专题25不定方程（原卷）2

20222023学年小学六年级思维拓展举一反三精编讲义专题25不定方程知识精讲知识精讲当方程的个数比方程中未知数的个数少时，我们就称这样的方程为不定方程。如5x－3y＝9就是不定方程。这种方程的解是不确定的。如果不加限制的话，它的解有无数个；如果附加一些限制条件，那么它的解的个数就是有限的了。如5x－3y＝9的解有：x＝2.4x＝2.7x＝3.06x＝3.6y＝1y＝1.5y＝2.1y＝3如果限定x、y的解是小于5的整数，那么解就只有x＝3，Y＝2这一组了。因此，研究不定方程主要就是分析讨论这些限制条件对解的影响。解不定方程时一般要将原方程适当变形，把其中的一个未知数用另一个未知数来表示，然后再一定范围内试验求解。解题时要注意观察未知数的特点，尽量缩小未知数的取值范围，减少试验的次数。对于有3个未知数的不定方程组，可用削去法把它转化为二元一次不定方程再求解。典例分析典例分析【典例分析01】求3x+4y＝23的自然数解。先将原方程变形，y＝EQ\F(23－3x,4)。可列表试验求解：X1234567Y5×××2××所以方程3x+4y＝23的自然数解为X=1x=5Y=5y=2【典例分析02】求下列方程组的正整数解5x+7y+3z＝253x－y－6z＝2这是一个三元一次不定方程组。解答的实话，要先设法消去其中的一个未知数，将方程组简化成例1那样的不定方程。5x+7y+3z＝25=1\*GB3①3x－y－6z＝2=2\*GB3②由=1\*GB3①×2+=2\*GB3②，得13x+13y＝52X+y＝4=3\*GB3③把=3\*GB3③式变形，得y＝4－x。因为x、y、z都是正整数，所以x只能取1、2、3.当x＝1时，y＝3当x＝2时，y＝2当x＝3时，y＝1把上面的结果再分别代入=1\*GB3①或=2\*GB3②，得x＝1，y＝3时，z无正整数解。x＝2，y＝2时，z也无正整数解。x＝3时，y＝1时，z＝1.所以，原方程组的正整数解为x＝1y＝1z＝1【典例分析03】一个商人将弹子放进两种盒子里，每个大盒子装12个，每个小盒子装5个，恰好装完。如果弹子数为99，盒子数大于9，问两种盒子各有多少个？两种盒子的个数都应该是自然数，所以要根据题意列出不定方程，再求出它的自然数解。设大盒子有x个，小盒子有y个，则12x+5y＝99（x＞0，y＞0，x+y＞9）y＝（99－12y）÷5经检验，符合条件的解有：x＝2x＝7y＝15y＝3所以，大盒子有2个，小盒子有15个，或大盒子有7个，小盒子有3个。【典例分析04】买三种水果30千克，共用去80元。其中苹果每千克4元，橘子每千克3元，梨每千克2元。问三种水果各买了多少千克？设苹果买了x千克，橘子买了y千克，梨买了（30－x－y）千克。根据题意得：4x+3y+2×（30－x－y）＝82x＝10－EQ\F(y,2)由式子可知：y<20，则y必须是2的倍数，所以y可取2、4、6、8、10、12、14、16、18。因此，原方程的解如下表：苹果987654321橘子24681012141618梨191817161514131211【典例分析05】某次数学竞赛准备例2枝铅笔作为奖品发给获得一、二、三等奖的学生。原计划一等奖每人发6枝，二等奖每人发3枝，三等奖每人发2枝。后又改为一等奖每人发9枝，二等奖每人发4枝，三等奖每人发1枝。问：一、二、三等奖的学生各有几人？设一等奖有x人，二等奖有y人，三等奖有z人。则6x+3y+2z＝22=1\*GB3①9x+4y+z＝22=2\*GB3②由=2\*GB3②×2－=1\*GB3①，得12x+5y＝22y＝EQ\F(22－12x,5)x＝1x只能取1。Y＝2，代入=1\*GB3①得z＝5，原方程的解为y＝2z＝5所以，一等奖的学生有1人，二等奖的学生有2人，三等奖的学生有5人。真题演练真题演练一．选择题（共5小题，满分10分，每小题2分）1．（2分）（2022•永济市）有一些6厘米和7厘米长的小棒，从中取出一些接在一起不能得到的长度（）A．29厘米 B．30厘米 C．31厘米2．（2分）（2020秋•乌兰察布期末）一个28人的旅游团到租车公司租车。小汽车限坐4人，商务车限坐6人，如果每辆车都坐满，那么旅游团要租（）A．5辆小汽车和2辆商务车 B．4辆小汽车和2辆商务车 C．3辆小汽车和3辆商务车3．（2分）（2020秋•雨花区校级期中）用一辆载质量2吨和一辆质量3吨的卡车运沙石，如果每次每辆车都装满，怎样可以恰好运完8吨？（）A．载质量2吨的车运4次 B．载质量2吨的车运1次，载质量3吨的车运2次 C．A或B都行4．（2分）（2013•宝山区模拟）已知与都是方程y＝kx+b的解，则k与b的值为（）A．，b＝﹣4 B．，b＝4 C．，b＝4 D．，b＝﹣45．（2分）（2021秋•莱阳市期末）超市有4支装和6支装不同包装的碳素笔，小明想买36支，有（）种不同的买法。A．3 B．4 C．5二．填空题（共7小题，满分14分，每小题2分）6．（2分）（2021秋•即墨区期末）学校组织学生去实践基地。五年级有360人，大客车每辆坐45人，小客车每辆坐30人，恰好没有空位，有种不同的安排方法。7．（2分）（2022秋•莱山区期末）31人住旅馆，有3人间和2人间若干。如果每间房都要住满，有种不同的安排方案。8．（2分）（2022•高淳区）某蛋糕店采用发放号牌的方式销售蛋糕，同一批次只发放4个号牌（每人限领1个号牌），每个号牌最多购买3盒蛋糕、最少购买1盒蛋糕（每盒里有3个蛋糕）。要保证同一批次的人都能买到所需要的蛋糕，蛋糕店每批次至少要准备个蛋糕。9．（2分）（2022秋•潍坊期末）一种巧克力有4块装和6块装两种包装方式，要购买这种巧克力26块，有种不同的买法。10．（2分）（2021秋•滨城区期末）元旦联欢会需要购买48米长的彩带装饰教室。现有4米一根和6米一根的彩带两种，共有种不同的买法。如果4米的买3根，6米的就应该买根。11．（2分）（2021秋•涿鹿县校级期末）王老师要买56支钢笔做奖品，同样的钢笔有4支装和6只装两种不同的包装，王老师共有种不同买法。12．（2分）（2021秋•栖霞市期末）29人住旅馆，有3人间和2人间若干，每间房住满，有种不同的安排。三．应用题（共16小题，满分76分）13．（4分）（2021•和平区）用载重5吨和3吨的大小卡车往城市运39吨蔬菜。大卡车和小卡车各用几辆正好一次运完？14．（4分）（2019秋•顺庆区期末）学校有26位老师周末开轿车下乡扶贫，轿车准载人数有7座和5座两款．如果每辆车都坐满，7座和5座的车各需要几辆？15．（4分）（2022秋•长沙县期末）参加青少年冬令营的43名同学入住宾馆，宾馆有三人间和两人间（不能空床）。怎样给同学们安排房间最合适？请你写出至少两种方案。16．（4分）（2022秋•东城区期末）20人去公园划船。每条大船限坐5人，每条小船限坐3人。一共有几种租船方案？请你在表格中填一填、算一算。方案大船/条小船/条可坐人数①②③④⑤如果每条船都坐满，没有空位，有种租船方案。17．（5分）（2021秋•萧山区期末）一堆重45吨的沙子，安排两种载质量的货车运送。大车每次运9吨，小车每次运6吨。如果每次运沙的车子都装满，怎样安排恰好运完？（写出所有符合条件的方案）18．（5分）（2021•宁波模拟）学校要安排66名新生住宿，小房间可以住4人，大房间可以住7人，分别需要多少间大、小房间，才能正好将66名新生安排住下？19．（5分）（2019春•上海月考）单位职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且有的职工各带了一个孩子参加．男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵树，每个孩子都种6棵树，他们一共种了216棵树．那么其中有多少名男职工？20．（5分）（2021秋•青云谱区期末）有50人去划船，大船每条可坐6人，小船每条可坐4人。如果每条船都坐满，可以怎样租船？（写出一种符合条件的方案即可）21．（5分）（2020秋•吴兴区期末）两种盒子都可以用来装牛奶。如果要把28瓶牛奶都装到盒子中，而且每盒都装满，可以怎样装？（写出所有符合要求的装法）22．（5分）（2021秋•合阳县期中）15名同学组织国庆节放假期间去游乐园划船。游乐园有大小两种船型，大船限坐5人，小船限坐3人。如果每条船都坐满，可以怎样租船？23．（5分）（2019秋•涧西区期末）你玩过抱团游戏吗？游戏规则：可6人抱一堆，也可4人抱一堆．如果有38人，怎样抱团刚好一人也不剩下．请用自己的方式找出所有可能的方案，做到不重复、不遗漏．24．（5分）（2022•沈阳模拟）如图，正方形ABCD的边长为2cm，在对称中心O处有一钉子。动点P、Q同时从点A出发，点P沿A～B～C～D方向以每秒2cm的速度运动，到点D停止；点Q沿A～D方向以每秒1cm的速度运动，到点D停止。P、Q两点用一条可伸缩的细橡皮筋连接，设x秒后橡皮筋扫过的面积为ycm2。（1）当橡皮筋刚好触及钉子时，求x的值。（2）求当x＝时y的值。（3）在橡皮筋从触及钉子到运动停止的过程中，直接写出∠POQ为直角时x的数值。25．（5分）（2021秋•威宁县期末）一次夏令营活动有21位学生参加，请你安排住宿，住3人间和2人间（每个房间不能有空床位