2024届高考数学训练题

2024年高考数学考前训练题

1.在直三棱柱A8C・A8C中，NA8C=90°,AB=BC=AA\=\.

(1)求异面直线〃I。与AC所成的角的大小；

(2)求直线4c与平面A8C所成角.

【分析】(1)由用可知NACB即为异面直线BiCi与4C所成的角，在RtAABC

中即可求出NAC8的大小.

(2)由AMI平面AM。可知即为有线AiC与平面ARC所成角,在Rt/\,4iAC

中求出cosZAiCA的值即可.

【解答】解：(1)，：B\C\〃BC,

.•・NAC8即为异面直线B\C\与AC所成的角，

VZABC=90°,AB=BC=\,

•••NAC8=45°,

即异面直线8iCi与AC所成的角的大小为45°.

(2),・,直三棱柱/WC-4BC,

，AiA_L平面A3CO,

AZA1CA即为直线AiC与平面ABC所成角，

在Rt^AiAC中，A\A=\,AC=\[2,：.A\C=y]ArA2+AC2=V3,

cosZ4iCA=点=当，

V6

/.ZAiCA=arccos-，

3

V6

即直线AC与平面48c所成的角为arccosy.

【点评】本题主要考查了异面直线的夹角，考查了直线与平面所成角，是中档题.

2.如图，在四棱锥P-ABC。中，AB//CD,且NB4P=NCDP=90°.

(1)证明：平面％8_1_平面力。：

(2)若用=PD=A4=OC=1,NA”O=90'，求二面角P・AC-。的大小.

【分析】（I）利用线面垂直的判定定理证明平面外根据面面垂直的判定定理证

明即可;

（2）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数

法求出平面%C的法向量，由向量的夹角公式求解即可.

【解答】（1）证明：由己知N84P=NCOP=90°,

所以A8_LAP,CDLPD,

由于A8〃C。，故AB_PD,

又APCPD=P.AP,PDu平面外。，

从而AB_L平面PAD,

又48u平面B4B,

所以平面力B_L平面朋D；

（2）解：在平面"。内作P”_L4。，垂足为“，

由（1）可知，A8_L平而以。，PFu平面雨Q,

所以夕产_1_八“，又人"n4Q=A,AB,人。u平面八8c。，

所以PFJ_平面八ACD,

以点尸为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，

因为隙=PO=A8=OC=1,NAPO=90°,

则力。=y/PA2+PD2=V2,

所以尸（0,0,0）,&孝，0,0）,P（0,0,孝），C（一孝，1,0）,0（一孝，0,0），

故日=（孝,0,一多，CA=（V2,-1,0）,DA=（V2,0,0）,

设平面PAC的法向量为］=（%,y,z）,

则”『，BP{TX-TZ=0,

-n=0IV2x—y=0

令x=l,则丁=或，z=I,

所以71=(1,V2,1),

又平面4BCD的一个法向量为薪=(0,0,1),

一、日•南11

所以cosVn,m>=二J-“二=

|n||7n|v14-2+lxl2

因为二面角0-AC-O为锐二面角,

所以二面角P-4C-Q的大小为二.

【点评】本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面垂直的判定定理和面面垂直的判

定定理的应用，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将

空间角问题转化为空间向最问题进行研究，属于中档题.

3.如图，四棱锥4-4CDE是由直角△A8C沿其中位线。石翻折而成，且NA8C=*PC

=2*,设48=1,AC=3.

(I)若NA£B=m，求二面角4-3。-P的余弦值；

(II)若二面角C-AD-E的大小为、，求三棱锥P-A'ED的体积.

6

【分析】(I)因为NA丛二条则△AE4为等边三角形，取分别C。的中点。，F,

连接0"，以点。为坐标原点，分别以08,OF,OA'为x轴，y轴，z轴，再求两平面

的法向最，再用向量法求二面角的大小.

(II)先作出二面角C-HD-E的补补角，即二面角A-A'O-E的大小，然后多次利

用直角三角形的边的关系求出点4'到面BCOE的距离，再求P到面8cOE的距离.

【解答】解：(I)因为NA^=!则”为等边三角形,

取分别8E,CQ的中点。，F,连接。凡

以点0为坐标原点，分别以08，OF,0A'为x轴，y轴，z轴,

建立空间直角坐标系，如图：

则竭,0,0）,C&2vL0）,4（0,0,空），0（-卜V2,0）,

由题意可知，OP=0C+OAr,所以，P（金，—•第），

所以8/）=（-2，V2/0）,A'B=»0,—字）,BP=（-看,—^―,第）'

设平面A'B。的一个法向量为五=Qi，%,zj,

BD-=U1+"^丫1+0=0.

所以T：，即｛12,不妨令％=逐，所以%=（2份,

4B,元=0+0-宁Z]=0

M,2&），

设平面PBD的法向量点=(%2，丫2，Z2)，

(^n-c+^2y2+0=0T

所以.•]二(),即《2，不妨令力=8，所以九2二(2灰，百，

(8P•几=0(_然+竽丫2+年Z2=0

-2V2),

斫以…V：">_EE_2v,r6x2v^6+/3x^+2/2x（-2s/2）_19

所以COSj”一时-（限⑥2+（、③2+Q下）2F

19

所以二面角A：皿-的余弦值还;

(II)过点£作£M_LA'。于M,

再过点"在平面AA'。内作A'。的垂线MN交A4'于N,连接NE.

NNME为二面角E・A'。-A的平面角，

•・•二面角。・A'。-E的大小为三，：./NME=£

66

在RlAABC中，由4B=1,AC=3,所以8。=26，DE=V2,A'E=AE=

由折又叠知OEJ_A4'E,所以DELEN,

由作辅助线过程程知4'力_LiffiMNE,所以NE_L4'D,又A'DQDE=D,

所以EN_LA'DE,所以EN_LA'E,

O11万

由RtAVED,容易求得A'D=5，又一4D・EM=-4E・D£所以EM=浮,

2223

在Rt&WNE中，又NNME屋,所以七2?x字=等,

在RtM£N中，由勾股定理得A'2等'所以sf'E=谧,"的£=焉'

所以s出/AE&=2x簿x=考普'

6\/6

所以4'到面8CDE的距离为一,，PC=2P