北师大版七年级数学上册专项素养综合练课件合集共9套

北师大版七年级数学上册专项素养综合练课件合集共9套专项素养综合全练(一)忽略分类讨论致错归类练易错易错点1遇数轴忽略分类讨论1.(2024河南周口淮阳期中)数轴上点A表示的数是-4,将点A

在数轴上平移6个单位长度得到点B,则点B表示的数是

(

)A.2

B.-2或2

C.-10

D.2或-10D解析将点A向左平移6个单位,得到点B,此时点B表示的数

为-4-6=-10,将点A向右平移6个单位,得到点B,此时点B表示的数为-4+6=

2,所以点B表示的数是2或-10.故选D.2.(2024河南信阳息县期中)如图,圆的直径为1个单位长度,该

圆上的点A与数轴上表示-1的点重合.将圆沿数轴滚动1周,点

A到达点B的位置,则点B表示的数是

(

)

A.π-1

B.-π-1C.-π+1

D.π-1或-π-1D解析因为圆的直径为1个单位长度,所以该圆的周长为π.所以当圆沿数轴向左滚动1周时,点B表示的数是-π-1;当圆沿数轴向右滚动1周时,点B表示的数是π-1.故选D.易错警示注意此题中没有说明滚动的方向,应分两种情况讨论.3.(2023湖南邵阳绥宁期末)数轴上点P所表示的数是-3,点Q

到点P的距离是5,则点Q所表示的数是

.-8或2解析点Q可能在点P的左边,也可能在点P的右边,因此点Q

所表示的数是-8或2.易错点2遇绝对值忽略分类讨论4.(2024山东聊城东昌府期中)绝对值小于3的整数有(

)A.3个

B.4个

C.5个

D.2个C解析绝对值小于3的整数有5个:0,-1,1,-2,2.故选C.5.(2023湖南邵阳绥宁期末)若|m|=|-3|,则m的值为

(

)A.-3

B.3

C.±3

D.-

C解析因为|m|=|-3|,所以|m|=3,所以m=±3.故选C.6.(2024河南焦作温县期中)若|a|=2,|b|=7,则|a+b|的值是

(

)A.5

B.9

C.5或9

D.±5或±9C解析因为|a|=2,所以a=±2.因为|b|=7,所以b=±7.当a=2,b=7时,|a+b|=|2+7|=9;当a=2,b=-7时,|a+b|=|2-7|=5;当a=-2,b=7时,|a+b|=|-2+7|=5;当a=-2,b=-7时,|a+b|=|-2-7|=9.综上,|a+b|的值是5或9,故选C.7.(2024广东揭阳榕城期中)已知|m|=4,|n|=6,且m+n=|m+n|,则m

-n的值是

(

)A.-10

B.-2

C.-2或-10

D.2C解析因为m+n=|m+n|,|m|=4,|n|=6,所以m=4,n=6或m=-4,n=6.所以m-n=4-6=-2或m-n=-4-6=-10.故选C.8.(2023内蒙古呼和浩特玉泉期末)若a的相反数是-2,b的绝对

值是5,则a-b=

.-3或7解析因为a的相反数是-2,b的绝对值是5,所以a=2,b=±5.所以a-b=-3或7.9.(2023河南安阳林州期中)对于有理数x,y,若

<0,则

+

+

的值是

.-1解析因为

<0,所以x,y异号.所以xy<0.所以

=

=-1,当x>0时,y<0,则

=

=-1,

=

=1,所以原式=-1+(-1)+1=-1.当x<0时,y>0,则

=

=1,

=

=-1,所以原式=-1+1-1=-1.故答案为-1.10.(2024山东聊城东昌府期中)若a,b互为相反数,c,d互为倒

数,m的绝对值为5.求m-cd+2(a+b)的值.解析因为a,b互为相反数,所以a+b=0.因为c,d互为倒数,所以cd=1.因为|m|=5,所以m=±5.当m=5时,原式=5-1+2×0=4.当m=-5时,原式=-5-1+2×0=-6.易错点3遇偶次幂忽略分类讨论11.平方等于

的数是

.±解析平方等于

的数是±

.易错警示由于互为相反数的两个数的平方相等,因此平方等于正

数的数有两个.专项素养综合全练(七)一元一次方程的热点应用类型练题型类型一销售问题1.为迎春节,某商家将一件文具按进价的60%提价后标价,销

售时按标价打折销售,最后相对于进价仍获利4%,则这件文

具销售时打

折.六五解析设这件文具销售时打x折,这件文具的进价为a元,依题意,得(1+60%)a×

-a=4%a,解得x=6.5.所以这件文具销售时打六五折.2.(2024上海崇明期末)在元旦“迎新年”期间,商场开展促

销优惠活动,小明喜欢的一件定价为200元的棒球服打8折出

售,即使打折出售,商家的利润率仍能达到60%,那么这套棒球

服的成本价是多少元?解析设这套棒球服的成本价是x元,根据题意,得200×80%-x=60%x,解得x=100.答:这套棒球服的成本价是100元.3.(一题多解)某超市第一次用7000元购进甲、乙两种商品,

其中甲商品的件数是乙商品件数的2倍,甲、乙两种商品的

进价和售价如下表:(注:利润=售价-进价)

甲乙进价(元/件)2030售价(元/件)2540(1)该超市第一次购进甲、乙两种商品各多少件?(2)该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共

可获得多少利润?(3)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品,其

中甲商品的件数不变,乙商品的件数是第一次的3倍,甲商品

按原价销售,乙商品打折销售,第二次两种商品都售完以后获

得的总利润比第一次获得的总利润多800元,第二次乙商品

打几折销售?解析

(1)设第一次购进乙种商品x件,则购进甲种商品2x件,根据题意,得20×2x+30x=7000,解得x=100.2x=200.答:该超市第一次购进甲种商品200件,购进乙种商品100件.(2)(25-20)×200+(40-30)×100=2000(元).答:该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共

可获得利润2000元.(3)解法一:设第二次乙商品打y折销售.根据题意,得(25-20)×200+

×100×3=2000+800,解得y=9.答:第二次乙商品打9折销售.解法二:设第二次乙商品每件售价为y元,根据题意,得(25-20)×200+(y-30)×100×3=2000+800,解得y=36.

×100%=90%.答:第二次乙商品打9折销售.类型二行程问题4.(情境题·现实生活)(2024重庆忠县期末)没有开通高速公路

以前,王老师从杉木村驾车到县城需要2小时.高速公路开通

以后,王老师的车速平均每小时提高了60千米,结果40分钟就

从杉木村到了县城.(1)假设开通高速公路前后从杉木村驾车到县城的路程不变,

求王老师在高速公路开通以前驾车的平均车速;(2)实际上在高速公路开通以后从杉木村到县城的路程还减

少了20千米,求王老师在高速公路开通以后驾车的平均车速.解析

(1)设王老师在高速公路开通以前驾车的平均车速为x

千米/时,根据题意,得2x=

(x+60),解得x=30.答:王老师在高速公路开通以前驾车的平均车速为30千米/

时.(2)设王老师在高速公路开通以后驾车的平均车速为y千米/

时,根据题意,得2(y-60)=

y+20,解得y=105.答:王老师在高速公路开通以后驾车的平均车速为105千米/

时.5.(核心素养·模型观念)(2022江苏扬州广陵月考)一科技小组

进行机器人行走性能测试,如图,已知MN是周长为360米的圆

形跑道的直径,机器人A从点M出发,机器人B从点N出发,机器

人A的行走速度为每分钟a米,机器人B的行走速度为每分钟5

米,当机器人B到达点M时,两个机器人同时停止行走,设行走

的时间为t分钟.(1)若a=15,机器人A顺时针行走,机器人B逆时针行走,如图1,

当t为何值时,机器人A与机器人B第一次相遇?(2)如图2,A、B两个机器人同时顺时针行走,当t=10时,A与B第一次相遇.①求a的值;②当t为何值时,A、B两个机器人在圆形跑道上相距60米?

图1图2解析

(1)由题意得15t+5t=360×

,解得t=9.答:当t为9时,机器人A与机器人B第一次相遇.(2)①由题意得10a-10×5=360×

,解得a=23.②相遇前,23t-5t=360×

-60,解得t=

;相遇后,23t-5t=360×

+60,解得t=

.答:当t为

或

时,A、B两个机器人在圆形跑道上相距60米.类型三工程问题6.(情境题·劳动生产)(2024天津西青期末)整理一批图书,由一

个人整理要30小时完成,现在计划由一部分人先整理2小时,

再增加3人和他们一起整理4小时,完成这项工作,假设每个人

的工作效率相同,先安排x人整理2小时,则可列方程为

(

)A.

x-

(x+3)=1

B.

x+

(x-3)=1C.

(x+3)+

x=1

D.

x+

(x+3)=1D解析由一个人整理要30小时完成,得一个人一小时能完成

全部工作的

.由题意可列方程为

x+

(x+3)=1,故选D.7.一项工程,甲队单独做需12天完成,乙队单独做需20天完成,

丙队单独做需15天完成,现在甲、乙两队先合作4天,剩余的

工作再由乙、丙两队合作完成,求乙队一共做了几天.解析设乙队一共做了x天.则

+

+

=1,解得x=8.答:乙队一共做了8天.8.(2023内蒙古乌兰察布凉城期末)一项工程,甲队单独完成

需30天,乙队单独完成需45天.(1)现甲队先单独做20天,之后两队合作完成.甲、乙两队合

作多少天才能把该工程完成?(2)甲队施工一天需付工程款3.5万元,乙队施工一天需付工

程款2万元.由甲、乙两队合作完成该工程需要多少钱?解析

(1)设甲、乙两队合作x天才能把该工程完成,由题意得

+

=1,解得x=6.答:甲、乙两队合作6天才能把该工程完成.(2)设甲、乙两队合作m天可以把该工程完成,由题意得

+

=1,解得m=18,(3.5+2)×18=99(万元).答:甲、乙两队合作完成该工程需要99万元.类型四配套问题9.(易错题)(2024重庆江津期末)某校社团活动课中,手工制作

社的同学用一种彩色硬纸板制作某种长方体小礼品的包装

盒,每张硬纸板可制作盒身8个或制作盒底12个,1个盒身与2

个盒底配成一套.现有28张这种彩色硬纸板,要使盒身和盒底

刚好配套,设需用x张制作盒身,则下面所列方程正确的是

(

)A.12(28-x)=8x

B.12(28-x)=2×8xC.2×12(28-x)=8x

D.12(14-x)=8xB解析根据“盒底的数量=盒身数量的2倍”可列方程为12(28-x)=2×8x,故选B.类型五分段计费问题10.(易错题)(2024重庆渝北期末)双“十一”活动期间,刘老

师在某平台购买冰箱、彩电和洗衣机,双“十一”活动具体

优惠情况如下表:购物总金额(原价)优惠率不超过5000元的部分10%超过5000元且不超过10000

元的部分20%超过10000元且不超过2000

0元的部分30%……已知刘老师买这三件电器总共花费了6820元.(1)请求出三件电器的原价之和是多少钱.(2)几天后,刘老师发现洗衣机的尺寸不合适,需要退货.商家

规定:消费者要支付优惠差额(即退货商品在购物时所享受的

优惠),并且还要支付洗衣机原价5%的快递费,最终该平台退

还了刘老师2345元,该洗衣机的原价是多少钱?解析

(1)设三件电器的原价之和是x元,由题意,得x-5000×10%-(x-5000)×20%=6820.解得x=7900.答:三件电器的原价之和是7900元.(2)设洗衣机的原价为a元,由题意,得(7900-a)(1-10%)=6820-(2345+5%a),解得a=3100.答:洗衣机的原价为3100元.易错警示注意此题退洗衣机后,原总价不到5000元,不能享受超

过5000元的优惠.专项素养综合全练(三)整式的化简说理题练题型方法归纳在整式运算的过程中,若涉及“不含某项”或“与某项

无关”,其实质是指合并同类项后“不含项”或“无关项”

的系数为0.若一个多项式的值与某字母的取值无关,则该多

项式中含这个字母的项的系数为0.若整式加减运算的结果

为定值,则运算的结果中不含有任何字母.题型一“不含型”问题1.(2024广东揭阳榕城期中)已知关于x的多项式-2x3+6x2+9x+

1-(3ax2-5x+3)化简后不含x2项,那么a的值是

(

)A.-3

B.3

C.-2

D.2D解析-2x3+6x2+9x+1-(3ax2-5x+3)=-2x3+6x2+9x+1-3ax2+5x-3=-2x3+(6-3a)x2+14x-2.因为关于x的多项式-2x3+6x2+9x+1-(3ax2-5x+3)化简后不含x2

项,所以6-3a=0,解得a=2.故选D.2.(2024山东济宁梁山期中)若关于x的多项式3

-(mx2-6x-1)化简后不含x项和x2项,则m+n=

.-1解析

3

-(mx2-6x-1)=3x3+x2+3nx-mx2+6x+1=3x3+(1-m)x2+(3n+6)x+1.因为关于x的多项式3

-(mx2-6x-1)化简后不含x项和x2项,所以1-m=0,3n+6=0.所以m=1,n=-2,所以m+n=1-2=-1.3.已知多项式A=ay-1,B=3ay-5y-1,且多项式2A+B中不含字母

y,求a的值.解析

2A+B=2(ay-1)+(3ay-5y-1)=2ay-2+3ay-5y-1=5ay-5y-3=5(a-1)y-3.因为多项式2A+B中不含字母y,所以5(a-1)=0,所以a-1=0,所以a=1.题型二“无关型”问题4.若多项式3x2-3(5+y-2x2)+mx2的值与x的值无关,则m等于

(

)A.0

B.3

C.-3

D.-9D解析

3x2-3(5+y-2x2)+mx2=3x2-15-3y+6x2+mx2=(9+m)x2-3y-15.因为多项式3x2-3(5+y-2x2)+mx2的值与x的值无关,所以9+m=0,解得m=-9.故选D.5.已知A=2a2+3ab-2a-1,B=-a2+

ab+

.(1)求4A-(3A-2B)的值;(2)若(1)中式子的值与a的取值无关,求b的值.解析

(1)因为A=2a2+3ab-2a-1,B=-a2+

ab+

,所以原式=4A-3A+2B=A+2B=2a2+3ab-2a-1-2a2+ab+

=4ab-2a+

.(2)由(1)得原式=(4b-2)a+

,由(1)中式子的值与a的取值无关,得4b-2=0,解得b=

.题型三“定值型”问题6.在数学课上,王老师出示了这样一道题目:“当a=

,b=-3时,求多项式2a2+4ab+2b2-2(a2+2ab+b2-1)的值.”解完这道题后,

小明指出:“a=

,b=-3是多余的条件.”师生讨论后,一致认为小明的说法是正确的.(1)小明的说法为什么是正确的?(2)受此启发,王老师又出示了一道题目:“已知无论x,y取何

值,多项式2x2-my+12-(nx2+3y-6)的值都等于定值18,求m+n的

值.”请你解决这个问题.解析

(1)2a2+4ab+2b2-2(a2+2ab+b2-1)=2a2+4ab+2b2-2a2-4ab-2b2+2=2.所以该多项式的值为常数,与a和b的取值无关,小明的说法是

正确的.(2)2x2-my+12-(nx2+3y-6)=2x2-my+12-nx2-3y+6=(2-n)x2+(-m-3)y+18,因为无论x,y取什么值,多项式2x2-my+12-(nx2+3y-6)的值都等

于定值18,所以2-n=0,-m-3=0,解得n=2,m=-3.所以m+n=-3+2=-1.7.(新考向·代数推理)(2024河南平顶山宝丰期中)已知A=2a2+

3ab-2a-1,B=a2+ab-1.(1)若(a+2)2+|b-3|=0,求A-2B的值.(2)当b=

时,无论a取何值,A-2B的值总是一个定值

.解析

(1)A-2B=2a2+3ab-2a-1-2(a2+ab-1)=2a2+3ab-2a-1-2a2-2ab+2=ab-2a+1.因为(a+2)2+|b-3|=0,(a+2)2≥0,|b-3|≥0,所以a+2=0,b-3=0,所以a=-2,b=3.所以原式=(-2)×3-2×(-2)+1=-6+4+1=-1.(2)由(1)知,A-2B=ab-2a+1=a(b-2)+1.所以当b=2时,无论a取何值,A-2B的值总是一个定值1.故答案为2;1.专项素养综合全练(九)新定义型试题练趋势类型一新运算型1.(2024山东聊城东昌府期中)用“☆”定义一种新运算:对

于任意有理数a和b,规定a☆b=ab2+a.如:1☆3=1×32+1=10,则(-2)☆3的值为

(

)A.10

B.-15

C.-16

D.-20D解析根据题意得(-2)☆3=-2×32-2=-18-2=-20,故选D.2.规定

=a1b2-a2b1,若

=-4,则x=

.2解析

因为

=a1b2-a2b1,

=-4,所以4(2x-3)-2(x+2)=-4.去括号,得8x-12-2x-4=-4.移项、合并同类项,得6x=12.系数化为1,得x=2.故答案为2.3.(2024河南焦作温县期中改编)符号“f”“g”分别表示一

种运算,它对一些数的运算结果如下:(1)f(1)=0,f(2)=1,f(3)=2,f(4)=3,……,f(10)=9,……;(2)g

=2,g

=3,g

=4,g

=5,……,g

=11,…….利用以上规律计算:g

-f(2028)=

.1解析由题意,可得f(n)=n-1,g

=n,所以g

-f(2028)=2028-2027=1.4.定义一种新的运算:对于任意有理数a,b,都有a

b=a+b,a

b=a-b,等式右边是通常的加法、减法运算,例如:a=2,b=1,则a

b=2+1=3,a

b=2-1=1.(1)求(-2)

3+4

(-2)的值.(2)化简:a2b

3ab+5a2b

4ab.解析

(1)根据题意得(-2)

3+4

(-2)=(-2)+3+4-(-2)=7.(2)根据题意得a2b

3ab+5a2b

4ab=a2b+3ab+5a2b-4ab=6a2b-ab.5.(2022安徽阜阳颍州模拟)观察下列各式,发现运算“⊗”

满足规律如下:1⊗3=1×4+3=7;0⊗6=0×4+6=6;3⊗(-1)=3×4-1=11;(-8)⊗5=(-8)×4+5=-27;(-4)⊗(-3)=(-4)×4-3=-19;……根据以上规律,解决下列问题:(1)直接写出:2⊗0=

;a⊗b=

(用含a、b的式子表示);(2)求证:当x=y时,x⊗y=y⊗x.解析

(1)由题意得2⊗0=2×4+0=8,a⊗b=a×4+b=4a+b.(2)证明:当x=y时,x⊗y=x×4+y=4x+y=5x,y⊗x=y×4+x=4y+x=5x,

所以x⊗y=y⊗x.类型二新概念型6.(2024山东临沂临沭期中)设[x]表示不超过x的最大整数,如

[2.7]=2,[-4.5]=-5,则[3.7]和[-6.5]所对应的点在数轴上的距离

是

.10解析由题意得[3.7]=3,[-6.5]=-7,所以[3.7]和[-6.5]所对应的点在数轴上的距离是3-(-7)=10.7.如图,射线OC在∠AOB的内部,图中共有3个角:∠AOB,∠AOC和∠BOC,若其中有一个角的度数是另一个角度数的两

倍,则称射线OC是∠AOB的“巧分线”.若∠AOB=60°,且射

线OC是∠AOB的“巧分线”,则∠AOC的度数为

.

20°或30°或40°解析若∠AOB=60°,且射线OC是∠AOB的“巧分线”,则

由“巧分线”的定义可知有三种情况:①∠BOC=2∠AOC,此时∠AOC=20°;②∠AOB=2∠AOC,此时∠AOC=30°;③∠AOC=2∠BOC,此时∠AOC=40°.故答案为20°或30°或40°.8.(新考法)(2023福建宁德福鼎期中)对于有理数a,b,n,d,若|a-n|+|b-n|=d,则称a和b关于n的“理想值”为d,例如:|2-1|+|3-1|=

3,则2和3关于1的“理想值”为3.(1)-2和3关于2的“理想值”为

;(2)若a和-2关于1的“理想值”为4,求a的值;(3)若a和b关于1的“理想值”为2,求a+b的最大值.解析本题借助绝对值考查新定义中的整式计算.(1)-2和3关于2的“理想值”为|-2-2|+|3-2|=5.故答案为5.(2)因为a和-2关于1的“理想值”为4,所以|a-1|+|-2-1|=4,所以|a-1|=1,所以a=2或a=0.(3)因为a和b关于1的“理想值”为2,所以|a-1|+|b-1|=2,当a-1>0,b-1>0时,a+b的值最大,此时|a-1|+|b-1|=a-1+b-1=2,所以a+b=4,所以a+b的最大值是4.类型三新方法型9.任何一个无限循环小数都可以写成分数的形式,应该怎样

写呢?我们以无限循环小数0.

为例进行说明:设0.

=x,由0.

=0.7777…可知,10x=7.7777…,所以10x-x=7,解方程,得x=

,于是得0.

=

.将0.

写成分数的形式是

.

解析设0.

=x,则100x=45.

,所以100x-x=45.解得x=

.类型四新知识型10.(中点模型)(2024山东临沂临沭期中改编)【知识背景】数轴是初中数学的一个重要工具,利用数轴可以将数与形完

美结合.研究数轴我们发现了很多重要的规律:比如数轴上点

A,B表示的数为a,b,则A,B两点之间的距离AB=|a-b|;线段AB的

中点P表示的数为

.【问题呈现】已知数轴上两点A,B表示的数分别为-20,10,点M从点A出发,以每秒3个单位长度的速度向点B运动,同时点N从点B出发,

以每秒2个单位长度的速度向点A运动.设线段MN的中点

为P,点N的运动时间为t秒(t>0).(1)线段AB的中点表示的数为

,点M表示的数为

,点N表示的数为

(用含t的代数式表示);(2)当点P与数轴上表示-2的点重合时,求t的值;(3)当M,N两点相距10个单位长度时,求t的值.

解析

(1)线段AB的中点表示的数为

=-5,由题意得t秒后,点M表示的数为3t-20,点N表示的数为10-2t,故答案为-5;3t-20;10-2t.(2)线段MN的中点P表示的数为

=

.由题意得

=-2,解得t=6.(3)点M表示的数为3t-20,点N表示的数为10-2t,由题意得|10-2t-(3t-20)|=10,整理得|30-5t|=10,解得t=8或t=4.所以t的值为8或4.专项素养综合全练(二)有理数的运算技巧练方法方法一归类相加方法归纳(1)互为相反数的两数先相加——“相反数结合法”;(2)符号相同的数先相加——“同号结合法”;(3)分母相同的数先相加——“同形结合法”;(4)相加能得到整数的数先相加——“凑整法”.1.计算:(-41)+18+(-39)+12.解析原式=[(-41)+(-39)]+(18+12)=-50.2.计算:5

+4

+2

+2

.解析原式=

+

=8+7=15.3.计算:

+15.5+

+

.解析原式=

+15

+

+

=

+

=10-10=0.4.计算:(-45)-(+9)-(-45)+(+9).解析原式=(-45)+(-9)+45+9=[(-45)+45]+[9+(-9)]=0+0=0.5.计算:

+3+

-

+5+

-

.解析原式=

+

+(3+5)+

=0+0+8+

=8

.方法二拆项重组方法归纳带分数相加时,先拆成整数和真分数的和,再利用加法的运算

律进行相加.6.阅读下面文字:对于

+

+17

+

可以进行如下计算:原式=

+

+

+

=[(-5)+(-9)+17+(-3)]+

+

-

+

+

-

=0+

=-1

.上面这种方法叫拆项法,类比上面的方法计算:(1)

+22

+

+24

;(2)

+

+4000

+

.解析

(1)

+22

+

+24

=

+

+

+

=(-23+22-21+24)+

=2-

=

.(2)

+

+4000

+

=

+

+

+

=[-1+(-2000)+4000+(-1999)]+

-

+

+

+

=0+

=-

.方法三倒序相加方法示例例题:计算1+2+3+…+98+99+100的和.解:令S=1+2+3+…+98+99+100①,S=100+99+98+…+3+2+1②,①+②,得2S=(1+100)×100,解得S=5050.7.计算:2+4+6+8+…+2024.解析令S=2+4+6+8+…+2024①,S=2024+…+8+6+4+2②,①+②得2S=(2+2024)×

=2026×1012,所以S=2026×506=1025156.方法四改变顺序方法归纳可以利用运算律改变运算顺序,简化运算.其中,乘法分配律

可正用、逆用、拆项运用等.8.(2024广东揭阳榕城期中)计算:-14-

×24+|-4|.解析原式=-1-

+4=-1-(14-20+36)+4=-1-30+4=-27.9.(2024山西大同期中)阅读下面材料.利用运算律有时能进行简便计算.例1:98×12=(100-2)×12=1200-24=1176.例2:-16×233+17×233=(-16+17)×233=233.参照上面的例题.利用运算律进行简便计算:(1)

÷9;(2)

×

+

×

+2

×

.解析

(1)

÷9=

×

=-9×

-

×

=-1-

=-1

.(2)

×

+

×

+2

×

=

×

=

×

=

×1=

.方法五错位相减方法归纳多个数求和,且相邻两数比值为定值,例如:1+a+a2+a3+…+an,

其中a≠1.令S=1+a+a2+a3+…+an,其中a≠1,等号左右两边同时乘a,得到

aS=a+a2+a3+…+an+an+1,两个等式错位相减,得(a-1)S=an+1-1,从

而求得S=

,所以1+a+a2+a3+…+an=

,其中a≠1.10.为了求1+3+32+33+…+3100的值,可令M=1+3+32+33+…+3100,

则3M=3+32+33+…+3101.因此3M-M=3101-1,所以M=

,即1+3+32+33+…+3100=

,仿照以上推理计算:1+5+52+53+…+52026的值.解析设M=1+5+52+53+…+52026,则5M=5+52+53+…+52027,所以5M-M=52027-1,所以4M=52027-1,所以M=

,即1+5+52+53+…+52026=

.方法六裂项相消方法归纳1.逆用分数的加减法法则,可得规律

=

-

(n为正整数).2.根据规律把每一项拆成两项,再把互为相反数的项消去.11.计算:(1)

+

+

+

;(2)

+

+

+

+

.解析

(1)

+

+

+

=1-

+

-

+

-

+

-

=1-

=

.(2)

+

+

+

+

=

+

+

+

+

=

×

1-

+

-

+

-

+

-

+

-

=

×

=

.易错警示把每一项拆成两项时,注意变形前后的值相等,即要进行

恒等变形.专项素养综合全练(五)线段与角计算中的思想方法练方法思想方法一方程思想1.(1)如图1,已知点C为AB上一点,AC=15cm,CB=

AC,若D,E分别为AC,AB的中点,求DE的长.(2)如图2,∠AOC∶∠COD∶∠DOB=2∶3∶4,OM平分∠AOC,ON平分∠DOB,且∠MON=90°,求∠AOB的度数.

解析

(1)因为AC=15cm,CB=

AC,所以CB=

×15=10(cm).所以AB=15+10=25(cm).因为D,E分别为AC,AB的中点,所以AE=

AB=12.5cm,AD=

AC=7.5cm,所以DE=AE-AD=12.5-7.5=5(cm).(2)因为∠AOC∶∠COD∶∠DOB=2∶3∶4,所以设∠AOC=2x,∠COD=3x,∠DOB=4x,则∠AOB=9x.因为OM平分∠AOC,ON平分∠DOB,所以∠MOC=x,∠NOD=2x,所以∠MON=x+3x+2x=6x=90°,所以x=15°.所以∠AOB=135°.思想方法二分类讨论思想2.(2024山东菏泽成武期中)点A,B,C是直线l上三点,如果点M

是线段AB的中点,点N是线段BC的中点,若AB=10,BC=4,则

MN=

(

)A.6

B.3或7

C.3

D.7B解析①当点C在线段AB的延长线上时,如图1,因为点M为

线段AB的中点,点N为线段BC的中点,AB=10,BC=4,所以MB=

AB=5,BN=

BC=2.所以MN=MB+BN=5+2=7.

②当点C在线段AB上时,如图2,因为点M为线段AB的中点,点

N为线段BC的中点,AB=10,BC=4,所以MB=

AB=5,BN=

BC=2,所以MN=MB-BN=5-2=3.

所以MN的长为7或3.故选B.3.(2023湖北武汉新洲期末)已知∠AOB=100°,过点O作射线

OC,使∠AOC=20°,OM是∠BOC的平分线,则∠BOM的度数

为

.40°或60°解析如图1所示,当射线OC在∠AOB内部时,因为∠AOB=100°,∠AOC=20°,所以∠BOC=∠AOB-∠AOC=80°.因为OM是∠BOC的平分线,所以∠BOM=

∠BOC=40°.如图2所示,当射线OC在∠AOB外部时,

因为∠AOB=100°,∠AOC=20°,所以∠BOC=∠AOB+∠AOC=120°.因为OM是∠BOC的平分线,所以∠BOM=

∠BOC=60°.综上所述,∠BOM=40°或60°.4.(情境题·中华优秀传统文化)(2023辽宁沈阳皇姑期末)图①

中的水车是一种古老的提水灌溉工具,图②是它的示意图,水

车的主体是一个圆形,且被等分成了8份,△OAB是水车的支

架,∠AOB=60°.水车的支架固定不动,水车的主体可绕着圆

心O旋转.(1)求∠COD的度数;(2)在图②中,若OC平分∠AOB,求∠BOD的度数;(3)在水车的旋转过程中,设∠BOD的度数为x°,直接写出∠AOC的度数(用含x的代数式表示).解析

(1)∠COD=360°÷8=45°.(2)因为∠AOB=60°,OC平分∠AOB,所以∠BOC=

∠AOB=

×60°=30°,所以∠BOD=∠COD-∠BOC=45°-30°=15°.(3)当OC不在∠AOB外且OD不在∠AOB内时,如图1所示,因为∠BOD=x°,∠COD=45°,所以∠BOC=∠COD-∠BOD=45°-x°.因为∠AOB=60°,所以∠AOC=∠AOB-∠BOC=(15+x)°;

当OC不在∠AOB外且OD在∠AOB内时,如图2所示,因为∠BOD=x°,∠COD=45°,∠AOB=60°,所以∠AOC=∠AOB-∠BOD-∠COD=(15-x)°;

当OD在∠AOB左侧时,如图3所示,因为∠BOD=x°,∠COD=45°,∠AOB=60°,所以∠AOC=∠BOD+∠COD-∠AOB=(x-15)°;

当OC在∠AOB右侧时,如图4所示,因为∠BOD=x°,∠COD=45°,∠AOB=60°,所以∠AOC=∠AOB+∠BOD-∠COD=(x+15)°;

当∠COD在圆形的顶部,且位于∠AOB的对顶角内部时(角

的边可以重合),如图5所示,

此时,∠AOC+∠BOD=360°-∠AOB+∠COD=345°.所以∠AOC=(345-x)°.综上所述,∠AOC的度数为(x-15)°或(15-x)°或(x+15)°或(345

-x)°.思想方法三整体思想5.(2023湖北黄石期末)如图,已知点A,B在数轴上表示的数分

别为-2和14,点C,D在线段AB上,且CD=4,点E,F分别是AC,BD

的中点.(1)若AC=4,求线段EF的长.(2)当线段CD在线段AB上运动时,试判断EF的长度是否发生

变化.如果不变,请求出EF的长;如果变化,请说明理由.

解析

(1)因为点A,B在数轴上表示的数分别为-2和14,所以

AB=16.因为CD=4,AC=4,所以BD=AB-CD-AC=8.因为E,F分别是AC,BD的中点,所以CE=

AC=2,DF=

BD=4.所以EF=CE+CD+DF=10.(2)不变.因为AB=16,CD=4,所以AC+BD=AB-CD=12.因为E,F分别是AC,BD的中点,所以CE=

AC,DF=

BD.所以CE+DF=

AC+

BD=

(AC+BD)=6,所以EF=CE+CD+DF=10.专项素养综合全练(八)跨学科专题练趋势类型一信息技术中的探索规律1.在计算机程序中,二叉树是一种表示数据结构的方法.如图,

一层二叉树的结点总数为1;二层二叉树的结点总数为3;三层

二叉树的结点总数为7;……,照此规律,七层二叉树的结点总

数为

.127解析

根据题意可得,n层二叉树的结点总数为2n-1,故七层二

叉树的结点总数为27-1=127.类型二生物中的探索规律2.科学发现:植物的花瓣、萼片、果实的数目以及其他方面

的特征,都非常吻合一个奇特的数列——著名的斐波那契数

列:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…,仔细观察以上数列,则它的第12

个数应该是

.144解析因为数列为1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…,所以第11个数是34+55=89,所以第12个数是55+89=144.故答案为144.类型三医学中的钟面角3.现代人常常受到颈椎不适的困扰,其症状包括酸胀、隐

痛、发紧、僵硬等,而将两臂向上抬,举到10点10分处,每天

连续走200米,能有效缓解此症状.这里的10点10分处指的是

时钟在10点10分时时针和分针的夹角,则这个夹角的度数是

°.115解析当时钟的时间为10点整时,时针、分针的夹角是60°,当时钟的时间为10点10分时,时针走了5°,分针正好走了60°,此时时针和分针的夹角是60°-5°+60°=115°.故答案为115.类型四语文中的图形和一元一次方程4.(2024辽宁抚顺望花期末)诗人张协在《杂诗十首》中用

“腾云似涌烟,密雨如散丝”描写雨的细密.其中“细雨如散

丝”表现的数学原理是

.点动成线解析“细雨”可看成“点”,“丝”可看成“线”,因此

“细雨如散丝”表现的数学原理是点动成线.5.众所周知,中华诗词博大精深,集大量的情景、情感于短短

数字之间,或豪放,或婉约,或思民生疾苦,或抒发己身豪情逸

致,文化价值极高.而数学与古诗词更是有着密切的联系.古

诗中,五言绝句是四句诗,每句都是五个字;七言绝句是四句

诗,每句都是七个字.有一本诗集,其中五言绝句比七言绝句

多13首,总字数反而少了20个字,则七言绝句有多少首?解析设七言绝句有x首,根据题意,可列方程为28x-20(x+13)=20,解得x=35.答:七言绝句有35首.类型五地理中的科学记数法6.(2023江苏无锡梁溪二模)古代为便于纪元,乃在无穷延伸

的时间中,取天地循环终始为一巡,称为元,以元作为计算时

间的最大单位,1元=129600年,其中129600用科学记数法表

示为

.1.296×105

类型六物理中的角7.(2022山东威海中考)图1是光的反射规律示意图.其中,PO

是入射光线,OQ是反射光线,法线KO⊥MN,∠POK是入射角,

∠KOQ是反射角,∠KOQ=∠POK.图2中,光线自点P射入,经

镜面EF反射后经过的点是

(

)B图1

图2A.A点

B.B点

C.C点

D.D点解析如图所示.

根据图形可以得到∠POK=∠BOK,所以OB是反射光线,故选

B.专项素养综合全练(六)一元一次方程的解法技巧练方法类型一逆向去括号1.(1)解方程

=7,下列变形最简便的是哪一个?甲:两边乘5,得4

=35.乙:两边除以

,得

x-30=

.丙:去括号,得x-24=7.丁:方程整理,得

·

=7.(2)利用上面最简便的解法解方程:

=1.解析

(1)变形最简便的是丙.(2)由

=1得3

+2=1,即3x-2+2=1,解得x=

.2.解方程:

-x=2.解析去括号,得

-1-3-x=2.移项、合并同类项,得-

x=6.方程两边都乘-

,得x=-8.类型二化小数为整数3.(一题多解)解方程:

-

=3.解析解法一:整理,得

-

=3,5y-10-2y-2=3.移项、合并同类项,得3y=15.系数化为1,得y=5.解法二(方程左边第一项分子、分母都乘50,第二项分子、分

母都乘2,直接化小数为整数,并去掉分母):整理,得5y-10-2y-2=3.移项、合并同类项,得3y=15.系数化为1,得y=5.方法归纳首先利用分数的基本性质,把分母中的小数化为整数,再

按常规解一元一次方程的方法求解.注意分数的基本性质与

等式的基本性质的区别.4.解方程:(1)

-1=

+1;(2)

-

=1.2;(3)

-

=x;(4)

-

=

.解析

(1)整理,得

-1=

+1.去分母,得4(20x+10)-12=3(10x-10)+12.去括号,得80x+40-12=30x-30+12.移项,得80x-30x=-30+12-40+12.合并同类项,得50x=-46.系数化为1,得x=-

.(2)去分母,得5(x-1)-3(x+2)=1.8.去括号,得5x-5-3x-6=1.8.移项,得5x-3x=1.8+5+6.合并同类项,得2x=12.8.系数化为1,得x=6.4.(3)整理,得

-

=x.去分母,得3(3x-5)-2(12-5x)=6x.去括号,得9x-15-24+10x=6x.移项,得9x+10x-6x=15+24.合并同类项,得13x=39.系数化为1,得x=3.(4)原方程整理,得2(4x-1.5)-5(5x-0.8)=10(1.2-x).去括号,得8x-3-25x+4=12-10x.移项,得8x-25x+10x=12+3-4.合并同类项,得-7x=11.系数化为1,得x=-

.类型三整体求解5.已知方程

-3

=

,求式子11+2

的值.解析

-3

=

,2-18

=5,-18

=3,x-

=-

.所以11+2

=1