第05讲圆柱的体积-2022-2023学年六年级下册数学寒假自学课

第05讲

圆柱的体积【知识梳理】1、圆柱体积计算公式的推导。圆柱的体积和拼成的长方体的体积相等，长方体的底面积等于圆柱的底面积，长方体的高等于圆柱的高。长方体的体积=底面积×高圆柱的体积=底面积×高如果V表示圆柱的体积，S表示圆柱的底面积，h表示圆柱的高，那么圆柱的体积计算公式用字母表示是V=Sh。【典例精讲】 例1一个圆柱形水箱的底面积是60平方分米，水面高度是水箱高度的96%，如果加入12升水正好装满。如果倒出12升水，水面的高是多少分米？【答案】12升＝12立方分米12÷60＝0.2（分米）0.2÷（1－96%）＝0.2÷4%＝5（分米）5－0.2－0.2＝4.8－0.2＝4.6（分米）答：水面的高是4.6分米。例2用铁皮制成一个底面直径为40厘米，高50厘米的圆柱形水桶（无盖）。（1）至少需要多少平方分米的铁皮？（得数保留整数）（2）如果水桶里盛满水，可以装水多少千克？（1升水重1千克）（得数保留整数）【分析】（1）求无盖水桶至少需要多少平方分米的铁皮，就是求圆柱的表面积，包括侧面积和一个底面积。圆柱的侧面积＝底面周长×高，圆柱的底面积＝πr2，据此计算出水桶的侧面积和底面积，再把它们加起来即可；（2）圆柱的容积＝底面积×高，据此求出水桶内水的体积，再乘每升水的质量即可求出这个水桶可以装水多少千克。【详解】（1）40厘米＝4分米50厘米＝5分米3.14×4×5＋3.14×（4÷2）2＝62.8＋12.56＝75.36（平方分米）≈76（平方分米）答：至少需要76平方分米的铁皮。（2）3.14×（4÷2）2×5×1＝3.14×20＝62.8（千克）≈62（千克）答：可以装水62千克。【点睛】本题考查圆柱表面积和体积的实际应用，根据圆柱的表面积和体积公式即可解答。要注意根据生活实际，把结果用“进一法”或“去尾法”取值。【过关检测】一、选择题1．如下图，一个内直径是4cm的胶水瓶里，当瓶子正放时，瓶内胶水高度为7cm，把瓶盖拧紧倒置放平，无胶水部分是圆柱形，高度是3cm，这个瓶子的容积是（

）毫升。A．62.8 B．125.6 C．87.92 D．94.22．把一根6米长的圆柱截成4小段后，表面积增加了48平方厘米，问原来这个圆柱的体积是（

）立方厘米。A．36 B．3600 C．48 D．48003．一个长方形的长是4厘米，宽是3厘米。以它的长为轴旋转一周所得到的圆柱的体积是（

）立方厘米。A．75.36 B．150.72 C．56.52 D．113.044．一个圆柱体的体积是5024立方厘米，如果它的底面半径和高分别扩大到原来的2倍，体积应是（

）立方厘米。A．100.48 B．200.96 C．40192 D．803.845．圆柱形水管的内直径是2分米，水在水管内的流速是每秒3分米，每秒流过的水有（

）升。A．3.14 B．6.28 C．9.42 D．12.56二、填空题6．把一个圆柱体平均切成若干份，拼成一个近似的长方体。这个长方体的底面积是17平方分米，高是8分米，圆柱体的体积是()立方分米。7．一个圆柱的底面积不变，高增加5cm，体积就增加62.8cm3，这个圆柱的底面积是()cm2。8．一个圆柱形水杯，从里面量得底面直径是8cm，高是10cm，这个水杯的容积是()mL。9．如图所示，把底面半径是4厘米，高是20厘米的圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体。这个近似长方体的长是()厘米，宽是()厘米，高是()厘米，底面积是()平方厘米，体积是()立方厘米。10．一个圆柱形容器，从里面量，底面直径是10cm，高是5cm，它的容积是()mL。三、计算题11．计算下面图形的表面积和体积。（单位：cm）四、解答题12．一个底面积150平方厘米的玻璃缸里有一块石头，如图所示，水深18厘米，拿出石块后水面下降到15厘米，这块石头体积是多少？13．爸爸的茶杯（如图）。（1）小红怕烫伤爸爸的手，特意在茶杯上贴了一个装饰带，这个装饰带的面积是多少？（2）这个茶杯的容积大约是多少毫升？（玻璃的厚度忽略不计）参考答案1．B【分析】瓶子不管怎么放置，瓶子空余部分的容积是不变的，先把瓶子倒置，让瓶子里空余的部分转化成规则的圆柱体，可以根据圆柱的体积公式求出倒置时瓶子空余部分的体积，再加上瓶子正放时有胶水部分圆柱的体积即可。【详解】瓶子底部半径为：4÷2＝2（cm）正放时有胶水部分的体积为：3.14×22×7＝3.14×4×7＝12.56×7＝87.92（cm3）倒置时空余部分体积为：3.14×22×3＝3.14×4×3＝12.56×3＝37.68（cm3）瓶子容积为：87.92＋37.68＝125.6（cm3）125.6cm3＝125.6毫升故答案为：B【点睛】这是一道关于圆柱体积计算的题目，理解前后两次瓶子的放置，理解无论怎么放，瓶子空余部分的体积一定。2．D【分析】由于圆柱截成4小段，相当于截了3次，截一次增加2个面，3次增加6个面，由于6个面的面积是48平方厘米，一个面的面积：48÷6＝8（平方厘米），由于1米＝100厘米，则圆柱的长是600厘米，根据圆柱的体积公式：底面积×高，即用8×600，算出结果即可。【详解】48÷（3×2）＝48÷6＝8（平方厘米）6米＝600厘米8×600＝4800（立方厘米）故答案为：D【点睛】本题主要考查立体图形的拼切以及圆柱的体积公式，熟练掌握圆柱的体积公式并灵活运用，要注意单位换算。3．D【分析】根据题意，以长方形的长为轴旋转一周所得到的圆柱，圆柱的底面半径是3厘米，圆柱的高是4厘米，根据圆柱的体积计算公式V＝Sh解答即可。【详解】3.14×32×4＝28.26×4＝113.04（立方厘米）故答案为：D【点睛】明确得到的圆柱体的半径和高的长度是解答本题的关键。4．C【分析】圆柱体的底面半径和高分别扩大到原来的2倍，则体积扩大到原来的2×2×2＝8倍，代入数据计算即可。【详解】5024×8＝40192（立方厘米）故答案为：C【点睛】数量掌握圆柱的体积公式并灵活应用积的变化规律是解题的关键。5．C【分析】每秒流过的水的体积＝水管的底面积×水的流速，据此解答。【详解】3.14×（2÷2）2×3＝3.14×3＝9.42（立方分米）9.42立方分米＝9.42升故答案为：C【点睛】此题考查了圆柱体积的实际应用，学会把生活中的问题转化成数学问题来解答。6．136【分析】把一个圆柱体平均切成若干份，拼成一个近似的长方体后，长方体的体积＝圆柱的体积。根据长方体的体积＝底面积×高求出答案。【详解】17×8＝136（立方分米）【点睛】此题的关键是对圆柱体体积推导过程的掌握，且熟悉长方体的的体积＝底面积×高。7．12.56【分析】根据题意可知，底面积不变，增加的体积就是增加高的部分体积，用增加的体积除以增加的高，就是圆柱的底面积，据此解答。【详解】62.8÷5＝12.56（cm2）【点睛】本题考查圆柱体积公式的应用，熟记公式。灵活运用。8．502.4【分析】根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，即可解答。【详解】3.14×（8÷2）2×10＝3.14×16×10＝50.24×10＝502.4（cm3）502.4cm3＝502.4mL【点睛】利用圆柱的体积公式进行解答，注意单位名数互换。9．12.56

4

20

50.24

1004.8【详解】把圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体。这个近似长方体的长等于圆柱的底面周长的一半，宽等于圆柱的底面半径，长方体底面积＝长×宽，高等于圆柱的高，体积不变等于圆柱的体积，然后根据长方体的体积公式V＝abh解答即可。【解答】把底面半径是4厘米，高是20厘米的圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体。这个近似长方体的长是：3.14×4×2÷2＝12.56×2÷2＝12.56（厘米）长方体的宽等于底面半径，所以长方体的宽为4厘米，高等于圆柱的高20厘米，底面积：12.56×4＝50.24（平方厘米）体积：50.24×20＝1004.8（立方厘米）【点睛】本题重点考查了圆柱体的体积推导公式的过程中的一些知识点：长方体的长等于圆柱的底面周长的一半，宽等于圆柱的底面半径，高等于圆柱的高。10．392.5【分析】根据圆柱的体积公式：底面积×高，代入数据，即可解答。【详解】3.14×（10÷2）2×5＝3.14×25×5＝78.5×5＝392.5（cm3）392.5cm3＝392.5mL【点睛】利用圆柱的体积公式进行解答，注意单位名数互换。11．表面积为87.92cm2；体积为62.8cm3【分析】根据公式：圆柱的表面积＝底面积×2＋侧面积，圆柱的体积＝底面积×高，把数据代入即可解答。【详解】圆柱的表面积：＝12.56×5＋3.14×4×2＝62.8＋12.56×2＝62.8＋25.12＝87.92（cm2）圆柱的体积：＝3.14×4×5＝12.56×5＝62.8（cm3）12．450立方厘米【分析】浸入物体体积＝容器底面积×水面上升或下降高度，据此代数解答即可。【详解】150×（18－15）＝150×3＝450（立方厘米）答：这块石头体积是450立方厘米。【点睛】此题主要考查学生对浸入物体体积的解答应用，掌握公式很重要。13．（1）157平方厘米（2）1177.5毫升【分析】（1）求装饰带的面积就是求底面直径是10厘米，高是5厘米的圆柱的侧面积，根据圆柱的侧面积公式：面积＝底面周长×高，代入数据，即可解答；（2）求这个茶杯的容积，就是求这个圆柱形茶杯的容积