数据、模型与决策（原书第16版）课件 第3章、线性规划的灵敏度分析和最优解的解释

数据、模型与决策,第16版第3章、线性规划的灵敏度分析和最优解的解释章节内容3-1 灵敏度分析的作用3-2 图解法灵敏度分析3-3 优化软件输出的灵敏度分析解释3-4 传统灵敏度分析的不足3-5 电子通信公司问题

本章小结学习目标(1of2)完成本章后，你将能够：LO3.1 使用图解法对线性规划问题的解进行灵敏度分析。LO3.2 使用计算机程序包如ExcelSolver对线性规划问题的解进行灵敏度分析，并解释输出结果。LO3.3 解释线性规划问题中约束条件的对偶值(影子价格)。LO3.4 详述并解释线性规划问题中目标函数系数的最优范围。学习目标(2of2)LO3.5 详述并解释线性规划问题中约束条件的可行范围。LO3.6 解释传统灵敏度分析做出的假设，并能在假设不满足时更新和求解新问题。LO3.7 解释线性规划问题中变量的递减成本值。LO3.8 解释沉没成本和相关成本之间的差异，并能够将适当的成本纳入线性规划模型。引言灵敏度分析是研究当一个线性规划问题中的系数发生变化时，它对函数最优解的影响程度。目标函数系数约束条件的右端值因为灵敏度分析研究的是系数的变化对最优解的影响。所以在进行灵敏度分析之前，首先要计算出原线性规划问题的最优解。因此灵敏度分析有时也被称为后优化分析。首先，我们将介绍如何使用图解法进行双变量线性规划问题的灵敏度分析。其次，我们将介绍如何使用优化软件得到灵敏度分析报告。最后，我们将通过建模和求解三个更大的线性规划问题来扩展对第二章中建模相关内容的讨论。3-1灵敏度分析的作用灵敏度分析对于决策者的重要性不言而喻。在真实世界里，周围的环境、条件是在不断变化的。运用灵敏度分析，我们只需要改变相应的系数就可以得到答案，而不需建立新的模型。灵敏度分析还可以用来分析模型的系数。哪个更能左右最优解。例如，如果一个系数的最优性范围很窄，或者其估计值接近最优性限制之一，管理层可能希望审查系数估计的准确性，如有必要，用新的目标函数解决修改后的线性规划问题。灵敏度分析的另一个用途是分析约束条件的右端值变化对最优解的影响。3-2目标函数系数的变化图解法求解Par公司问题，如果目标函数的斜率在直线A与直线B之间，极点③是最优解

3-2极点③的CS最优范围

3-2极点③的CD最优范围

3-2极点②的CS最优范围

3-2同时变化

3-2约束条件的右端值

3-2对偶值

3-3优化软件输出的灵敏度分析解释在上一章中，我们说明了如何解释线性规划求解程序的结果。

在取近似值后，我们得到最优解是S=540个标准球袋和

D=252个高级球袋，目标函数最优值是7668美元。我们将解释对最优解的灵敏度分析的输出结果，特别是每个决策变量的递减成本和约束条件的对偶值

。需要注意的是，ExcelSolver使用影子价格这个术语，而不是对偶值。3-3Par公司问题的递减成本和对偶值递减成本解释对偶值解释一个变量的递减成本等于这个变量非负约束的对偶值.非负约束为S,D≥0。因为将非负约束更改为S,D≥1对最优解S=540和

D=252的值没有影响，因此这个非负约束的对偶值（即递减成本）均为零。对偶值列包含关于最优解时四种资源的边际价值的信息。切割和印染（约束1）的对偶值为4.375，精加工（约束3）的对偶值为6.9375，这告诉我们，增加一个小时的切割和印染时间将使最优解的价值增加大约4.38美元，而增加一个小时的精加工时间将使最优解的价值增加约6.94美元3-3Par公司问题的允许增加和减少值目标系数右端值变量S目前的利润系数为10，允许增加的幅度为3.5，允许减少的幅度为3.7。因此，只要标准球袋的利润贡献在10−3.7=6.30美元和10+3.5=13.50美元之间，生产

S=540个标准球袋和D=252个高级球袋就是最优解对变量D的允许增加和减少也可以做类似的观察。只要约束条件的右端值处于所给出的下限和上限之间，相应的对偶值将会是右端值增加1个单位带来的最优解的变化。我们把这个对偶值适用的范围称作可行域。例如，最终约束条件的右端值（约束条件3）显示出对偶值6.94美元对增加到900和减少到580都是可行的。3-3对偶值的深入理解相关成本取决于决策的制定，这种成本依赖于决策变量值的变化而变化。相关成本反映在目标函数系数中。当某种资源的成本属于沉没成本时，对偶值就可以被解释为公司愿意为得到额外一个单位这种资源而付出的金额.沉没成本是不会受决策影响的，无论决策变量为何值，这种成本都会发生。

沉没资源成本不反映在目标函数的系数中。当某种资源的成本属于沉没成本时，对偶值则可以被解释为这种资源的价值超过其成本的数额，也就是增加一个单位这种资源时，公司能付出的最大成本量。3-3Par公司问题修改后的模型假设管理者希望生产一种轻便的、可以被球手随身携带的球袋（轻便球袋）。设计部门估计每个新型球袋将需要0.8小时的切割和印染时间、1小时的缝制时间、1小时的成型时间和0.25小时的检查和包装时间。由于这种设计是独一无二的，管理者认为在当前销售期内每个轻便球袋可以获利12.85美元。令L为轻便球袋的产量，将其加入目标函数以及4个约束条件，可以得到如下修改后的模型：3-3修改后的Par公司问题的计算机求解最优方案里包含280个标准球袋、0个高级球袋和428个轻便球袋，最优方案的值是8299.80美元。计算机输出结果表明，S和L的递减成本都为0，这是因为相应的决策变量值在最优解处已经是正值。然而，变量D的递减成本为-1.15美元，表明如果高级球袋的产量从0增加到1，那么最优目标函数值将减少1.15美元。另外一种解释是，如果我们将高级球袋的成本降低1.15美元约束1和2分别有91.6和32小时的未用容量，而约束3和4在最优解中是有效的，每增加一小时将使最优解的价值增加8.10美元和19美元。3-4传统灵敏度分析的不足从计算机输出中获得的传统的灵敏度分析可以为求解方案对输入数据变化的灵敏性提供有用的信息。计算机软件提供的传统的灵敏度分析还存在一些不足。本节讨论三个不足：多系数同时变化系统输出的灵敏度的结果是基于单函数系数变化的。它假设所有其他的系数都保持不变。因此，目标函数系数和约束条件的右端值的变化范围只能适用于单个系数发生变化的情况。约束系数的变化传统的灵敏度分析没有对约束条件中变量系数的变化带来的变化提供信息。相反，我们必须简单地更改系数并重新运行模型。特殊约束条件的对偶值两边都有变量的特殊约束条件往往会使对偶值产生非直觉的解释。3-4Par公司问题的非直觉对偶值

3-4高级球袋需求对总利润的影响为了更直观地感受这个比例变化对总利润的影响，我们以5%为间隔，分别试验这个比例从5%增长到100%的情况下利润的变化。这要求我们重解20个不同的模型。右图给出了改变这个比例对利润的影响..可以看到，当比例值大于55%时曲线变得更陡了，这说明从55%开始利润下降的速度发生了改变。因此，管理层从利润的角度考虑，30%是一个合理的要求，如果将这个比例增加到超过55%，那么将会带来重大的利润损失。3-5电子通信公司问题下表简要地列出了电子通信公司不同销售渠道的销售利润、广告费用、人力成本。公司的广告费用预算是5000美元，3个店面销售渠道的最大的销售时间是1800小时。公司现阶段决定制造的产品数为600件，此外，全美连锁零售店要求最少销售150件产品。电子通信公司面临的问题是如何制定一个分销策略使其总的销售利润最大。公司必须决定如何分配各堂道的销售量、销售力度以及广告预算。3-5建立数学模型我们首先写出电子通信公司的目标函数和约束条件。目标函数：利润最大化这个模型有4个约束条件，分别是：广告支出<=广告预算销售时间<=最大可用时间产品生产数量=公司要求的产量零售分销量≥合同要求的最低分销量对于这个模型，我们定义如下4个决策变量：M=航海器材经销店销售的产品数量B=商用器材经销店销售的产品数量

3-5计算机求解及其含义解释,第1部分图中的目标函数值告诉我们模型的最大利润为48450美元。最优解为M=25，B=425，R=150，D=0。决策变量D的递减成本是-45，这告诉我们每生产一个通过直接邮购渠道销售的产品，利润就会减少45美元。换种说法，也就是说通过直接邮购渠道销售的产品利润必须由现在的60美元增加45美元，达到105美元，这样才可以使用这种渠道来销售产品。广告预算约束条件的对偶值为3，表明每增加1美元广告预算，目标函数的值（利润）可以增加3美元。约束2上的25小时松弛告诉我们，分配的销售团队1800小时的最大销售时间足够卖出产品。约束3的对偶值表明，如果公司的产量增加1个单位，利润就可以增加60美元。约束4显示，这个约束条件允许减少的量是150，表明这种承诺可以减少到0，每减少1单位损失值是17美元。3-5计算机求解及其含义解释,第2部分目标函数系数表显示了在当前解或策略保持最优的范围内，允许增加和减少的幅度。直邮渠道的45美元允许增加与其对偶值的前述观察一致。右侧约束值表可以与关于对偶值的前述观察结合使用。例如，约束1的允许增加显示，如果广告预算增加最多850美元，利润将增加三倍(约束1的对偶值为3)。此外，约束4的150单位允许增加意味着，这种承诺可以减少到零，同时以每单位17美元的速率增加利润。3-5电子通信公司的最大利润策略重要的是再次指出，计算机软件包为线性规划问题提供的灵敏度分析仅考虑一次一个变化，所有其他系数保持原始规定。如前所述，同时变化最好通过重新求解问题来处理。总之，电子通信的利润最大化分销策略涉及以下三个方面：（1）分配多少产量（2）分配多少广告预算（3）分配多少销售时间。本章小结本章的开头对灵敏度分析问题进行了讨论：详细研究了线性规划问题系数的变化对最优解所产生的影响.首先，我们介绍了如何使用图解法分析目标函数。系数和约束条件的右端值的变化对最优解的影响。由于图解法只限于分析双决策