专题11双曲线（重难点突破）

专题11双曲线考情分析考点梳理考点一双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于非零常数(小于eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2)))的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P＝{Meq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MF1))))－\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MF2))))＝2a}，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2))＝2c，其中a，c为常数，且a>0，c>0.(1)当a＜c时，点P的轨迹是双曲线；(2)当a＝c时，点P的轨迹是两条射线；(3)当a＞c时，点P不存在．

考点二双曲线的标准方程和几何性质标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x离心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)a，b，c的关系c2＝a2＋b2实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(A1A2))＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(B1B2))＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长重难点题型突破重难点题型突破一双曲线的定义及其应用例1．（1）、（2020·全国高二单元测试）如图所示，已知定圆F1：x2＋y2＋10x＋24＝0，定圆F2：x2＋y2－10x＋9＝0，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程.【答案】.【分析】由题意可得|MF2|－|MF1|＝3＜10＝|F1F2|，利用双曲线的定义即可求解.【详解】圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，圆心F1(－5,0)，半径r1＝1.圆F2：(x－5)2＋y2＝42，圆心F2(5,0)，半径r2＝4.设动圆M的半径为R，则有|MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4，∴|MF2|－|MF1|＝3＜10＝|F1F2|.∴点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的左支，且a＝，c＝5，于是b2＝c2－a2＝.故动圆圆心M的轨迹方程为.（2）、（2021·江西省万载中学高二阶段练习（理））若方程表示的图形是双曲线，则m的取值范围是（

）A．m＞5 B．m＜－4 C．m＜－4或m＞5 D．－4＜m＜5【答案】D【解析】【分析】由方程表示双曲线有，即可求参数范围.【详解】由题设，，可得.故选：D【变式训练11】、（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知圆的圆心为，过点的直线交圆于两点，过点作的平行线，交直线于点，则点的轨迹是（

）A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线【答案】C【解析】【分析】先利用线线平行、等腰三角形得到两角相等及线段相等，再利用双曲线的定义进行证明.【详解】将化为，即该圆的圆心为，半径为，因为，所以，又，所以，则，即，所以，所以点的轨迹是双曲线.故选：C.【变式训练12】、（2022·湖北·房县第一中学模拟预测）在平面直角坐标系中，已知圆：，点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线与直线相交于点，设点的轨迹为曲线，则曲线的方程为________.【答案】.【解析】【分析】根据圆的性质，结合线段垂直平分线的性质、双曲线的定义进行求解即可.【详解】因为在线段的垂直平分线上，所以，所以，由双曲线的定义知点的轨迹是以为焦点，为实轴长的双曲线，则，，得，所以曲线的方程为，故答案为：重难点题型突破二双曲线的标准方程例2．（2022·青海·海南藏族自治州高级中学高二期末（文））求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)焦点坐标为，且经过点；(2)焦点在坐标轴上，经过点.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）利用双曲线定义求出双曲线的实轴长即可计算作答.（2）设出双曲线的方程，利用待定系数法求解作答.(1)因双曲线的焦点坐标为，且经过点，令双曲线实半轴长为a，则有，解得，双曲线半焦距，虚半轴长b有，所以所求双曲线的标准方程为.(2)依题意，设双曲线的方程为：，于是得，解得：，所以所求双曲线的标准方程为.【变式训练21】、（2020·黑龙江·大兴安岭实验中学高二期中）求满足下列条件的双曲线的标准方程：(1)焦点分别为，，且经过点；(2)经过点，；【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）设双曲线的方程为，代入点坐标，结合，即得解；（2）设双曲线的方程为，代入点坐标，待定系数即得解(1)由题易知焦点在y轴上，设双曲线的方程则解得：所以所求双曲线的标准方程为(2)设双曲线的方程为：代入点坐标得到：解得：故双曲线的标准方程为：例3．（1）、（2022·江西上饶·高二期末（理））与双曲线有相同的渐近线，且过点的双曲线的标准方程为___________.【答案】【解析】【分析】利用与双曲线有相同的渐近线及点在双曲线上即可求解.【详解】由题意可知，设，因为所求双曲线过点，所以，解得.所以所求双曲线的标准方程为：.故答案为：.（2）、（2022·北京市十一学校高二期末）已知双曲线的虚轴长为，离心率为，则其方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根据题意，得到，结合，求得的值，即可求解.【详解】由题意，双曲线的虚轴长为，离心率为，可得，即，因为，解得：.所以曲线的方程为.故选：C.【变式训练31】、（2022·广西梧州·高二期末（理））设双曲线C：（，）的左焦点为F，直线过点F且与双曲线C在第二象限的交点为P，，其中O为坐标原点，则双曲线C的方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】将左焦点坐标代入中可求出，设右焦点为N，连接，，，则三角形为直角三角形，可得，，然后利用双曲线的定义列方程可求出，从而可求出双曲线的方程【详解】设左焦点F的坐标为，由点F过直线，所以，解得，设右焦点为N，连接，，.由，故三角形为直角三角形，即,又因为直线斜率为，设直线倾斜角为，则.又，则，，由双曲线定义，则，所以，所以所以双曲线C的方程为.故选：D.【变式训练32】、（2022·全国·高二课时练习）已知焦点､，双曲线上的一点P到､的距离差的绝对值等于6，双曲线的标准方程为___________.【答案】【解析】【分析】根据双曲线的定义，结合焦点坐标，即可求得，从而解得其标准方程.【详解】因为双曲线的焦点为､，故可设其方程为，且，根据双曲线的定义，由题可得：，即，故，则所求所曲线方程为：.故答案为：.重难点题型突破三双曲线的几何性质及其应用例4．（1）、（广东省揭阳市20212022学年高二下学期期末数学试题）设双曲线的焦点在x轴上，两条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根据渐近线方程可得，然后由离心率公式可得.【详解】由题知，所以.故选：D（2）、（2022·河南平顶山·高二期末（文））已知点是双曲线右支上一点，为坐标原点，为虚轴的上端点，若为等腰直角三角形，点为直角顶点，则该双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根据已知作出图形，利用勾股定理及锐角三角函数求出点的坐标，结合点在双曲线上及双曲线的离心率公式即可求解.【详解】由题意可知，，如图所示因为为等腰直角三角形，点为直角顶点，所以,即，解得，在中，所以.因为点是双曲线右支上一点，所以，解得，所以该双曲线的离心率为.故选：A.（3）、（2022·广东茂名·高二期中）（多选题）在平面直角坐标系xoy中，已知双曲线，则（

）A．实轴长为B．渐近线方程为C．离心率为2D．过双曲线的右焦点且倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，则【答案】BD【解析】【分析】根据双曲线方程求出，然后逐个分析判断即可【详解】由，得，则，对于A，双曲线的实轴长为，所以A错误，对于B，由，得，所以渐近线方程为，所以B正确，对于C，双曲线的离心率为，所以C错误，对于D，双曲线的右焦点为，则直线的方程为，设，将代入得，，所以，所以，所以D正确，故选：BD【变式训练41】、（2022·四川省资阳市雁江区伍隍中学高二阶段练习（理））若双曲线的焦距为，则_________【答案】2【解析】【分析】根据双曲线的标准方程可知，再结合焦距为，即可求解.【详解】因为双曲线的标准方程为，所以，又焦距，所以，因为，所以，故答案为：2【变式训练42】、（2022·湖北·高二期末）（多选题）已知双曲线的焦距为4，两条渐近线的夹角为，则下列说法正确是（

）A．M的离心率为 B．M的标准方程为C．M的渐近线方程为 D．直线经过M的一个焦点【答案】ACD【解析】【分析】根据题意，过一三象限的渐近线的斜率为或两种情况，根据可求得双曲线方程，再逐个辨析即可【详解】根据题意双曲线的焦距为4，两条渐近线的夹角为，有，①，双曲线的两条渐近线的夹角为，则过一三象限的渐近线的斜率为或，即或，②联立①②可得：，，或，，；因为，所以，，，故双曲线的方程为对A，则离心率为，故A正确.对B，双曲线的方程为，故B错误；对C，渐近线方程为，故C正确；对D，直线经过M的一个焦点，所以D正确.故选：ACD【变式训练43】、（2022·福建厦门·高二期末）双曲线的左焦点为，，过点A作C的渐近线的垂线，垂足为M．若，则C的离心率为______．【答案】2【解析】【分析】设，则，再根据与渐近线垂直可得的坐标，进而根据，利用正切值列式计算即可【详解】由题意，设，因为，则.又与渐近线垂直，且，故，所以，故，即，又，所以，即，故，，即，故离心率故答案为：2重难点题型突破四直线与双曲线的综合应用例5．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为、，双曲线的右顶点在圆上，且．(1)求双曲线的方程；(2)动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于点、，设为坐标原点．求证：的面积为定值．【答案】(1)(2)证明见解析【解析】【分析】（1）设,通过,求解,通过在圆上,求解,得到双曲线的标准方程.（2）当动直线的斜率不存在时,求解三角形的面积;当动直线的斜率存在时,且斜率,不妨设直线,联立直线与双曲线方程,求出,然后求解的坐标,求解,结合原点到直线的距离,求解的面积是为定值即可.(1)不妨设,因为,从而故由,又因为,所以,又因为在圆上,所以所以双曲线的标准方程为：(2)设直线与轴交于点，双曲线的渐近线方程为由于动直线与双曲线恰有1个公共点,且与双曲线的两条渐近线分别交于点,当动直线的斜率不存在时,,，,当动直线的斜率存在时,且斜率,不妨设直线,故由依题意，且,化简得,故由,同理可求,,所以又因为原点到直线的距离,所以,又由所以,故的面积是为定值,定值为例6．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（文））已知椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，且.(1)求椭圆的标准方程；(2)过椭圆的右焦点且斜率为1的直线交椭圆于两点（点在轴上方），线段的垂直平分线交直线于点，求以为直径的圆的方程.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）由题知，进而结合题意，根据椭圆的离心率公式得，进而得答案；（2）根据题意得直线方程为，进而与椭圆联立方程得，进而得，再求解圆的方程即可.(1)解：双曲线的离心率，，其中，所以椭圆方程为：(2)解：由题知，故直线方程为，联立直线与椭圆方程得，，其中点为所以，垂直平分线为：以为直径的圆的圆心为：，半径为，以为直径的圆的方程为：例7．（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（理））已知圆M：上动点Q，若，线段QN的中垂线与直线QM交点为P．(1)求交点P的轨迹C方程；(2)若A，B分别轨C与x轴的两个交点，D为直线上一动点，DA，DB与曲线C的另一个交点分别是E、F、证明：直线EF过一定点．【答案】(1)(2)证明见解析【解析】【分析】（1）数形结合，由双曲线定义可得；（2）设直线方程分别解得E、F的坐标，然后可得直线EF方程，化简可证.(1)由题知，所以由双曲线定义可知点P的轨迹为双曲线，其中，得曲线C的方程(2)设点由，设直线DA与曲线另一个交点为E，直线DB与曲线另一个交点为F（其中，，若等于，此时其中一条直线与其中一条渐近线平行，与曲线C只有一个交点．）由直线DA：代入曲线C：得得由即直线DB：代入曲线C：中将，得由即∴∴EF：即故直线恒过一定点例8．（2022·上海·模拟预测）设A、B是双曲线上的两点，点是线段的中点．(1)求直线的方程；(2)若线段的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，则A、B、C、D四点是否共圆？判断并说明理由．【答案】(1)(2)A、B、C、D四点共圆，理由见解析.【解析】【分析】（1）点差法求解中点弦的斜率及方程；（2）求出AB两点坐标，求出AB的垂直平分线，联立后求出CD点的坐标，得到CD的中点M的坐标，计算得到，从而得到四点共圆.(1)设，显然，由题意得：，两式相减得：，即，因为点是线段的中点，所以，所以，即直线的斜率为1，所以直线的方程为，整理得：(2)联立与，得到：，解得：，当时，，当时，，不妨设，直线AB的垂直平分线为，与联立得：，解得：，当时，，当时，，不妨设，则CD的中点为，又，，，所以，故A、B、C、D四点共圆，圆心为，半径为.例9．（2022·全国·高三专题练习）已知圆：，圆：，圆与圆、圆外切，(1)求圆心的轨迹方程(2)若过点且斜率的直线与交与两点，线段的垂直平分线交轴与点，证明的值是定值.【答案】(1)(2)证明见解析【解析】【分析】（1）根据圆C与圆A、圆B外切，得到<4，再利用双曲线的定义求解；（2）设直线为，联立，利用弦长公式求得，再根据线段MN的垂直平分线，得到点P的坐标求解.(1)解：因为圆C与圆A、圆B外切，设C点坐标，圆C半径为，则，，所以<4，所以点C的轨迹是双曲线的一支，又，，，所以其轨迹方程为；(2)设直线为，联立，消去y得：，所以，设MN中点坐标为G，则，所以，，直线GP的方程为:，，所以，所以=1.课堂训练1．（2022·广西·钦州一中高二期中（文））已知平面内两定点，，下列条件中满足动点的轨迹为双曲线的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】由双曲线的定义即可求解.【详解】解：由题意，因为，所以由双曲线的定义知，当时，动点的轨迹为双曲线，故选：C.2．（2022·上海徐汇·高二期末）已知双曲线经过点，其渐近线方程为，则该双曲线的方程为___________