2024-2025学年新教材高中数学第3章不等式3.3.2从函数观点看一元二次不等式课时素养评价含解析苏教版必修第一册

PAGE课时素养评价十四从函数观点看一元二次不等式(15分钟30分)1.下列四个不等式中解集为R的是 ()A.-x2+x+1≥0B.x2-2QUOTEx+QUOTE>0C.2x2+3x-4<0D.x2+6x+10>0【解析】选D.对于D项,不等式可化为QUOTE>-1,所以x2+6x+10>0的解集为R,其他不等式相应的方程的判别式均大于0,故解集不为R.2.关于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集为(x1,x2),且x2-x1=15,则a=()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.原不等式等价于(x+2a)(x-4a)<0,a>0,所以不等式的解集为(-2a,4a),所以x2-x1=4a-(-2a)=15,解得a=QUOTE.3.若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y=3000+20x-0.1x2(0<x<240),若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是 ()A.100台 B.120台C.150台 D.180台【解析】选C.y-25x=-0.1x2-5x+3000≤0,即x2+50x-30000≥0,解得x≥150或x≤-200(舍去).故生产者不亏本的最低产量是150台.4.若二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象与x轴的两个交点为(-1,0)和(3,0),则不等式ax2+bx+c<0的解集是________.

【解析】依据二次函数的图象知所求不等式的解集为(-∞,-1)∪(3,+∞).答案:(-∞,-1)∪(3,+∞)5.若不等式x2-4x+3m<0的解集为空集,则实数m的取值范围是________.

【解析】由题意,知x2-4x+3m≥0对一切实数x恒成立,所以Δ=(-4)2-4×3m≤0,解得m≥QUOTE.答案:QUOTE6.在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分),求矩形花园一边长x(单位:m)的取值范围.【解析】矩形的一边长为xm,设另一边长为ym,则由三角形相像知QUOTE=QUOTE,所以y=40-x.因为xy≥300,所以x(40-x)≥300,所以x2-40x+300≤0,所以10≤x≤30.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.在R上定义运算☉:a☉b=ab+2a+b,则满意x☉(x-2)<0的实数x的取值范围为 ()A.(0,2) B.(-2,1)C.(-∞,-2)∪(1,+∞) D.(-1,2)【解题指南】先利用☉运算的法则变形,再解不等式.【解析】选B.由a☉b=ab+2a+b,得x☉(x-2)=x(x-2)+2x+x-2=x2+x-2<0,所以-2<x<1.2.若不等式ax2-x-c>0的解集为(-2,1),则函数y=ax2-x-c的图象为 ()【解析】选B.因为不等式的解集为(-2,1),所以a<0,解除C、D,又与x轴交点的横坐标为-2,1,所以解除A.3.若不等式x2-2x+5≥a2-3a对随意实数x恒成立,则实数a的取值范围为()A.[-1,4]B.(-∞,-2]∪[5,+∞)C.(-∞,-1]∪[4,+∞)D.[-2,5]【解析】选A.x2-2x+5=(x-1)2+4的最小值为4,所以x2-2x+5≥a2-3a对随意实数x恒成立,只需a2-3a≤4,解得-1≤a≤4.【补偿训练】函数y=QUOTE对一切x∈R恒成立,则实数m的取值范围是()A.m>2 B.m<2C.m<0或m>2 D.0≤m≤2【解析】选D.由题意知x2+mx+QUOTE≥0对一切x∈R恒成立,所以Δ=m2-2m≤0,所以0≤m≤2.4.某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆,出厂价为12万元/辆,年销售量为10000辆.本年度为适应市场需求,安排提高产品质量,适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1),则出厂价相应提高比例为0.75x,同时预料年销售量增加比例为0.6x,已知年利润=(出厂价-投入成本)×年销售量.为使本年度的年利润比上年度有所增加,则投入成本增加的比例x的范围是 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.由题意,设本年度年利润为y,则y=[(1+0.75x)×12-(1+x)×10]×(1+0.6x)×10000=-6000x2+2000x+20000,即y=-6000x2+2000x+20000(0<x<1).上年度利润为(12-10)×10000=20000.所以y-20000>0,即-6000x2+2000x>0,所以0<x<QUOTE,即x的范围为QUOTE.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.下面所给关于x的不等式,其中肯定为一元二次不等式的是 ()A.3x+4<0 B.x2+mx-1>0C.ax2+4x-7>0 D.x2<0【解析】选BD.依据一元二次不等式的定义以及特征可判定A肯定不是,C不肯定是,B,D肯定是.6.下列结论错误的是 ()A.若方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根,则不等式ax2+bx+c>0的解集为RB.不等式ax2+bx+c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ=b2-4ac≤0C.若关于x的不等式ax2+x-1≤0的解集为R,则a≤-QUOTED.不等式QUOTE>1的解为x<1【解析】选ABD.A选项中,只有a>0时才成立;B选项当a=b=0,c≤0时也成立;D选项应为0<x<1.三、填空题(每小题5分,共10分)7.某地每年销售木材约20万立方米,每立方米价格为2400元.为了削减木材消耗,确定按销售收入的t%征收木材税,这样每年的木材销售量削减QUOTEt万立方米.为了既削减木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元,则t的取值范围是________.

【解析】设按销售收入的t%征收木材税时,税金收入为y万元,则y=2400QUOTE×t%=60(8t-t2).令y≥900,即60(8t-t2)≥900,解得3≤t≤5.答案:[3,5]8.已知关于x的不等式ax+b>0的解集是(1,+∞),则QUOTE=________,关于x的不等式QUOTE>0的解集是________.

【解析】依题意,a>0且-QUOTE=1,所以QUOTE=-1;不等式QUOTE>0可变形为(ax-b)(x-2)>0,即QUOTE(x-2)>0,所以(x+1)(x-2)>0,故x>2或x<-1.答案:-1{x|x<-1或x>2}四、解答题(每小题10分,共20分)9.已知不等式ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b}.(1)求a,b的值;(2)解不等式ax2-(ac+b)x+bc<0.【解析】(1)因为不等式ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b},所以x1=1与x2=b是方程ax2-3x+2=0的两个实数根,b>1且a>0.由根与系数的关系,得QUOTE解得QUOTE(2)由(1)知不等式ax2-(ac+b)x+bc<0可化为x2-(2+c)x+2c<0,即(x-2)(x-c)<0.当c>2时,不等式(x-2)(x-c)<0的解集为{x|2<x<c};当c<2时,不等式(x-2)(x-c)<0的解集为{x|c<x<2};当c=2时,不等式(x-2)(x-c)<0的解集为.10.某城市上年度电价为0.80元/千瓦时,年用电量为a千瓦时.本年度安排将电价降到0.55元/千瓦时～0.75元/千瓦时,而用户期望电价为0.40元/千瓦时(该市电力成本价为0.30元/千瓦时).经测算,下调电价后,该城市新增用电量与实际电价和用户期望电价之差成反比,比例系数为0.2a.试问当地电价最低为多少时,可保证电力部门的收益比上年度至少增加20%?【解析】设新电价为x元/千瓦时(0.55≤x≤0.75),则新增用电量为QUOTE千瓦时.依题意,有(a+QUOTE)(x-0.3)≥a(0.8-0.3)(1+20%),即(x-0.2)(x-0.3)≥0.6(x-0.4),整理得x2-1.1x+0.3≥0,解此不等式,得x≥0.6或x≤0.5,又0.55≤x≤0.75,所以0.6≤x≤0.75,因此xmin=0.6,即电价最低为0.6元/千瓦时,可保证电力部门的收益比上年度至少增加20%.1.对于实数x,当且仅当n≤x<n+1(n∈N*)时,[x]=n,则关于x的不等式4[x]2-36[x]+45<0的解集为________.

【解析】由4[x]2-36[x]+45<0,得QUOTE<[x]<QUOTE,又当且仅当n≤x<n+1(n∈N*)时,[x]=n,所以[x]=2,3,4,5,6,7,所以所求不等式的解集为[2,8).答案:[2,8)2.当0≤x≤2时不等式QUOTE(2t-t2)≤x2-3x+2≤3-