4.4.3 不同函数增长的差异课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.4.3不同函数增长的差异学习目标1.了解指数函数、对数函数、幂函数(一次函数)的增长差异；2.理解对数增长、直线上升、指数爆炸；3.了解函数的建模过程.新课讲授在前面的学习中我们看到，一次函数与指数函数的增长方式存在很大差异.事实上，这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反映.因此，如果把握了不同函数增长方式的差异，那么就可以根据现实问题的增长情况，选择合适的函数模型刻画其变化规律.下面就来研究一次函数、指数函数和对数函数增长方式的差异.

不同函数的增长差异交点、区间、图象位置、增长速度不同函数的增长差异

不同函数的增长差异不同函数的增长差异归纳总结三种常见函数模型的增长速度比较

函数y=ax(a>1)y=logax(a>1)y=kx(k>0)在(0，+∞)上的增减性

图象的变化随x的增大逐渐变“陡”随x的增大逐渐趋于稳定增长速度不变形象描述指数爆炸对数增长直线上升增长速度y=ax(a>1)的增长速度最终会大大超过

的增长速度;总存在一个x0，当x>x0时，恒有

增长结果存在一个x0，当x>x0时，有

增函数

增函数

增函数

y=kx(k>0)logax<kxax>kx>logax例1(1)下列函数中，增长速度最快的是()A.y=2021x B.y=x2021C.y=log2021x D.y=2021x(2)四个自变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表:x151015202530y1226101226401626901y22321024327681.05×1063.36×1071.07×109y32102030405060y424.3225.3225.9076.3226.6446.907则关于x呈指数型函数变化的变量是

.

Ay2归纳总结(1)线性函数模型:线性函数模型y=kx+b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变.(2)指数函数模型:能用指数型函数f(x)=abx+c(a，b，c为常数，a>0，b>1)表达的函数模型，其增长特点是随着自变量x的增大，函数值增长的速度越来越快，常称之为“指数爆炸”.(3)对数函数模型:能用对数型函数f(x)=mlogax+n(m，n，a为常数，m>0，x>0，a>1)表达的函数模型，其增长的特点是开始阶段增长得较快，但随着x的逐渐增大，其函数值变化得越来越慢，常称之为“蜗牛式增长”.(4)幂函数模型:能用幂型函数f(x)=axα+b(a，b，α为常数，a≠0，α≠1)表达的函数模型，其增长情况由a和α的取值确定.常见的函数模型及增长特点例2

已知函数f(x)=2x和g(x)=x3的图象如图，设两个函数的图象相交于点A(x1，y1)和B(x2，y2)，且x1<x2.(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数;(2)若x1∈[a，a+1]，x2∈[b，b+1]，且a，b∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}，指出a，b的值，并说明理由.解:(1)根据指数函数与幂函数的增长速度知:C1对应函数g(x)=x3，C2对应函数f(x)=2x.(2)依题意知x1和x2是使两个函数的函数值相等的自变量x的值.当x<x1时，2x>x3，即f(x)>g(x);当x1<x<x2时，f(x)<g(x);当x>x2时，f(x)>g(x).因为f(1)=2，g(1)=1，f(2)=22=4，g(2)=23=8，所以x1∈[1，2]，即a=1.又因为f(8)=28=256，g(8)=83=512，f(8)<g(8)，f(9)=29=512，g(9)=93=729，f(9)<g(9)，f(10)=210=1024，g(10)=103=1000，f(10)>g(10)，所以x2∈[9，10]，即b=9.综上可知，a=1，b=9.练1.函数f(x)＝lgx，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示.(1)试根据函数的增长差异指出C1，C2分别对应的函数；(2)以两图象的交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较.解:(1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1；C2对应的函数为f(x)＝lgx.(2)当x<x1时，g(x)>f(x)；当x1<x<x2时，f(x)>g(x)；当x>x2时，g(x)>f(x)；当x＝x1或x＝x2时，f(x)＝g(x).例3

汽车制造商在2022年年初公告：公司计划2022年的生产目标为43万辆.已知该公司近三年的汽车生产量如表所示：年份(年)201920202021产量(万辆)81830如果我们分别将2019，2020，2021，2022定义为第一、二、三、四年.现在有两个函数模型：二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，指数型函数模型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)，哪个模型能更好地反映该公司年产量y与年份x的关系？解：建立年产量y与年份x的函数，可知函数图象必过点(1，8)，(2，18)，(3，30).①构造二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将点的坐标代入，则f(x)＝x2＋7x，故f(4)＝44，与计划误差为1万辆.②构造指数型函数模型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)，与计划误差为1.4万辆.由①②可得，二次函数模型f(x)＝x2＋7x能更好地反映该公司年产量y与年份x的关系.练2.某债券市场发行三种债券，A种面值为100元，一年到期本息和为103元;B种面值为50元，半年到期本息和为51.4元;C种面值为100元，但买入价为97元，一年到期本息和为100元.作为购买者，分析这三种债券的收益，如果只能购买其中的一种债券，你认为应购买哪种?课堂总结三种函数模型：线性函数增长模型、指数型函数增长模型、对数型函数增长模型的增长差异.当堂检测1.某公司为了适应市场需求对产品结构作了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用(

)A.一次函数 B.幂型函数C.指数型函数 D.对数型函数2.函数y=x2与函数y=l