2024-2025学年新教材高中数学课后素养落实十二2.2.3两条直线的位置关系含解析新人教B版选择性必修第一册

PAGE课后素养落实(十二)两条直线的位置关系(建议用时：40分钟)一、选择题1．直线l1：2x＋3y－2＝0，l2：2x＋3y＋2＝0的位置关系是()A．垂直B．平行C．相交D．重合B[∵A1B2－A2B1＝0且B1C2≠B2C1，∴l1∥l2．]2．已知M(0，2)，N(－2，2)，则直线MN与直线x＝0的位置关系是()A．平行B．垂直C．重合D．相交B[直线MN的斜率为kMN＝0，x＝0的倾斜角为90°，所以直线x＝0与直线MN垂直．]3．已知直线2ax＋y－1＝0与直线(a－1)x＋ay＋1＝0垂直，则实数a的值等于()A．eq\f(1,2)B．eq\f(3,2)C．0或eq\f(1,2)D．0或eq\f(3,2)C[由已知，得2a(a－1)＋a＝0，∴a＝0或a＝eq\f(1,2)．]4．直线x＋a2y＋6＝0和直线(a－2)x＋3ay＋2a＝0没有公共点，则a的值是()A．0或3 B．－1或3C．0或－1或3 D．0或－1D[两直线无公共点，即两直线平行，∴1×3a－a2(a－2)＝0，∴a＝0或－1或3，经检验知a＝3时两直线重合．∴a＝0或－1．]5．直线l过点(－1，2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程为()A．2x－3y＋5＝0 B．3x＋2y－1＝0C．3x＋2y＋7＝0 D．2x－3y＋8＝0B[与2x－3y＋4＝0垂直的直线方程为3x＋2y＋m＝0，将(－1，2)代入直线方程得m＝－1．]二、填空题6．过点(1，0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是________．x－2y－1＝0[与直线x－2y－2＝0平行的直线方程设为x－2y＋C＝0，将点(1，0)代入得C＝－1，故直线方程为x－2y－1＝0．]7．已知直线mx＋4y－2＝0与2x－5y＋n＝0相互垂直，垂足为(1，p)，则m＋n－p＝________．0[由两条直线垂直，得k1·k2＝－1，即－eq\f(m,4)×eq\f(2,5)＝－1，∴m＝10，直线为10x＋4y－2＝0，又∵垂足为(1，p)，故p＝－2，∴垂足为(1，－2)，代入2x－5y＋n＝0，得n＝－12，故m＋n－p＝10＋(－12)－(－2)＝0．]8．已知直线l的倾斜角为135°，直线l1经过点A(3，2)，B(a，－1)，且直线l1与l垂直，直线l2：2x＋by＋1＝0与直线l1平行，则a＋b＝________．－2[依题意，知直线l的斜率k＝tan135°＝－1，则直线l1的斜率为1，于是有eq\f(2＋1,3－a)＝1，所以a＝0．又直线l2与l1平行，所以1＝－eq\f(2,b)，即b＝－2，所以a＋b＝－2．]三、解答题9．已知A(1，－1)，B(2，2)，C(3，0)三点，求点D的坐标，使CD⊥AB，且BC∥AD．[解]设点D的坐标为(x，y)，由题意知直线CD，AD的斜率都存在．因为kAB＝eq\f(2－－1,2－1)＝3，kCD＝eq\f(y,x－3)且CD⊥AB，所以kAB·kCD＝－1，即3×eq\f(y,x－3)＝－1．①因为kBC＝eq\f(2－0,2－3)＝－2，kAD＝eq\f(y＋1,x－1)且BC∥AD，所以kBC＝kAD，即－2＝eq\f(y＋1,x－1)．②由①②可得，x＝0，y＝1，所以点D的坐标为(0，1)．10．已知在▱ABCD中，A(1，2)，B(5，0)，C(3，4)．(1)求点D的坐标；(2)试判定▱ABCD是否为菱形？[解](1)设点D坐标为(a，b)，因为四边形ABCD为平行四边形，所以kAB＝kCD，kAD＝kBC，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(0－2,5－1)＝\f(b－4,a－3)，,\f(b－2,a－1)＝\f(4－0,3－5)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝6，))所以D(－1，6)．(2)因为kAC＝eq\f(4－2,3－1)＝1，kBD＝eq\f(6－0,－1－5)＝－1，所以kAC·kBD＝－1，所以AC⊥BD，所以▱ABCD为菱形．1．(多选题)下列说法错误的是()A．若直线l1与l2倾斜角相等，则l1∥l2B．若直线l1⊥l2，则k1k2＝－1C．若直线的斜率不存在，则这条直线肯定平行于y轴D．若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行ABC[直线l1与直线l2的倾斜角相等，l1与l2可能平行也可能重合，故A错；l1⊥l2，它们中可能有斜率不存在的状况，故k1k2＝－1错误；若直线的斜率不存在，这条直线可能平行于y轴或与y轴重合，故C错；两直线斜率不相等，它们肯定不平行，故D正确．]2．若直线l：y＝kx－eq\r(3)与直线x＋y－3＝0相交，且交点在第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是()A．(0°，60°) B．(30°，60°)C．(30°，90°) D．(60°，90°)C[联立方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－\r(3)，,x＋y－3＝0))得交点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3＋\r(3),1＋k)，\f(3k－\r(3),1＋k)))，由交点在第一象限知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3＋\r(3),1＋k)>0，,\f(3k－\r(3),1＋k)>0，))解得k>eq\f(\r(3),3)，即tanα>eq\f(\r(3),3)，α是锐角，故30°<α<90°，故选C．]3．设点P(2，5)关于直线x＋y＝1的对称点为Q，则Q点的坐标为________，过Q且与直线x＋y－3＝0垂直的直线方程为________．(－4，－1)x－y＋3＝0[设Q(a，b)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b－5,a－2)×－1＝－1，,\f(a＋2,2)＋\f(b＋5,2)＝1，))解得a＝－4，b＝－1．即对称点坐标为Q(－4，－1)，设与直线x＋y－3＝0垂直的直线方程为x－y＋C＝0，将(－4，－1)代入上式得C＝3，所以直线方程为x－y＋3＝0．]4．已知两点A(2，0)，B(3，4)，直线l过点B，且交y轴于点C(0，y)，O是坐标原点，有O，A，B，C四点共圆，那么y的值是________．eq\f(19,4)[由于O，A，B，C四点共圆，CO⊥OA，所以AB⊥BC，∴kAB·kBC＝－1，即eq\f(4－0,3－2)×eq\f(4－y,3－0)＝－1，解得y＝eq\f(19,4)．]一个矩形花园里要铺两条笔直的小路，已知矩形花园长AD＝5m，宽AB＝3m，其中一条小路定为AC，另一条小路过点D，问如何在BC上找到一点M，使得两条小路AC与DM相互垂直？[解]法一：如图所示，以点B为坐标原点，BC，BA所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，由AD＝5m，AB＝3m，可得C(5，0)，D(5，3)，A(0，3)．直线AC的方程为eq\f(x,5)＋eq\f(y,3)＝1，即3x＋5y－15＝0，设与直线AC垂直的直线的方程为5x－3y＋t＝0，把D(5，3)代入得t＝－25＋9＝－16，即过点D(5，3)且与直线AC垂直的直线的方程为5x－3y－16＝0．令y＝0，得x＝eq\f(16,5)＝3.2，即BM＝3.2m时，两条小路AC与DM相互垂直．法二：如图所示，以点B为坐