2024-2025学年高中数学第二章解三角形2三角形中的几何计算课时素养评价含解析北师大版必修5

PAGE三角形中的几何计算(20分钟35分)1.在平行四边形ABCD中,已知AB=1,AD=2,·=1,则||= ()A.QUOTE B.QUOTE C.2QUOTE D.2QUOTE【解析】选B.由·=||·||cosA=1,得cosA=QUOTE,A=60°,故B=120°.由余弦定理知AC2=12+22-4cos120°=7,故||=QUOTE.2.在△ABC中,AB=7,AC=6,M是BC的中点,AM=4,则BC等于 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.设BC=a,则BM=CM=QUOTE.在△ABM中,AB2=BM2+AM2-2BM·AMcos∠AMB,即72=QUOTE+42-2×QUOTE×4·cos∠AMB.①在△ACM中,AC2=AM2+CM2-2AM·CM·cos∠AMC,即62=42+QUOTE+2×4×QUOTE·cos∠AMB.②①+②得72+62=42+42+QUOTE,所以a=QUOTE.3.(2024·南阳高一检测)已知△ABC是等腰直角三角形,点D在线段BC的延长线上,若BC=AD=2QUOTE,则CD= ()A.1 B.QUOTE C.QUOTE-QUOTE D.QUOTE-QUOTE【解析】选D.由图可得∠ACD=135°,AC=2,所以cos135°=QUOTE=-QUOTE,CD2+2QUOTECD-4=0,解得CD=QUOTE-QUOTE或CD=-QUOTE-QUOTE(舍去).4.已知等腰三角形的底边长为6,一腰长为12,则它的内切圆面积为.

【解析】不妨设a=6,b=c=12,由余弦定理得cosA=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以sinA=QUOTE=QUOTE.设内切圆半径为r,由QUOTE(a+b+c)r=QUOTEbcsinA,得r=QUOTE.所以S内切圆=πr2=QUOTE.答案:QUOTE5.已知三角形的一边长为7,这条边所对的角为60°,另两边长之比为3∶2,则这个三角形的面积是.

【解析】设另两边长分别为3x,2x,则cos60°=QUOTE,解得x=QUOTE,故两边长分别为3QUOTE和2QUOTE,所以S=QUOTE×3QUOTE×2QUOTE×sin60°=QUOTE.答案:QUOTE6.如图所示,在△ABC中,已知BC=15,AB∶AC=7∶8,sinB=QUOTE,求BC边上的高AD的长.【解析】在△ABC中,由已知设AB=7x,AC=8x,x>0,由正弦定理得QUOTE=QUOTE,所以sinC=QUOTE=QUOTE×QUOTE=QUOTE.又因为0°<C<180°,所以C=60°或120°.若C=120°,由8x>7x,知B也为钝角,不合题意,故C≠120°.所以C=60°.由余弦定理得(7x)2=(8x)2+152-2×8x×15cos60°,所以x2-8x+15=0,解得x=3或x=5.所以AB=21或AB=35.在Rt△ADB中,AD=ABsinB=QUOTEAB,所以AD=12QUOTE或20QUOTE.(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.A是△ABC中最小的内角,则sinA+cosA的取值范围是 ()A.(-QUOTE,QUOTE) B.[-QUOTE,QUOTE]C.(1,QUOTE) D.(1,QUOTE]【解析】选D.sinA+cosA=QUOTEsinQUOTE.因为A为△ABC中最小的内角,所以A∈QUOTE,所以A+QUOTE∈QUOTE,所以sinQUOTE∈QUOTE,所以sinA+cosA∈(1,QUOTE].2.(2024·宁波高一检测)在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,若a=1且B=2A,则b的取值范围是 ()A.(QUOTE,QUOTE) B.(1,QUOTE)C.(QUOTE,2) D.(0,2)【解析】选A.由a=1且B=2A及正弦定理QUOTE=QUOTE,可得QUOTE=QUOTE,所以b=2cosA.又因为△ABC为锐角三角形,所以QUOTE解得QUOTE<A<QUOTE,故cosA∈QUOTE,故b∈(QUOTE,QUOTE).3.在△ABC中,B=60°,C=45°,BC=8,D是BC上的一点,且=QUOTE,则AD的长为 ()A.4(QUOTE-1) B.4(QUOTE+1)C.4(3-QUOTE) D.4(3+QUOTE)【解析】选C.因为=QUOTE,BC=8,所以BD=4(QUOTE-1).又因为QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,所以AB=QUOTE×BC=QUOTE×8=8(QUOTE-1).在△ABD中,由余弦定理得AD2=AB2+BD2-2AB·BD·cosB=[8(QUOTE-1)]2+[4(QUOTE-1)]2-2×8(QUOTE-1)×4(QUOTE-1)×cos60°=48(QUOTE-1)2,所以AD=4(3-QUOTE).4.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若c=2,C=QUOTE,且a+b=3,则△ABC的面积为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选D.由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC,所以22=a2+b2-2abcosQUOTE,即4=(a+b)2-3ab,又a+b=3,所以ab=QUOTE,所以S△ABC=QUOTEabsinQUOTE=QUOTE.5.(2024·成都高一检测)已知△ABC中,sin(B+A)+sin(B-A)=sin2A,则△ABC的形态为 ()A.等腰三角形B.等腰直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.无法确定【解析】选C.因为sin(B+A)+sin(B-A)=sin2A,由两角和差的正弦公式可得2sinBcosA=sin2A,所以sinBcosA=sinAcosA,若cosA=0,即A=QUOTE时此时△ABC是直角三角形;若cosA≠0,即sinB=sinA,所以A=B,所以△ABC是等腰三角形;综上,△ABC是等腰三角形或直角三角形.【光速解题】由sin(B+A)+sin(B-A)=sin2A可以快速看出B=A时明显成立,故可能为等腰三角形,直角三角形的推断由cosA可快速推断.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2024·新余高一检测)如图所示,在△ABC中,已知∠A∶∠B=1∶2,角C的平分线CD把三角形面积分为3∶2两部分,则cosA=.

【解题指南】由角C的平分线CD把三角形面积分为3∶2两部分可得QUOTE=QUOTE=QUOTE,由正弦定理可得QUOTE=QUOTE,再依据∠A∶∠B=1∶2即可求出答案.【解析】因为角C的平分线CD把三角形面积分为3∶2两部分,所以QUOTE=QUOTE,即QUOTE=QUOTE=QUOTE,由正弦定理得QUOTE=QUOTE,又∠A∶∠B=1∶2,所以QUOTE=QUOTE=2cosA=QUOTE,所以cosA=QUOTE.答案:QUOTE【补偿训练】若E,F是等腰直角△ABC斜边AB上的三等分点,则tan∠ECF=.

【解析】方法一:不妨设AB=6,则AC=BC=3QUOTE,由余弦定理得CE=CF=QUOTE,再由余弦定理得cos∠ECF=QUOTE,所以sin∠ECF=QUOTE,解得tan∠ECF=QUOTE.方法二:坐标法设AB=6,AC=BC=3QUOTE,F(1,0),E(-1,0),C(0,3),利用向量的夹角公式得cos∠ECF=QUOTE,解得tan∠ECF=QUOTE.答案:QUOTE7.(2024·马鞍山高一检测)如图所示,在平面四边形ABCD中,AB=BC,∠ABC=60°,CD=2,AD=4,则四边形ABCD的面积的最大值为.

【解析】连接AC在△ABC中,因为AB=BC,∠ABC=60°,所以△ABC为等边三角形,在△ACD中,CD=2,AD=4,由余弦定理可得AC2=AD2+CD2-2AD·CDcosD=16+4-2×4×2cosD=20-16cosD,则四边形ABCD的面积为S=S△ABC+S△ACD=QUOTEAC2+QUOTEAD·CD·sinD=QUOTE(20-16cosD)+4sinD=5QUOTE+8QUOTE=5QUOTE+8sin(D-60°),当D-60°=90°,即D=150°时sin(D-60°)取得最大值1,故四边形ABCD的面积取得最大值为5QUOTE+8.答案:5QUOTE+88.在△ABC中,已知AB=QUOTE,cos∠ABC=QUOTE,AC边上的中线BD=QUOTE,则sinA=.

【解析】如图所示,取BC的中点E,连接DE,则DE∥AB,且DE=QUOTEAB=QUOTE.因为cos∠ABC=QUOTE,所以cos∠BED=-QUOTE.设BE=x,在△BDE中,利用余弦定理,可得BD2=BE2+ED2-2BE·ED·cos∠BED,即5=x2+QUOTE+2×QUOTE×QUOTEx.解得x=1或x=-QUOTE(舍去),故BC=2.在△ABC中,利用余弦定理,可得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC=QUOTE,即AC=QUOTE.又sin∠ABC=QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,所以sinA=QUOTE.答案:QUOTE三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知圆内接四边形ABCD的边长AB=2,BC=6,CD=DA=4,求圆内接四边形ABCD的面积.【解析】如图,连接BD,则四边形面积S=S△ABD+S△CBD=QUOTEAB·AD·sinA+QUOTEBC·CD·sinC.因为A+C=180°,所以sinA=sinC.所以S=QUOTE(AB·AD+BC·CD)·sinA=16sinA.在△ABD中,由余弦定理得BD2=22+42-2×2×4cosA=20-16cosA,在△CDB中,BD2=42+62-2×4×6cosC=52-48cosC,所以20-16cosA=52-48cosC.又cosC=-cosA,0°<A<180°,所以cosA=-QUOTE,A=120°,所以四边形ABCD的面积S=16sinA=8QUOTE.10.(2024·临川高一检测)如图所示,在四边形ABCD中,∠D=2∠B,且AD=1,CD=3,cosB=QUOTE.(1)求△ACD的面积;(2)若BC=2QUOTE,求AB的长.【解析】(1)因为∠D=2∠B,cosB=QUOTE,所以cosD=cos2B=2cos2B-1=-QUOTE.因为D∈(0,π),所以sinD=QUOTE=QUOTE.因为AD=1,CD=3,所以△ACD的面积S=QUOTEAD·CD·sinD=QUOTE×1×3×QUOTE=QUOTE.(2)在△ACD中AC2=AD2+DC2-2AD·DC·cosD=12,所以AC=2QUOTE.因为BC=2QUOTE,QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以AB=4.1.我国南宋闻名数学家秦九韶发觉了由三角形三边长求三角形的面积的“三斜求积”公式:设△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则△ABC的面积S=