第三章 函数（考点串讲）-人教B版2019必修第一册高一数学考点总结

人教B版(2019)必修第一册数学

期中考点大串讲串讲03函数考场练兵典例剖析010203目

录考点透视01考点透视考点1.函数的概念,函数的定义域和值域1．函数的概念一般地，给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数x，按照对应关系f，在集合B(集合B一般默认为实数集R，因此常常略去不写．)中都有唯一确定的实数y＝f(x)与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.2．函数的定义域和值域函数y＝f(x)中x称为自变量，y称为因变量，自变量取值的范围(即数集A)称为这个函数的定义域，所有函数值组成的集合{y∈B|y＝f(x)，x∈A}称为函数的值域．考点2.同一函数

一般地，如果两个函数的定义域相同，对应关系也相同(即对自变量的每一个值，两个函数对应的函数值都相等)，则称这两个函数就是同一个函数．考点3.函数的表示方法

数学表达式图象表格考点4.分段函数

如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数．考点5.定义域为A的函数f(x)的单调性

f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)增函数减函数考点6.单调性与单调区间

如果函数y＝f(x)在区间M上是单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)________，区间M叫做y＝f(x)的________．单调性单调区间考点7.函数的最值

考点8.直线的斜率,函数的平均变化率

x1＝x2＞＜平均变化率考点9.二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的单调性

(1)当a＞0时，f(x)在____________上单调递减，在______________上单调递增，函数没有最大值，但有最小值________________；(2)当a＜0时，f(x)在____________________上单调递增，在____________________上单调递减，函数没有最小值，但有最大值____________________.

考点10.偶、奇函数

1．偶函数一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，则称y＝f(x)为偶函数．2．奇函数一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有________，且___________，则称y＝f(x)为奇函数．3．奇、偶函数的图像特征(1)奇函数的图像关于________成中心对称图形；反之，如果一个函数的图像是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．(2)偶函数的图像关于________对称；反之，如果一个函数的图像关于y轴对称，则这个函数是偶函数．－x∈Df(－x)＝－f(x)原点y轴考点11.函数的零点

1．零点的定义一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的函数值等于零，即f(α)＝0，则称α为函数y＝f(x)的零点．2．方程的根与函数零点的关系交点的横坐标零点考点12.二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系

判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图像一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－没有实数根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集____________________Rax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集______________________________{x|x<x1或x>x2}

{x|x1<x<x2}∅∅考点13.几类常见函数模型

名称解析式条件一次函数模型y＝kx＋bk≠0反比例函数模型y＝＋bk≠0二次函数模型一般式：y＝ax2＋bx＋c顶点式：y＝a＋a≠0考点14.函数模型

知识点(1)一次函数模型解析式：________．(2)二次函数模型①一般式：__________．②顶点式：_____________，其中顶点坐标为________．(3)分段函数模型有些实际问题，在事物的某个阶段对应的变化规律不尽相同，此时我们可以选择利用分段函数模型来刻画它，由于分段函数在不同的区间中具有不同的解析式，因此分段函数在研究条件变化的实际问题中，或者在某一特定条件下的实际问题中具有广泛的应用．y＝kx＋by＝ax2＋bx＋cy＝a(x－h)2＋k(h，k)02典例透析考点1.函数的定义【例题1】(1)设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有(

)(1)①x∈[0，1]取不到[1，2].③y∈[0，3]超出了N∈[0，2]范围．④可取一个x值，y有2个对应，不符合题意．

(2)关键是否符合函数定义．答案：(1)B

(2)①是函数②不是函数考点1.函数的定义解析：(1)图号正误原因

①×x＝2时，在N中无元素与之对应，不满足任意性②√同时满足任意性与唯一性③×x＝2时，对应元素y＝3∉N，不满足任意性④×x＝1时，在N中有两个元素与之对应，不满足唯一性

考点2.求函数的定义域

考点2.求函数的定义域

考点3.同一函数

判断两个函数是否为同一函数，要看三要素是否对应相同．函数的值域可由定义域及对应关系来确定，因而只要判断定义域和对应关系是否对应相同即可．考点3.同一函数

解析：序号是否相同原因(1)不同定义域不同，f(x)的定义域为{x|x≠0}，g(x)的定义域为R(2)不同对应关系不同，f(x)＝，g(x)＝(3)不同定义域相同，对应关系不同(4)相同定义域和对应关系相同考点4.求函数值域

考点4.求函数值域

考点5.函数的表示方法

【例题5】某商场新进了10台彩电，每台售价3000元，试求售出台数x(x为正整数)与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图像法、解析法表示出来．解析：(1)列表法：x/台12345678910y/元30006000900012000150001800021000240002700030000(2)图像法：如图所示．(3)解析法：y＝3000x，x∈{1，2，3，…，10}．考点6.求函数的解析式

【例题6】(1)已知f(x2＋2)＝x4＋4x2，则f(x)的解析式为________________；(2)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝4x－1，则f(x)＝_____________.(1)换元法设x2＋2＝t.(2)待定系数法设f(x)＝ax＋b.f(x)＝x2－4(x≥2)

考点7.求分段函数的函数值

解析：∵－1<0，∴f(－1)＝0，∴f(f(－1))＝f(0)＝π，∴f(f(f(－1)))＝f(π)＝π＋1.考点8.函数图像

【例题8】作出下列函数的图像：(2)先求对称轴及顶点，再注意x的取值(部分图像)．(1)y＝－x＋1，x∈Z；(2)y＝2x2－4x－3，0≤x＜3；(3)关键是根据x的取值去绝对值．(3)y＝|1－x|.考点8.函数图像

考点9.利用函数图像求单调区间

【例题9】函数f(x)的图像如图所示，则(

)

A．函数f(x)在[－1，2]上是增函数B．函数f(x)在[－1，2]上是减函数C．函数f(x)在[－1，4]上是减函数D．函数f(x)在[2，4]上是增函数图像上升或下降趋势判断．答案：A解析：函数单调性反映在函数图像上就是图像上升对应增函数，图像下降对应减函数，故选A.考点10.函数的单调性判断与证明

考点11.利用函数的单调性求最值

(1)判断函数的单调性．(2)利用单调性求出最大(小)值．

考点12.由函数的单调性求参数的取值范围

【例题12】已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，求实数a的取值范围．【解析】

∵f(x)＝x2－2(1－a)x＋2

＝[x－(1－a)]2＋2－(1－a)2，∴f(x)的减区间是(－∞，1－a].∵f(x)在(－∞，4]上是减函数，∴对称轴x＝1－a必须在直线x＝4的右侧或与其重合．∴1－a≥4，解得a≤－3.故a的取值范围为(－∞，－3].考点13.三点共线问题

【例题13】(1)已知直线经过点A(0，4)和点B(1，2)，则直线AB的斜率为(

)A．3

B．－2C．2D．不存在(2)求证：A(－3，－5)，B(1，3)，C(5，11)三点共线．答案：(1)B

(2)见解析

考点14.求函数的平均变化率

【例题14】函数f(x)＝－2x2＋5在区间[2，2＋Δx]上的平均变化率为________．－8－2Δx

考点15.用函数的平均变化率判断单调性

考点16.函数奇偶性的判断

先求函数定义域，再根据函数奇偶性定义判断．考点16.函数奇偶性的判断

考点17.函数奇偶性的图像特征【例题17】如图，给出了偶函数y＝f(x)的局部图像，试比较f(1)与f(3)的大小．方法一利用偶函数补全图像，再比较f(1)与f(3)的大小；方法二f(1)＝f(－1)，f(3)＝f(－3)，观察图像判断大小．考点17.函数奇偶性的图像特征解析：方法一因函数f(x)是偶函数，所以其图像关于y轴对称，补全图如图．由图像可知f(1)<f(3)．方法二由图像可知f(－1)<f(－3)．又函数y＝f(x)是偶函数，所以f(－1)＝f(1)，f(－3)＝f(3)，故f(1)<f(3)．考点18.利用函数奇偶性求参数【例题18】(1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－2，2a]，则a＝________，b＝________；(2)已知函数f(x)＝ax2＋2x是奇函数，则实数a＝________．(1)函数具有奇偶性，定义域必须关于(0，0)对称．(2)f(0)＝0？

00考点18.利用函数奇偶性求参数

考点19.函数的奇偶性和单调性的综合应用【例题19】(1)已知函数y＝f(x)在定义域[－1，1]上是奇函数，又是减函数，若f(1－a2)＋f(1－a)＜0，求实数a的取值范围．(2)定义在[－2，2]上的偶函数f(x)在区间[0，2]上单调递减，若f(1－m)＜f(m)，求实数m的取值范围．考点19.函数的奇偶性和单调性的综合应用

考点1函数零点的概念及求法

跟踪训练1

若函数f(x)＝x2＋x－a的一个零点是－3，求实数a的值，并求函数f(x)其余的零点．由函数f(x)的零点是－3，得f(－3)＝0，求a.解析：由题意知f(－3)＝0，即(－3)2－3－a＝0，a＝6.所以f(x)＝x2＋x－6.解方程x2＋x－6＝0，得x＝－3或2.所以函数f(x)其余的零点是2.考点20.确定函数零点的个数

答案：(1)B

(2)一个考点20.确定函数零点的个数

考点21.判断函数的零点所在的大致区间【例题21】函数f(x)＝2x－1＋x－5的零点所在的区间为(

)A.(0，1)

B．(1，2)C．(2，3)

D．(3，4)利用f(a)·f(b)＜0求零点区间．答案：C解析：f(2)＝22－1＋2－5＜0，f(3)＝23－1＋3－5＞0，故f(2)·f(3)＜0，又f(x)在定义域内是增函数，则函数f(x)＝2x－1＋x－5只有一个零点，且零点所在的区间为(2，3)．考点22.函数零点的应用

【例题22】

已知关于x的方程|x2－4x＋3|－a＝0有三个不相等的实数根，则实数a的值是________．1解析：如图，由图像知直线y＝1与y＝|x2－4x＋3|的图像有三个交点，则方程|x2－4x＋3|＝1有三个不相等的实数根，因此a＝1.考点22.函数零点的应用

3．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为(

)A．45.606万元

B．45.6万元C．45.56万元

D．45.51万元答案：B

考点23.一次、二次函数模型

【例题23】某列火车从北京西站开往石家庄，全程277km.火车出发10min开出13km，之后以120km/h的速度匀速行驶．试写出火车行驶的总路程s与匀速行驶的时间t之间的函数关系式，并求离开北京2h时火车行驶的路程．求出火车匀速行驶的总时间，可得定义域，再建立总路程关于时间的函数模型．

考点24.分段函数

【例题24】为了迎接世博会，某旅游区提倡低碳生活，在景区提供自行车出租．该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y(元)表示出租自行车的日净收入(日净收入＝一日出租自行车的总收入－管理费用)．(1)求函数y＝f(x)的解析式及其定义域．(2)试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使日净收入最多？(1)利用函数关系建立各个取值范围内的净收入与日租金的关系式，写出分段函数，注意实际问题中自变量的取值范围．(2)利用一次函数的单调性及二次函数的性质分别求分段函数各段上的最大值，取其最大的即可．考点24.分段函数

考点25.一次函数模型的应用

【例题25】若一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，则燃烧剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图像表示为图中的(

)答案：B解析：蜡烛剩下的长度随时间增加而缩短，根据实际意义不可能是D项，更不可能是A、C两项．故选B项．考点26.二次函数模型的应用

【例题26】有A，B两城相距100km，在A，B两城之间距A城xkm的D地建一核电站给这两城供电．为保证城市安全，核电站与城市距离不得少于10km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数λ＝0.25.若A城供电量为20亿度/月，B城供电量为10亿度/月．(1)把月供电总费用y表示成x的函数，并求定义域；(2)核电站建在距A城多远时，才能使供电费用最小？考点26.二次函数模型的应用

考点27.分段函数模型的应用

考点27.分段函数模型的应用

考点27.分段函数模型的应用

03考场练兵

答案：D

答案：A

3．已知函数f(2x＋1)＝6x＋5，则f(x)的解析式是(

)A．3x＋2B．3x＋1C．3x－1D．3x＋4答案：A

4．函数f(x)＝x3－x的零点个数是(

)A．0B．1C．2D．3答案：D解析：f(x)＝x(x－1)(x＋1)，令x(x－1)(x＋1)＝0，解得x＝0，x＝1，x＝－1，即函数的零点为－1，0，1，共3个．5．某生产厂家的生产总成本y(万元)与产量x(件)之间的关系式为y＝x2－80x，若每件产品的售价为25万元，则该厂获得最大利润时，生产的产品件数为(

)A．52B．52.5