2024-2025学年高中数学第二章基本初等函数Ⅰ2.1指数函数2.1.1第2课时指数幂及运算讲义教案新人教A版必修1

PAGE第2课时指数幂及运算学习目标核心素养1．理解分数指数幂的含义，驾驭根式与分数指数幂的互化．(重点、难点)2．驾驭实数指数幂的运算性质，并能对代数式进行化简或求值．(重点)1．通过分数指数幂、运算性质的推导，培育逻辑推理素养．2．借助指数幂的运算性质对代数式化简或求值，提升数学运算素养.1．分数指数幂的意义分数指数幂正分数指数幂规定：aeq\s\up8(eq\f(m,n))＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)负分数指数幂规定：aeq\s\up8(－eq\f(m,n))＝eq\f(1,aeq\s\up8(eq\f(m,n)))＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)0的分数指数幂0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义思索：在分数指数幂与根式的互化公式aeq\s\up8(eq\f(m,n))＝eq\r(n,am)中，为什么必需规定a>0?提示：①若a＝0,0的正分数指数幂恒等于0，即eq\r(n,am)＝aeq\s\up8(eq\f(m,n))＝0，无探讨价值．②若a<0，aeq\s\up8(eq\f(m,n))＝eq\r(n,am)不肯定成立，如(－2)eq\s\up14(eq\f(3,2))＝eq\r(2,－23)无意义，故为了避开上述状况规定了a>0.2．有理数指数幂的运算性质,(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)．(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)．(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．3．无理数指数幂一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．1．下列运算结果中，正确的是()A．a2a3＝a5 B．(－a2)3＝(－a3)C．(eq\r(a)－1)0＝1 D．(－a2)3＝a6A[a2a3＝a2＋3＝a5；(－a2)3＝－a6≠(－a3)2＝a6；(eq\r(a)－1)0＝1，若成立，须要满意a≠1，故选A.]2．4eq\s\up14(eq\f(2,5))等于()A．25B.eq\r(5,16)C.eq\r(4eq\s\up14(eq\f(1,5)))D.eq\r(5,4)B[4eq\s\up14(eq\f(2,5))＝eq\r(5,42)＝eq\r(5,16)，故选B.]3．已知a>0，则aeq\s\up14(－eq\f(2,3))等于()A.eq\r(a3) B.eq\f(1,\r(3,a2))C.eq\f(1,\r(a3)) D．－eq\r(3,a2)B[aeq\s\up14(－eq\f(2,3))＝eq\f(1,aeq\s\up14(eq\f(2,3)))＝eq\f(1,\r(3,a2)).]4．(meq\s\up14(eq\f(1,2)))4＋(－1)0＝________.m2＋1[(meq\s\up14(eq\f(1,2)))4＋(－1)0＝m2＋1.]根式与分数指数幂的互化【例1】(1)(多选题)下列各式中成立的是()A.eq\r(12,－34)＝eq\r(3,－3)B.eq\r(4,x3＋y3)＝(x＋y)eq\s\up14(eq\f(3,4))C.eq\r(\r(3,9))＝eq\r(3,3)D.eq\r(a\r(a))＝aeq\s\up14(eq\f(3,4))(2)已知xeq\s\up14(－eq\f(2,3))＝4，则x等于()A．±eq\f(1,8) B．±8C.eq\f(\r(3,4),4) D．±2eq\r(3,2)(3)将下列根式化成分数指数幂的形式：①eq\r(3,a·\r(a))；②a·eq\r(－\f(1,a))；③eq\f(1,\r(3,x\r(5,x2)2)).(1)CD(2)A[(1)eq\r(12,－34)＝3eq\s\up14(eq\f(4,12))＝3eq\s\up14(eq\f(1,3))＝eq\r(3,3)，故A错误．eq\r(4,x3＋y3)＝(x3＋y3)eq\s\up14(eq\f(1,4))，故B错误．eq\r(\r(3,9))＝(9eq\s\up14(eq\f(1,3)))eq\s\up14(eq\f(1,2))＝(3eq\s\up14(eq\f(2,3)))eq\s\up14(eq\f(1,2))＝3eq\s\up14(eq\f(1,3))＝eq\r(3,3)，故C正确．eq\r(a\r(a))＝eq\r(a·aeq\s\up14(eq\f(1,2)))＝eq\r(aeq\s\up14(eq\f(3,2)))＝(aeq\s\up14(eq\f(3,2)))eq\s\up14(eq\f(1,2))＝aeq\s\up14(eq\f(3,4))，故D正确．(2)由xeq\s\up14(－eq\f(2,3))＝4得eq\f(1,\r(3,x2))＝4，即eq\r(3,x2)＝eq\f(1,4)，∴x2＝eq\f(1,64)，∴x＝±eq\f(1,8)，故选A.](3)解：①eq\r(3,a·\r(a))＝eq\r(3,a·aeq\s\up14(eq\f(1,2)))＝(aeq\s\up14(eq\f(3,2)))eq\s\up14(eq\f(1,3))＝aeq\s\up14(eq\f(3,2))×eq\s\up14(eq\f(1,3))＝aeq\s\up14(eq\f(1,2)).②由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a)≥0，,a≠0，))，∴a＜0，∴a＝－eq\r(a2)，∴a·eq\r(－\f(1,a))＝－eq\r(a2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a))))＝－eq\r(－a)＝－(－a)eq\s\up14(eq\f(1,2)).根式与分数指数幂互化的规律(1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子．(2)在详细计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．eq\o([跟进训练])1．用分数指数幂的形式表示a·eq\r(－a)为()A．－aeq\s\up14(eq\f(3,2)) B．－(－a)eq\s\up14(eq\f(3,2))C．－(－a)eq\s\up14(eq\f(2,3)) D．－aeq\s\up14(eq\f(3,2))B[由题意知－a≥0，∴a≤0.∴a＝－eq\r(a2)，∴a·eq\r(－a)＝－eq\r(a2×－a)＝－eq\r(－a3)＝－(－a)eq\s\up14(eq\f(3,2))，故选B]2.将下列根式与分数指数幂进行互化：(1)a3·eq\r(3,a2)；(2)eq\r(a－4b2\r(3,ab2))(a>0，b>0)．利用分数指数幂的运算性质化简求解【例2】(教材改编题)化简求值：(2)(a－2b－3)·(－4a－1b)÷(12a－4b－(3)2eq\r(3,a)÷4eq\r(6,ab)×3eq\r(b3).指数幂运算的常用技巧1有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算.2负指数幂化为正指数幂的倒数.3底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质.提示：化简的结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数.eq\o([跟进训练])指数幂运算中的条件求值[探究问题]1．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))eq\s\up8(2)和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,a)))eq\s\up8(2)存在怎样的等量关系？提示：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))eq\s\up8(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,a)))eq\s\up8(2)＋4.2．已知eq\r(a)＋eq\f(1,\r(a))的值，如何求a＋eq\f(1,a)的值？反之呢？提示：设eq\r(a)＋eq\f(1,\r(a))＝m，则两边平方得a＋eq\f(1,a)＝m2－2；反之若设a＋eq\f(1,a)＝n，则n＝m2－2，∴m＝eq\r(n＋2).即eq\r(a)＋eq\f(1,\r(a))＝eq\r(n＋2).【例3】(1)若2x＝7,2y＝6，则4x－y等于()A.eq\f(36,49) B.eq\f(7,6)C.eq\f(6,7) D.eq\f(49,36)(2)已知aeq\s\up14(eq\f(1,2))＋aeq\s\up14(－eq\f(1,2))＝4，求下列各式的值：①a＋a－1；②a2＋a－2.(1)D[由2x＝7,2y＝6得4x－y＝eq\f(4x,4y)＝eq\f(2x2,2y2)＝eq\f(72,62)＝eq\f(49,36)，故选D.](2)[解]①将aeq\s\up14(eq\f(1,2))＋aeq\s\up14(－eq\f(1,2))＝4两边平方，得a＋a－1＋2＝16，故a＋a－1＝14.②将a＋a－1＝14两边平方，得a2＋a－2＋2＝196，故a2＋a－2＝194.1．在本例(2)条件不变的条件下，求a－a－1的值．[解]令a－a－1＝t，则两边平方得a2＋a－2＝t2＋2，∴t2＋2＝194，即t2＝192，∴t＝±8eq\r(3)，即a－a－1＝±8eq\r(3).2．在本例(2)条件不变的条件下，求a2－a－2的值．[解]由上题可知，a2－a－2＝(a－a－1)(a＋a－1)＝±8eq\r(3)×14＝±112eq\r(3).解决条件求值的思路1在利用条件等式求值时，往往先将所求式子进行有目的的变形，或先对条件式加以变形，沟通所求式子与条件等式的联系，以便用整体代入法求值.2在利用整体代入的方法求值时，要留意完全平方公式的应用.1．核心要点：(1)根式与分数指数幂的互化．(2)对根式进行运算时，一般先将根式化成分数指数幂，这样可便利运用同底数幂的运算律．2．数学思想：解决较困难的条件求值问题时，“整体思想”是简化求解的“利器”．1.思索辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)0的任何指数幂都等于0. ()(2)5eq\s\up14(eq\f(2,3))＝eq\r(53). ()(3)分数指数幂与根式可以相互转化，如eq\r(4,a2)＝aeq\s\up14(eq\f(1,2)). ()(4)aeq\s\up8(eq\f(m,n))可以理解为eq\f(m,n)个a.( )[答案](1)×(2)×(3)×(4)×2．把根式aeq\r(a)化成分数指数幂是()A．(－a)eq\s\up14(eq\f(3,2)) B．－(－a)eq\s\up14(eq\f(3,2))C．－aeq\s\