2024-2025学年甘肃省兰州市兰州大学附中高一（上）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年甘肃省兰州大学附中高一（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|−1<x<1}，B={x|0≤x≤2}，则A∪B=(

)A.{x|0≤x<1} B.{x|−1<x≤2} C.{x|1<x≤2} D.{x|0<x<1}2.已知命题p：∀x∈R，x2>0，命题q：∃x>0，x3=x.A.p和q都是真命题 B.¬p和q都是真命题

C.p和¬q都是真命题 D.¬p和¬q都是真命题3.地球表面被很厚的大气层包围，大气层的厚度大约在1000km以上，整个大气层高度不同表现出不同的特点，分为对流层、平流层、中间层、暖层和散逸层，再上面就是星际空间了.平流层是指地面以上10km到50km的区域，下述不等式中，x能表示平流层高度的是(

)A.|x−30|<20 B.|x+30|<20 C.|x+10|<50 D.|x−10|<504.已知函数f(x)=1,x<2x−1,2≤x<3x2−7,x≥3，且f(A.1 B.2 C.3 D.65.已知正数x、y满足(x−1)(y−2)=2，不等式3x+2y>m恒成立，则实数m的取值范围是(

)A.(−∞,4+62) B.(6+42,+∞)6.已知函数f(x)=x2−ax+5,x≤1ax,x>1满足对任意实数x1≠A.(0,3] B.[2,+∞) C.(0,+∞) D.[2,3]7.世界上海拔最高的天然“心形湖”位于四川省康定县的情歌木格措景区，被誉为藏在川西的“天空之心”.这个湖泊位于青藏高原，呈现出明亮的蓝绿色，水质清澈宛如明镜.湖泊周围环抱着雪山和梅花峰，景色优美迷人.如图1是这个“心形湖”的轮廓，其形状如一颗爱心.图2是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在x轴上方的图象对应的函数解析式可能为(

)A.y=|x|4−x2 B.y=x4−8.定义在R上的奇函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，且f(13)=0，则不等式f(x)xA.(−2,−13]∪(2,+∞)二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列四个图形各表示两个变量x，y的对应关系，其中表示y是x的函数关系的是(

)A. B.

C. D.10.下列说法正确的是(

)A.已知−1≤x+y≤1，1≤x−y≤3，则2≤3x−2y≤8

B.命题“∃x∈R，1<f(x)≤2”的否定是“∀x∈R，f(x)≤1或f(x)>2”

C.函数f(1−x)的定义域为(−1,2)，则函数f(2+x)的定义域为(−3,0)

D.若a>b>0，c>0，则b+c11.已知函数f(x)的定义域为(−1,1),f(x)+f(y)=f(x+y1+xy)，且当x∈(0,1)时，f(x)>0，则下列说法正确的是A.f(x)是奇函数

B.f(x)为增函数

C.若实数a满足不等式f(2a)+f(a−1)>0，则a的取值范围为(13,+∞)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.函数f(x)=2x−1−(4x−313.已知方程x2+(2m−1)x+4−2m=0的两根一个比2大另一个比2小，则实数m的范围是______．14.俄国数学家切比雪夫是研究直线逼近函数理论的先驱.对定义在非空集合I上的函数f(x)，以及函数g(x)=kx+m(k,m∈R)，切比雪夫将函数y=|f(x)−g(x)|，x∈I的最大值称为函数f(x)与g(x)的“偏差”.若f(x)=x2(x∈[0,4])，g(x)=4x+m，则函数f(x)与g(x)的“偏差”取得最小值时，m四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知全集U=R，集合A={x|x−5x−2<0}，B={x|a−1<x<a+1,a∈R}．

(1)当a=2时，求∁UA，A∩∁UB；

(2)若A∩B=⌀，求a的取值范围．

(3)若x∈A是x∈B的_____条件，求实数a的取值集合．

请从下面两个条件中选择一个，填在上面横线中，使得a16.(本小题15分)

为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似的表示为：y=12x2−200x+80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．

(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？17.(本小题15分)

已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=2xx+3．

(1)当x<0时，求f(x)的解析式；

(2)判断f(x)在[0,+∞)上的单调性，并用定义证明；

(3)若f(x2+1)+f(2+ax)≥0对于18.(本小题17分)

已知函数f(x)=mx2−(2m+1)x+3，m∈R．

(1)若函数f(x)在(0,+∞)上单调递减，求m的取值范围．

(2)讨论函数f(x)的零点个数．

(3)解关于x的不等式f(x)≤mx19.(本小题17分)

已知函数f(x)=2x2+mx+n的图象过点(0,−1)，且满足f(−1)=f(2)．

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)求函数f(x)在[a,a+2]上的最大值ℎ(a)；

(3)若x0满足φ(x0)=x0，则称x0为函数y=φ(x)的不动点.若函数g(x)=f(x)−tx+t有两个不相等的不动点x1，x2参考答案1.B

2.B

3.A

4.C

5.C

6.D

7.C

8.D

9.BC

10.ABC

11.ABD

12.{x|x≥12，且13.(−∞,−3)

14.−2

15.解：(1)因为A={x|x−5x−2<0}={x|2<x<5}，

当a=2时，B={x|a−1<x<a+1,a∈R}={x|1<x<3}，

所以∁UA={x|x≤2或x≥5}，∁UB={x|x≤1或x≥3}，

所以A∩∁UB={x|3≤x<5}．

(2)因为A∩B=⌀，

所以a−1≥5或a+1≤2，

所以a

的取值范围为{a|a≤1或a≥6}．

(3)若选择①必要不充分，则B⫋A，所以a−1≥2a+1≤5，且等号不会同时成立．

解得3≤a≤4，

故a的范围为{a|3≤a≤4}．

若选择②充分不必要，则A⫋B，所以16.解：(1)由题意可知，

二氧化碳的每吨平均处理成本为：yx=12x+80000x−200

≥212x⋅80000x−200=200，

当且仅当12x=80000x，即x=400时，

才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．

(2)设该单位每月获利为S，

则S=100x−y (1017.解：(1)当x>0时，

f(x)=2xx+3，

当x<0时，−x>0，

f(−x)=−2x−x+3=2xx−3，

又因为f(x)为奇函数，则f(−x)=−f(x)，则f(x)=−2xx−3．

(2)函数f(x)在[0,+∞)单调递增，

证明如下：f(x)=2xx+3=2(x+3)−6x+3=2−6x+3

设任意的x1，x2∈[0,+∞)，且x1<x2，

f(x1)−f(x2)=2−6x1+3−(2−6x2+3)=−6x1+3+6x2+3=6(x1−x2)(x1+3)(x2+3)，

因为x1，x2∈[0,+∞)，且x1<x2，x1−x2<0，(x1+3)(x218.解：(1)①当m=0时，f(x)=−x+3在(0,+∞)上单调递减，符合题意；

②当m>0时，f(x)对称轴为x=2m+12m，开口向上，在(2m+12m,+∞)上单调递增，不合题意；

③当m<0时，f(x)在(2m+12m,+∞)上单调递减，所以2m+12m≤0，解得m≥−12，所以−12≤m<0．

综上，m的取值范围m∈[−12,0]．

(2)当m=0时，f(x)=−x+3，函数f(x)有一个零点；

当m≠0时，Δ=(2m+1)2−12m=4(m−1)2−3，

①当Δ<0时，解得1−32<m<1+32，

所以当m∈(1−32,0),(0,1+32)时，函数f(x)无零点；

②当Δ=0时，解得m=1+32或m=1−32，

所以当m=1−32或m=1+32时，函数f(x)有一个零点；

③当Δ>0时，解得m<1−32或m>1+32，

所以当m∈(−∞,1−32),(1+32,+∞)时，函数f(x)有两个零点；

综上，当m∈(1−32,0),(0,1+32)时，函数f(x)无零点；

当m=0或m=1−32或m=1+32时，函数f(x)有一个零点；

当m∈(−∞,1−32),(1+32,+∞)时，函数f(x)有两个零点．

(3)当m=0时，f(x)=−x+3≤0，解得x≥319.解：(1)因为函数f(x)=2x2+mx+n的图象过点(0,−1)，所以f(0)=n=−1，

又因为f(−1)=f(2)，所以−1+22=−m4，解得m=−2，

所以f(x)=2x2−2x−1；

(2)由f(x)=2x2−2x−1=2(x−12)2−32，x∈[a,a+2]，

当a+2≤12时，即a≤−32，

函数f(x)在[a,a+2]单调递减，所以[f(x)]max=f(a)=2a2−2a−1；

当a≥12时，函数f(x)在[a,a+2]单调递增，所以[f(x)]max=f(a+2)=2a2+6a+3；

当a+1<12a+2>12时，即−32<a<−12，函数f(x)在[a,12]单调递