冲刺模拟试卷04-2023年高考数学考前高分冲刺模拟卷（新高考专用）

2023年高考数学考前冲刺模拟试卷04全解全析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，，所以．故选：C2．若复数满足，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】，则．故选：B.3．已知向量的夹角的余弦值为，，，则（）A.4 B.1 C.1 D.4【答案】C【解析】由题意不妨设，，则，，由，可得，即，又由，解得，所以.故选：C.4．“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为圆内切于圆，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A5．在三棱锥中，平面BCD，，则三棱锥的外接球的表面积与三棱锥的体积之比为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】取的中点,连接，因为面面面所以，所以，所以，，因为面面所以面，又因为面，所以，所以，所以，所以为三棱锥的外接球的圆心,半径，所以球表面积为，三棱锥的体积为，故.故选：D6．2022年北京冬奥会开幕式精彩纷呈，其中雪花造型惊艳全球．有一个同学为了画出漂亮的雪花，将一个边长为1的正六边形进行线性分形．如图，图（n）中每个正六边形的边长是图中每个正六边形的边长的．记图（n）中所有正六边形的边长之和为，则下列说法不正确的是（）A．图（4）中共有294个正六边形B．C．是一个递增的等比数列D．记为数列的前n项和，则对任意的且，都有【答案】A【解析】对于A，由图可知，图至图中正六边形的个数构成以为首项，为公比的等比数列，故图中共有个正六边形，A错误；对于B，由题可知，图中每个正六边形的边长为，，，B正确；对于C，是底数大于的指数型函数，是一个递增的等比数列，C正确；对于D，，，，，当且时，对任意的且，都有，D正确.故选：A.7．已知函数在上单调递增，且当时，恒成立，则的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由已知，函数在上单调递增，所以，解得：，由于，所以，解得：①又因为函数在上恒成立，所以，解得：，由于，所以，解得：②又因为，当时，由①②可知：，解得；当时，由①②可知：，解得.所以的取值范围为.故选：B.8．已知是自然对数的底数，设，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设，，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，，时，，即，设，，时，，函数单调递减，时，，函数单调递增，所以当时，函数取得最小值，，即恒成立，即，令，，时，，单调递减，时，，单调递增，时，函数取得最小值，即，得：，那么，即，即，综上可知.故选：A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．居家学习期间，某学校发起了“畅读经典，欢度新年”活动，根据统计数据可知，该校共有1200名学生，所有学生每天读书时间均在20分钟到100分钟之间，他们的日阅读时间频率分布直方图如图所示．则下列结论正确的是（）A.该校学生日阅读时间的众数约为70B.该校学生日阅读时间不低于60分钟的人数约为360C.该校学生日阅读时间的第50百分位数约为65D.该校学生日阅读时间的平均数约为64【答案】ACD【解析】对于A，由图可知众数约为，故A正确；对于B，阅读时间不低于60分钟的人数约为(0.02+0.01）×20×1200=720，故B错误；对于C，[20，60)的频率为（0.005+0.015)×20=0.4，[60，80)的频率为0.02×20=0.4，∴第50百分位数为，故C正确；对于D，平均值为30×0.005×20+50×0.015×20＋70×0.02×20+90×0.01×20=64，故D正确；故选：ACD10．已知实数a，b>0，2a+b=4，则下列说法中正确的有（）A.有最小值 B.a2+b2有最小值C.4a+2b有最小值8 D.lna+lnb有最小值ln2【答案】BC【解析】因为实数a，b>0，2a+b=4，所以有，当且仅当时取等号，即当时取等号，故选项A不正确；因为2a+b=4，所以，当时，a2+b2有最小值，故选项B正确；，当且仅当时取等号，即时取等号，故选项C正确；因为实数a，b>0，2a+b=4，所以，当，时，lna+lnb有最大值ln2，因此选项D不正确，故选：BC11．已知函数的导函数，且，，则（）A.是函数的一个极大值点B.C.函数在处切线的斜率小于零D.【答案】AB【解析】令，解得，则在上单调递增，令，解得或，则在上单调递减，故是函数的一个极大值点，，A、B正确；∵，则，故函数在处切线的斜率大于零，C错误；又∵，则，但无法确定函数值的正负，D错误；故选：AB.12．己知椭圆：的左、右焦点分别为，右顶点为A，点M为椭圆上一点，点I是的内心，延长MI交线段于N，抛物线（其中c为椭圆下的半焦距）与椭圆交于B，C两点，若四边形是菱形，则下列结论正确的是（）A. B.椭圆的离心率是C.的最小值为 D.的值为【答案】ACD【解析】对于A，因为椭圆的左、右焦点分别为，右顶点为A，则，，，，因为抛物线（其中c为椭圆下的半焦距）与椭圆交于B，C两点，所以由椭圆与抛物线的对称性可得，两点关于轴对称，不妨设，，，因为四边形是菱形，所以的中点是的中点，所以由中点坐标公式得，则，将代入抛物线方程得，，所以，则，所以，故A正确；对于B，由选项A得，再代入椭圆方程得，化简得，则，故，所以，故B错误；对于C，由选项B得，所以，则，所以，不妨设，则，且，所以，当且仅当且，即，即时，等号成立，所以的最小值为，故C正确；对于D，连接和，如图，因为的内心为，所以为的平分线，则有，同理：，所以，所以，所以，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知，则______．【答案】10【解析】，其二项展开式的通项为，是展开式的系数，令，可得.故答案为:10.14.已知函数，将的图像向右平移个单位长度后的函数的图像，若为偶函数，则函数在上的值域为___________.【答案】【解析】因为，将的图像向右平移个单位长度得到，又为偶函数，所以，，解得，，因为，所以，所以，因为，则，所以，则.故答案为：15.设奇函数的定义域为，且对任意，都有．若当时，，且，则不等式的解集为__________．【答案】【解析】设，且，则因为，当时，，所以，因为对任意，都有．所以，，即，所以，函数在上单调递减，因为是定义域为的奇函数，所以，函数在上单调递减，因为不等式等价于不等式，即，因为对任意，都有，，所以，当时，得；当时，得所以，所以，，，，，所以，当时，的解集为，当时，的解集为，所以，的解集为，所以，不等式的解集为故答案为：16．如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E：的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且，，则E的离心率为__________．【答案】【解析】依题意，直线都过点，如图，有，，设，则，显然有，，，因此，，在，，即，解得，即，令双曲线半焦距为c，在中，，即，解得，所以E的离心率为.故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知数列是公比为的等比数列，前项和为，且满足，．(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，求数列的前项和．【答案】(1)(2)【解析】（1）由题意得，故，，即；（2）由已知，得n为奇数时，；当n为偶数时，，则．18．在中，，是边上一点，．（1）若，求的值；（2）若，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】（1）由，，可得，．在中，由正弦定理得；在中，由正弦定理得；在中，由正弦定理得，所以．（2）由，得．设，则，，所以，，，则，故．设，则．因为，所以，则．设，，则．因为当时，，所以函数在区间上单调递增．因为，，所以，故的取值范围为．19．2020年将全面建成小康社会，是党向人民作出的庄严承诺．目前脱贫攻坚已经进入冲刺阶段，某贫困县平原地区家庭与山区家庭的户数之比为．用分层抽样的方法，收集了100户家庭2019年家庭年收入数据（单位：万元），绘制的频率直方图如图所示，样本中家庭年收入超过1.5万元的有10户居住在山区．(1)完成2019年家庭年收入与地区的列联表，并判断是否有99.9％的把握认为该县2019年家庭年收入超过1.5万元与地区有关．超过1.5万元不超过1.5万元总计平原地区山区10总计附：，其中．0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.828(2)根据这100个样本数据，将频率视为概率．为了更好地落实党中央精准扶贫的决策，从2020年9月到12月，每月从该县2019年家庭年收入不超过1.5万元的家庭中选取4户作为“县长联系家庭”，记“县长联系家庭”是山区家庭的户数为，求X的分布列和数学期望．【答案】(1)列联表见解析，有99.9％的把握认为该县2019年家庭年收入超过1.5万元与地区有关；(2)分布列见解析，数学期望.【解析】（1）由频率分布直方图可知，收入超过1.5万元的家庭的频率为，所以收入超过1.5万元的家庭的户数有户，又因为平原地区家庭与山区家庭的户数之比为，抽取了100户，故平原地区的共有60户，山区地区的共有40户，又样本中家庭年收入超过1.5万元的有10户居住在山区，所以超过1.5万元的有40户居住在平原地区，不超过1.5万元的有20户住在平原地区，有30户住在山区地区，故2019年家庭年收入与地区的列联表如下：超过1.5万元不超过1.5万元总计平原地区402060山区103040总计5050100则，所以有99.9％的把握认为该县2019年家庭年收入超过1.5万元与地区有关．（2）由（1）可知，选1户家庭在平原的概率为，山区的概率为，X的可能取值为0，1，2，3，4，所以，，，，，所以X的分布列为：X01234P因为X服从二项分布，所以X的数学期望．20．如果，在四棱柱中，底面ABCD与侧面ABB1A1都是菱形，AB=4，，平面平面ABCD，E､F､M､G分别是的中点，N是AC上的点且AC=4AN（1）求证：平面EFG；（2）若四棱柱的体积为48，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】（1）连接与相交于,连接，故是中点，因为是中点，所以又,故,因此四边形为平行四边形，故,又AC=4AN，所以为中点，又为中点,所以平面平面,所以平面（2）则平面内过点作，垂足为，连接，因为平面平面，且平面平面,所以平面,易得是等边三角形，因此四棱柱的体积为，所以，即为的中点，，因而可知两两垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系；则,因为，则，故设平面的法向量为，则，取，则，设平面的法向量为，则，取，则，设二面角的平面角为，由图可知二面角的平面角为锐角，故，故二面角的余弦值为21．已知为抛物线的弦，点在抛物线的准线上.当过抛物线焦点且长度为时，中点到轴的距离为.（1）求抛物线的方程；（2）若为直角，求证：直线过定点.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】（1）设，则由题意得，解得，所以抛物线的方程为（2）直线过定点，证明如下：设，直线的方程：，将代入得，则，得，由韦达定理可得，所以，因为，所以，即，即，即，所以，所以直线过定点.22．已知函数，为的导数．（1）证明：在区间上存在唯一的极大值点；（2）讨论零点的个数．【答案】（1）证明见解析；（2）3个.【解析】（1）函数的定义域为，求导得，令，则，当时，，函数在上单调递增，在上无极值点，当时，在上都递减，即在上递减，而，则存在唯一，，当时，，当时，，因此函数在上单调递增，在上单调