远？【答案】1400米【详解】先统一两