数据、模型与决策（原书第16版）课件 第4章、线性规划在营销、财务和运营管理领域的应用

数据、模型与决策,第16版第4章、线性规划在营销、财务和运营管理领域的应用章节内容4-1 市场营销中的应用4-2 财务中的应用4-3 运营管理中的应用

本章小结学习目标完成本章后，你将能够：LO4.1 对营销领域的线性规划问题进行建模并求解。LO4.2 对财务领域的线性规划问题进行建模并求解。LO4.3 对生产计划和配送领域的线性规划问题进行建模并求解。LO4.4 对人员配置和排班领域的线性规划问题进行建模并求解。LO4.5 对混合问题的线性规划问题进行建模并求解。引言线性规划被证明是在制定决策时最成功的定量化方法之一，儿乎应用于各行各业。这些应用包括:生产日程安排、媒体选择、市场调研、财务规划、资本预算、运输问题、分销系统设计、混合制造、人力资源管理以及混合问题等。本章将介绍线性规划在传统商业领域的一系列应用，包括营销、财务和运营管理等领域。

本章重点是建模、计算机求解以及计算结果的解读。

我们依据所研究的问题建立数学模型，并给出模型求解结果。

4-1市场营销中的应用媒体选择在媒体选择中应用线性规划的目的在于帮助营销经理将固定的广告预算分配到不同的媒体中去。我们的目的是借用媒体使宣传范围、频率和质量最大化。预算分配方案的约束条件通常源于公司的政策、合同的要求以及媒体的可用数量等。REL发展公司在开发一个环私人湖社区。

湖边住宅的主要客户是距社区100英里以内的所有中高等收入家庭。该公司聘请BP&J公司来做广告宣传。

湖畔社区宣传该公司聘请BP&J公司来做广告宣传。考虑可用的广告媒体和要覆盖的市场，BP&J建议将第一个月的广告限于5种媒体。

BP&J已经搜集了单位媒体的潜在受众人数和成本、每个媒体可提供的最多的广告数量，以及5种媒体的单位影响力。媒体的单位影响力是通过单位宣传质量来衡量的所谓单位宣传质量即各个媒体一次广告带来的相对价值，是通过考虑众多因素，如观众的人口统计数据(年龄、收入和受教育程度)、呈现的形象和广告的品质。4-1广告媒体选择结合BP&J在广告行业中的经验获得。下表列出了搜集的信息：4-1媒体选择:问题描述BP&J被委托选择一个广告媒体。更具体地说，BP&J需要根据以下要求推荐每种广告媒体的使用次数：每种广告媒体的选用次数不得超过其每月的可用次数。REL发展公司提供给BP&J第一个月的广告预算是30000美元。REL发展公司对如何分配这些资金有如下要求:

至少要用10次电视广告电视广告的费用不得超过18000美元

潜在受众人数至少要达到50000人4-1媒体选择:建立模型决策变量要做出的决策是:每个媒体的使用次数是多少。我们首先定义如下决策变量：DTV=日间电视使用次数ETV=晚间电视使用次数W=网站使用次数SN=周日报纸杂志使用次数R=电台使用次数目标函数

4-1媒体选择:完整的线性规划（LP）模型根据已知信息，可知模型的约束条件为:Max65DTV+90ETV+40W+60SN+20R

s.t.DTV≤15可用媒体ETV≤10可用媒体W≤25可用媒体SN≤4可用媒体R≤30可用媒体1500DTV+3000ETV+

400W+1000SN+100R≤30,000预算DTV+

ETV≥10电视约束1500DTV+3000ETV≤18,000电视约束1000DTV+2000ETV+1500W+2500SN+300R≥50,000受众人数DTV,ETV,W,SN,R

≥0非负性4-1媒体选择:问题求解5个变量，9个约束的线性规划模型的最优解已给出。4-1媒介选择：结果解读最优解决方案要求社区的广告在日间电视、网站、周日报纸、杂志和电台上投放。此时达到的最优影响力是2370，而受众总数为61500。递减成本:若要晚间电视出现在最优解决方案中，其单位影响力至少要增加65。对偶值:预算限制(约束条件6)的对偶值为0.06，即预算费每增加1美元，广告总影响力会增加0.06。约束条件7的对偶值为-25.000，这表明可用电视广告数量每增加1个单位，投放的广告影响力会减少25。4-1市场调查应用市场调查开展市场营销调查以了解消费者的特点、态度以及偏好，专门为客户公司提供此类信息调查服务的公司被称为市场调查公司。这类公司提供的典型服务包括:调查设计，开展市场调查，分析收集数据，提供市场调查报告，为顾客公司的营销提供对策建议。

在调查设计阶段，应对调查对象的数量和类型设定目标或限额。市场调查公司的目标是议最小的成本满足客户需求。MISMarketSurvey,Inc.(MSI)专门评定消费者对新产品、服务和广告活动的市场反应。一个客户公司要求MSI帮助了解消费者对一种近期推出的家居产品的市场反应。

在与客户会面的过程中，MSI同意开展人户调查，调查的家庭包括有儿童家庭和无儿童家庭。同时MSI还同意采用日间和夜间两种调查方式。

4-1市场调查:问题描述具体地说，客户的合同要求MSI依照以下限制条款进行1000次访问：至少访间400个有儿童家庭。至少访间400个无儿童家庭。夜间访问的家庭数量不得少于日间访问的数量。至少40%的有儿童家庭必须在夜间访问。至少60%的无儿童家庭必须在夜间访问。因为访问有儿童家庭需要额外的时间，而且夜间访问员的报酬要比日间访问员的报酬高，所以调查成本因访问类型的不同而不同。

基于以往的调查经验，预计的单次访问费用如下表所示：

4-1市场调查：建立模型决策变量在为MSI问题建立线性规划模型时，我们首先定义如下决策变量:DC=日间访问有儿童家庭的数量EC=夜间访问有儿童家庭的数量DNC=日间访问无儿童家庭的数量ENC=夜间访问无儿童家庭的数量目标函数和约束条件

4-1市场调查:完整的线性规划（LP）模型加上非负约束后，这个有4个变量、6个约束条件的线性规划模型可以写为:Min20DC+25EC+18DNC+20ENC

s.t.DC+EC+DNC+

ENC=1000访问总次数DC+EC≥400有儿童家庭DNC+

ENC≥400无儿童家庭−DC+EC−

DNC+

ENC≥0夜间访问−0.4DC+0.6EC≥0夜间访问有儿童家庭−0.6DNC+0.4ENC≥0夜间访问无儿童家庭DC,EC,DNC,ENC≥0非负约束4-1市场调查:问题求解下图是此模型的求解结果：4-1市场调查:结果解读计算结果表明按以下的访问计划将会使总成本达到最小，即20320美元。因此，日间将安排480次访问，夜间将安排520次访问访问有儿童家庭的家庭数量为400个，访问无儿童家庭的家庭数量为600个。对偶值:灵敏度分析表明约束条件1的对偶值为19.2。换句话说，如果访问总数量的约束条件从1000增加到1001.约束条件5和6的对偶值显示，对于有儿童和无儿童的家庭，每增加一次晚间访问的增量成本分别为5美元和2美元。剩余变量:约束条件3的剩余变量的值为200，这表明访问的无儿童家庭的家庭数量比要求的多200个。类似地，约束条件6的对偶值2表明，如果必须在夜间比要求的最小数量再多访问一个家庭(无儿童)，那么总访问成本会增加2美元。约束条件5和6中剩余变量的零值表明成本更高的夜间访问的家庭数量刚好达到最低限要求。4-2财务中的应用投资组合在财务管理中、线性规划常被用于资本预算、资产分配、有价证券选择、财务规划和许多与此相关的问题。投资组合选择问题所涉及的情况是财务经理从多种投资(如股票和债券)中选择一些具体的投资方案。投资组合选择问题的目标函数通常是使预期收益最大化或风险最小化。约束条件通常表现为对允许的投资类型、国家法律、公司政策、最大可接受风险等方面的限制。威尔特(Welte)共同基金公司假设现在有一家坐落于纽约的威尔特(Welte)共同基金公司。公司最近通过发行工业债券而获得了100000美元的现金。公司首席金融分析师建议新的投资全用于石油、钢铁行业或政府债券上。

分析师们已经确定了5个投资机会，并预计了其年收益率。4-2投资组合:问题描述问题要求威尔特公司的管理层提出以下投资要求:对任何行业(石油或钢铁)的投资额不得多于50000美元对政府债券的投资额至少是对钢铁行业投资额的25%对太平洋石油这样高收益但高风险的投资项目，投资额不得多于对整个石油行业投资的60%怎样设计投资方案(投资项目及金额)呢?决策变量和目标函数

4-2投资组合:完整的线性规划（LP）模型威尔特共同基金公司投资问题的完整线性规划模型如下：Max

0.073A+0.103P+0.064M+0.075H+0.045G

s.t.A+P+M+H+G=100,000可用资金A+P≤50,000石油行业最大投资额M+H≤50,000钢铁行业最大投资额−

0.25M−0.25H+G≥0政府债券最小投资额−0.60A+0.40P≤0太平洋石油A,P,M,H,G≥0非负约束4-2投资组合:问题求解这个线性规划问题的最优解决方案如下所示：4-2投资组合:结果解读最优解决方案显示投资结构应包含除中西部钢铁以外的所有投资机会。此投资组合的预期年收益为8000美元，即8%的年收益率。递减成本:M的递减成本下降0.011告诉我们，目标函数的中西部钢铁的系数应先增加0.011，考虑中西部钢铁的投资才是明智的。这样的话，中西部钢铁的年收益率应该是0.064+0.011=0.075。这使得这种投资与现在所用的Huber钢铁投资选择一样令人满意。松弛变量:此约束条件的松弛变量表明，目前钢铁行业的投资额是10000美元，它低于投资限额的50000美元。对偶值:约束条件1的对偶值0.069表明，为投资组合每多提供1美元，目标函数值将增加0.069美元。如果能以低于6.9%的成本获得更多资金，管理者应考虑取得这些资金。4-2财务计划应用Hewlitt公司的公司义务Hewlitt公司建立了一项提前退休项目，作为公司重组的一部分。在自愿签约期临近时，68位雇员办理了提前退休手续。

因为这些人的提前退休，在接下来的8年里，公司将承担以下责任，每年年初支付的现金需求（千美元）如下所示：政府债券的投资公司的财务人员必须决定现在应准备多少钱，以便应付为期8年的支出计划。该退休项目的财务计划包括政府债券的投资及储蓄。对于政府债券的投资限于如下表所示的3种选择。4-2财务计划:问题描述决策变量政府债券的面值是1000美元，这意味着尽管价格不同，但到期时，都要支付1000美元。表中所示的回报率是基于面值的。在制订这个计划时，财务人员假定没用于投资债券的资金都用于储蓄，且每年都可以获得4%的利息。我们定义如下决策变量：F:为8年期退休计划准备的总金额B1:在第1年年初买入的债券1的数量B2:在第1年年初买入的债券2的数量B3:在第1年年初买入的债券3的数量Si:在第i年年初投资于储蓄的金额（i=1,2,…,8）

目标函数和约束条件

4-1财务计划:完整的线性规划（LP）模型Hewlitt公司财务计划问题的完整线性规划模型如下所示：MaxF

s.t.F−1.15B1−

1B2−1.35B3−S1

=430第1年0.08875B1+0.055B2+

0.1175B3+1.04S1−S2=210第2年0.08875B1+0.055B2+

0.1175B3+1.04S2−S3=222第3年0.08875B1+0.055B2+

0.1175B3+1.04S3−S4=231第4年0.08875B1+0.055B2+

0.1175B3+1.04S4−S5=240第5年0.08875B1+0.055B2+

0.1175B3+1.04S5−S6=195第6年0.055B2+

0.1175B3+1.04S6−S7=225第7年0.1175B3+1.04S7−S8=255第8年F,B1,B2,B3,S1,S2,S3,S4,S5,S6,S7,S8≥04-2财务计划:问题求解这个包含12个变量、8个约束条件的线性规划模型的最优解如下所示：4-2财务计划:结果解读

总的满足8年期退休计划所需要的最小资金总额为1728.79385美元。分别用1150美元、1000美元和1350美元作为每种债券的现价，我们可以将这三种债券的最初投资额列入右表。该方案表明了636148美元（见S1）将在第1年年初用于储蓄，公司在第1年年初可用1728794美元选择具体的债券和储蓄投资，而且可以用余下的钱来满足退休计划第1年的现金需求430000美元。由债券所得的利息加上到期债券的面值就能满足从第5年到第8年的现金需求。对偶值在这一应用中得到了有趣的阐释。每个式子的右端值对应着该年应支付的金额。注意，对偶值为正值，表明每一年需要支付的费用每增加1000美元，则会使得总费用以对偶值的1000倍增加。同时注意，对偶值逐年减少表示在早期几年内的现金需求对F的最优值影响较大。4-3运营管理中的应用自制/外购决策在许多生产和运营管理中，都用到了线性规划的方法，包括生产计划、人员分配、库存控制和生产能力计划等。根据生产计划的最优求解方案，经理人员能够为一种或多种产品制定一个跨多周期（周或月）的高效率、低成本的生产计划。传统的约束还有：满足产能、劳动力和库存空间等条件。Janders公司准备推出两款新的泵，其中一款用于医疗输血市场，名为“输血泵”；另一款用于工程市场，名为“功能泵”。Janders公司每种泵都由三种零部件构成：一个基座、一个泵芯和一个泵顶。两种泵使用相同的基座，但泵芯和泵顶不同。所有的零件都可以由公司自己生产或从外部购买。4-3运营管理:问题描述问题要求Janders公司的预测师们指出市场将需要3000台功能泵和2000台输血泵。但是，由于生产能力有限。这家公司仅能够安排200个小时的日常生产时间和50个小时的加班时间来生产泵。加班时间要每小时支付给员工9美元的津贴，即额外的成本。Janders公司的问题是决定每种零部件多少由自己生产，多少从外部购买。决策变量

4-3运营管理:完整的线性规划（LP）模型对于Janders公司的自制/外购问题，加上非负约束之后的完整模型是：Min0.5BM+0.6BP+3.75FCM+4FCP+3.3TCM+3.9TCP+0.6FTM+0.65FTP+0.75TTM+0.78TTP+9OTs.t.BM+

BP=5,000基座FCM+

FCP=3,000功能泵泵芯TCM+

TCP=2,000输血泵泵芯FTM+

FTP=3,000功能泵泵顶TTM+TTP=2,000输血泵泵顶OT≤50加班时间BM+3FCM+2.5TCM+FTM+1.5TTM−60OT≤12,000生产能力BM,BP,FCM,FCP,TCM,TCP,FTM,FTP,TTM,TTP,OT≥0非负约束4-3运营管理:问题求解这个包含11个变量、7个约束条件的线性规划问题的最优解如下图所示：4-3运营管理：结果解读得到的最优解说明了该公司所需要的全部5000个基座、667个功能泵泵芯和2000个输血泵泵芯应由其自行生产。而余下的2333个功能泵泵芯、所有的功能泵泵顶和所有的输血泵泵顶应从外部购买。加班生产是不必要的，与这个最佳自制或外购相应的最小总成本是24443.33美元。递减成本一列显示了如果要使用加班时间，加班津贴必须每小时减少4美元。也就是说，如果加班津贴是每小时9-4=5（美元）或更少，Janders公司会考虑用加班时间生产的零部件代替采购的零部件。约束条件7关于生产能力的对偶值是-0.083，这表明每增加1小时的生产能力所带来的价值是：0.083×60=5（美元）。约束条件7的右端端范围表示这个结论在日常生产时间不超过19000分钟或316.7小时的情况下是不变的。目标函数BP的系数的变化范围是从0.583（=0.600-0.017）到无穷大。如果基座的采购价格为每个0.583美元或更多，那么基座的购买数量仍然为零。但是当采购价格低于0.583美元时，Janders公司将开始购买而非生产基座配件。类似地，通过灵敏度分析也能得到其他零部件购买的价格范围。4-3混合问题应用石油工业在实际应用中，管理层必须决定每种资源的购买量，以在成本最低的情况下满足产品的规格以及市场的需求。混合问题经常发生在石油行业、化工行业以及食品行业。在这一节中，我们将介绍线性规划在石油行业应用的一个混合问题。GrandStrand石油公司想知道在生产这两种汽油产品的过程中，如何混合这3种石油成分才能获利最大。GrandStrand石油公司现存的资料显示，一般规格汽油的售价是2.90美元/加仑，而特殊规格汽油是3.00美元/加仑。

在当前的生产计划期内，GrandStrand