第六讲方程的解和解方程-2023年六年级数学下册小升初专项复习

2023年小学六年级小升初数学专项复习（6）——方程的解和解方程★知识归纳总结一、方程与等式的关系1．方程：含有未知数的等式，即：方程中必须含有未知；方程式是等式，但等式不一定是方程。

2．方程是表示两个数学式（如两个数、函数、量、运算）之间相等关系的一种等式，通常在两者之间有一等号“=”。

3．方程不用按逆向思维思考，可直接列出等式并含有未知数。例1：看图列等式，不解答。【分析】根据等量关系：3根香蕉的重量＝2个苹果的重量，列出等式即可。根据等量关系：苹果的重量﹣香蕉的重量＝60kg，列出等式即可。【解答】解：【点评】本题的关键是找出等量关系。例2：一个商店原有120千克苹果，又运来了10筐苹果，每筐重a千克．（1）用式子表示出这个商店里苹果重量的总数．（2）根据这个式子，当a＝25时，商店一共有多少千克苹果？【分析】（1）用原来的重量120千克，加上又运来10筐苹果的重量10×a＝10a千克；（2）把a＝25时，代人式子求出来即可．【解答】解：（1）120+10a；（2）当a＝25时，代人120+10a，120+10×25＝120+250＝370（千克）；答：商店一共有370千克苹果．【点评】解题关键是根据已知条件得出数量关系，然后根据数量关系代人计算即可．例3：养殖场有789只鸡，比鸭少69只，鸭有几只？（先写等量关系式，再用两种方法列X解．）【分析】设鸭有X只，方法一：鸭的只数﹣鸡的只数＝鸡比鸭少的只数；即X﹣789＝69；方法二：鸭的只数﹣鸡比鸭少的只数＝鸡的只数，即X﹣69＝789．【解答】解：方法一：等量关系：鸭的只数﹣鸡的只数＝鸡比鸭少的只数；设鸭有X只；X﹣789＝69，X﹣789+789＝69+789，X＝858；方法二：等量关系：鸭的只数﹣鸡比鸭少的只数＝鸡的只数，设鸭有X只；X﹣69＝789，X﹣69+69＝789+69，X＝858；答：鸭有858只．【点评】解决本题，关键是找出等量关系，再根据等量关系列出方程解答．例4：将卡片与相应的台阶连线．【分析】等式是指用“＝”连接的式子，方程是指含有未知数的等式；据此可知所有的方程都是等式，但等式不一定是方程；从而连线解答．【解答】解：见下图【点评】此题考查等式和方程的辨识，熟记定义，才能快速辨识．二、方程的解和解方程1.使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。

2.求方程的解的过程，叫做解方程。例1.用方程表示下面的数量关系，并求出方程的解。（1）3乘x减5的差所得的积是1.8。（2）x的4.2倍与x的2.5倍的和是13.4。（3）【分析】（1）3（x﹣5）＝1.8，根据等式的基本性质，两边再同时除以3，两边再同时加上5；（2）4.2x+2.5x＝13.4，先把方程左边化简为6.7x，两边再同时除以6.7；（3）x+3x＝114，先把方程左边化简为4x，两边再同时除以4。【解答】解：（1）3（x﹣5）＝1.83（x﹣5）÷3＝1.8÷3x﹣5＝0.6x﹣5+5＝0.6+5x＝5.6（2）4.2x+2.5x＝13.46.7x＝13.46.7x÷6.7＝13.4÷6.7x＝2（3）x+3x＝1144x＝1144x÷4＝114÷4x＝28.5【点评】熟练掌握等式的基本性质是解题的关键。例2.解方程。x﹣x＝35【分析】（1）先把方程左边化简为x，两边再同时乘；（2）方程两边同时乘，两边再同时乘。【解答】解：（1）x﹣x＝35x＝35x＝35×x＝75（2）x÷×＝12×x＝3x＝3×x＝【点评】熟练掌握等式的基本性质是解题的关键。例3.列式计算。（1）比甲数的20%少的数是7.2，求甲数。（列方程解答）（2）7.8减去1.8的所得的差，除以3.4，商是多少？（列综合算式）【分析】（1）设甲数是x，根据题中的等量关系：“甲数×20%﹣＝7.2”，据此列方程解答即可；（2）先用乘法计算1.8的是多少，再计算7.8减去1.8的是多少，最后再除以3.4。【解答】解：（1）设甲数是x。20%x﹣＝7.220%x﹣+0.4＝7.2+0.40.2x＝7.60.2x÷0.2＝7.6÷0.2x＝38答：甲数是38。（2）（7.8﹣1.8×）÷3.4＝（7.8﹣1）÷3.4＝6.8÷3.4＝2答：商为2。【点评】明确题中的等量关系：“甲数×20%﹣＝7.2”以及四则混合运算的顺序是解题的关键。例4.两个相邻自然数的和是87，这两个自然数分别是多少？（列方程解）【分析】相邻的两个自然数相差1，设较小的自然数为x，则较大的自然数为（x+1），它们的和是87。根据这个等量关系列方程解答。【解答】解：设较小的自然数为x，则较大的自然数为（x+1）。x+（x+1）＝872x+1﹣1＝87﹣12x÷2＝86÷2x＝43当x＝43时，x+1＝43+1＝44答：这两个自然数分别是43和44。【点评】解答本题的关键是熟练掌握相邻的两个自然数相差1。★拔高训练备考一．选择题（共8小题）1．可以用2x+13表示下面数量关系的是（）A．比x的2倍少13 B．比x的2倍多13 C．x与13的和的2倍2．小娟有邮票x枚，小刚比她多2枚，小刚有18枚邮票，下列方程成立的是（）A．x+2＝18 B．x﹣2＝18 C．18﹣2＝x+23．方程和等式的关系可以用下面（）图来表示．A． B． C．4．下面式子中，（）是方程。A．5.6÷p＝4 B．x﹣8＞32 C．13.5+7＝20.55．不计算，观察比较下面关于x的方程中，（）的解的数值最大。A．x+5＝b B．x×5＝b C．x÷5＝b6．x＝10是下面（）算式的得数。A． B． C． D．10x＝17．海淀区某小学今年六年级毕业生有693人，比去年多了10%，设去年毕业生有x人，下面所列方程正确的是（）A．（1﹣10%）x＝693 B．（1+10%）x＝693 C．x÷（1﹣10%）＝693 D．x÷（1+10%）＝6938．下图N点表示的数最有可能是算式（）的得数。A．20﹣0.3 B．0.□×16 C．4.□×4.□ D．4.□×5.□二．填空题（共10小题）9．华氏温度＝摄氏温度×1.8+32，先测出86华氏度，相当于摄氏度．10．6.5x+5x＝30的解是x＝．11．解方程7x﹣4×3.5＝24.5时，先算的积，再把看作一个整体。12．x﹣40%x的结果与互为倒数，那么x＝．13．在①8+x＝16②2y＝30③17a④5×8＝40⑤a÷5＝1.7⑥4x＞80⑦0.25+y＝0.5中是等式的是，是方程的是（填序号）。14．x+5＝y+7，那么xy（填＞、＜、＝），并且x与y的差是．15．先在括号里写出应用题中数量之间的相等关系，再列方程。（1）有杨树180棵，杨树棵数比柳树棵数的4倍多20棵，柳树有x棵，等量关系，方程。（2）长方形的长是40米，长比宽的3倍少2米，长方形宽为x米，等量关系，方程。16．小明今年m岁，爸爸今年n岁，再过a年后，他们相差的岁数是。17．方程2.6x＝10.5的解比方程14.8﹣x＝6.8的解。（填“大”“小”或“相等”）18．如果3x﹣30＝60，那么5x+5＝。三．判断题（共5小题）19．76.3x＝0，x＝0，所以76.3x＝0没有解。20．4x+5＝25是方程也是等式。21．所有的方程都是等式，但所有的等式不一定是方程。22．x＝4是方程2x+8＝16的解。23．“x＝100”是方程x+60%＝160的解。四．计算题（共1小题）24．解方程75%x﹣x＝15x＝2x＝5五．应用题（共5小题）25．列方程解决问题。26．学校组织五、六年级同学听抗疫英雄巡回演讲会，一共有972人。报告厅每排可以坐18人，五年级坐了26排，六年级坐了多少排？（列方程解答）27．甲、乙两车分别从东西两镇同时开车，相向而行。相遇时甲车行了全程的多28千米，乙车行了52千米。东西两镇相距多少千米？（用方程解）28．为防止疫情扩散，妈妈买来活性炭口罩和一次性口罩各20个。一共花了20.6元。（列方程解答）29．公园里有松树120棵，比杨树的棵数少20%，公园里有杨树多少棵？（列方程解答）六．解答题（共2小题）30．请你用5x+3＝38讲一个数学故事。（可以写一写，也可以画一画）31．某卖香蕉的商贩用的称短斤少两，称出来是500克，实际上只有400克．为了称够实际上的600克，在该秤上称得500克的基础上再多称100克，即在这把秤上称600克，这时他称够500克了吗？（请通过列式计算来说明）

参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．【分析】逐个用带字母的式子表示各选项，再判断。【解答】解：比x的2倍少13是2x﹣13；比x的2倍多13是2x+13；x与13的和的2倍是（x+13）×2。故选：B。【点评】此题考查了用字母表示数的方法，关键是弄清题中数量之间的关系，再进一步解答。2．【分析】由题意得：比x多2枚就是18枚。据此列方程即可。【解答】解：x+2＝18故选：A。【点评】此题的关键是明确等量关系，然后再进一步解答。3．【分析】等式是指用“＝”号连接的式子；而方程是指含有未知数的等式．所以等式的范围大，而方程的范围小，它们之间是包含关系．【解答】解：等式是指用“＝”号连接的式子；而方程是指含有未知数的等式．方程和等式的关系可以用下图来表示：．故选：A．【点评】此题考查方程与等式的关系：方程一定是等式，但等式不一定是方程．4．【分析】含有未知数的等式叫做方程，据此判断。【解答】解：A.5.6÷p＝4，含有未知数，且是等式，所以是方程；B.x﹣8＞32，含有未知数，但不是等式，所以不是方程；C.13.5+7＝20.5，是等式，但不含未知数，所以不是方程。故选：A。【点评】熟练掌握方程的概念是解题的关键。5．【分析】在三个选项中，依据等式的性质可得：A中x＝b﹣5，B中x＝b÷5，C中x＝5b，所以三个选项中，C中方程的解的数值最大。【解答】解：A中x＝b﹣5，B中x＝b÷5，C中x＝5b，因为5b＞b﹣5，5b＞b÷5，所以三个选项中，C中方程的解的数值最大。故选：C。【点评】此题主要考查了根据等式的性质解方程的能力，即等式两边同时加上或同时减去、同时乘或同时除以一个数（0除外），两边仍相等。6．【分析】把x＝10分别代入每个方程，看两边的计算结果是否相同或分别解出各方程再作出选择。【解答】解：把x＝10代入方程x＝1左边＝×10＝1右边＝1左边＝右边符合题意；把x＝10代入方程+x＝1左边＝+10＝1右边＝1左边≠右边不符合题意；把x＝10代入方程﹣x＝1左边＝﹣10＝﹣8右边＝1左边≠右边不符合题意；把x＝10代入方程10x＝1左边＝10×10＝100右边＝1左边≠右边不符合题意。故选：A。【点评】此题考查了解方程、方程解的意义。7．【分析】根据“今年六年级毕业生比去年多10%”可以推算出今年六年级毕业生是去年六年级毕业生的1+10%，把去年六年级毕业生人数看作单位“1”，再根据这道题的等量关系：去年六年级毕业生人数×（1+10%）＝今年六年级毕业生人数，列方程解答。【解答】解：根据等量关系：去年六年级毕业生人数×（1+10%）＝今年六年级毕业生人数，列方程为：（1+10%）x＝693。故选：B。【点评】本题考查列方程解应用题，解题关键是找出题目中的等量关系列式计算。8．【分析】根据数轴知识可知，N的大小在17～18之间，然后结合选项中算式计算的结果，进行选择即可。【解答】解：根据数轴知识可知，N的大小在17～18之间。A.20﹣0.3＝19.7，所以不符合N的取值范围。B.0.□×16，□最大填9，0.9×16的积也要小于16，所以不符合N的取值范围。C.4.□×4.□的乘积符合题意。D.4.□×5.□的乘积肯定大于20，所以不符合N的取值范围。故选：C。【点评】本题考查了数轴的认识和运用小数乘法估算的方法解决问题的能力，结合题意分析解答即可。二．填空题（共10小题）9．【分析】由华氏度＝摄氏度×1.8+32可得：摄氏度＝（华氏度﹣32）÷1.8，利用换算公式，把86华氏度代入公式，求得对应的摄氏度即可．【解答】解：摄氏度：（86﹣32）÷1.8＝54÷1.8＝30（摄氏度）故答案为：30．【点评】此题考查华氏度与摄氏度的换算，记住换算公式，利用公式把数值代入公式即可求解．10．【分析】先计算方程的左边，然后方程的两边同时除以11.5即可得到未知数的值．【解答】解：6.5x+5x＝3011.5x＝3011.5x÷11.5＝30÷11.5x＝2故答案为：2．【点评】本题运用等式的性质进行解答即可，注意方程的等于号要对齐．11．【分析】解方程7x﹣4×3.5＝24.5时，应先算4×3.5，把原式变为7x﹣14＝24.5，再将7x看作一个整体，方程的两边先同时加14，然后方程的两边同时除以7，得出方程的解即可。【解答】解：解方程7x﹣4×3.5＝24.5时，先算4×3.5的积，再把7x看作一个整体。故答案为：4×3.5，7x。【点评】此题考查了方程的运算顺序，先把原式变成ax﹣b＝c的形式，再进行解答。12．【分析】的倒数是2，也就是x﹣40%x＝2，先化简方程的左边，变成0.6x＝2，再把方程的两边同时除以0.6，即可求出x的值．【解答】解：的倒数是2，则由题意可得：x﹣40%x＝20.6x＝20.6x÷0.6＝2÷0.6x＝故答案为：．【点评】解决本题先根据倒数的含义，得出方程，再根据等式的性质解方程即可．13．【分析】表示两个数或两个代数式相等关系的式子叫做等式；含有未知数的等式叫方程。【解答】解：在①8+x＝16②2y＝30③17a④5×8＝40⑤a÷5＝1.7⑥4x＞80⑦0.25+y＝0.5中，是等式的是①②④⑤⑦，是方程的是①②⑤⑦。故答案为：①②④⑤⑦；①②⑤⑦。【点评】熟练掌握等式和方程的意义是解题的关键。14．【分析】把x+5＝y+7的两边同时减去5，即可得到x与y的关系，再同时减去y，即可得出x与y的差．【解答】解：x+5＝y+7x+5﹣5＝y+7﹣5x＝y+2x﹣y＝y+2﹣yx﹣y＝2由x＝y+2可知，x＞y；由x﹣y＝2可知，x与y的差是2．故答案为：＞，2．【点评】本题根据等式的性质1，对算式进行变形，从而得出x与y之间的关系．15．【分析】（1）杨树棵数比柳树棵数的4倍多20棵，则杨树的棵数等于柳树棵数的4倍与20的和，据此列方程即可。（2）长比宽的3倍少2米，长方形宽为x米，则长方形的长等于宽的3倍与2的差，据此列方程即可。【解答】解：（1）有杨树180棵，杨树棵数比柳树棵数的4倍多20棵，柳树有x棵，等量关系：柳树的4倍+20棵＝杨树的棵数，方程：4x+20＝180。（2）长方形的长是40米，长比宽的3倍少2米，长方形宽为x米，等量关系：宽的3倍﹣2米＝长40米，方程：3x﹣2＝40。故答案为：柳树的4倍+20棵＝杨树的棵数，4x+20＝180；宽的3倍﹣2米＝长40米，3x﹣2＝40。【点评】本题是一道有关等量关系、用方程解决问题的题目，找出题中的等量关系是解题的关键。16．【分析】两人的年龄差是永远不变的，小明和爸爸原来相差（n﹣m）岁，若干年后仍然相差（n﹣m）岁。【解答】解：小明今年m岁，爸爸今年n岁，再过a年后，他们相差的岁数是（n﹣m）岁。故答案为：（n﹣m）岁。【点评】本题主要考查用字母表示数，理解两人的年龄之差不变是解答题目的关键。17．【分析】利用等式的性质，分别求出两个方程的解，然后进行比较即可。【解答】解：2.6x＝10.52.6x÷2.6＝10.5÷2.6x＝4.0414.8﹣x＝6.814.8﹣x+x＝6.8+x6.8+x＝14.86.8x﹣6.8＝14.8﹣6.8x＝84.04＜8故答案为：小。【点评】此题考查的目的是理解掌握利用等式的性质解方程的方法及应用。18．【分析】先解方程3x﹣30＝60，再将x的值带入算式5x+5求值即可。【解答】解：3x﹣30＝603x﹣30+30＝60+303x÷3＝90÷3x＝30当x＝30时，5x+5＝5×30+5＝150+5＝155答：如果3x﹣30＝60，那么5x+5＝155。故答案为：155。【点评】熟练利用等式的性质解方程和利用代入法求值是解决本题的关键。三．判断题（共5小题）19．【分析】76.3x＝0，x＝0，所以76.3x＝0的解是x＝0，据此判断即可。【解答】解：76.3x＝076.3x÷76.3＝0÷76.3x＝0所以76.3x＝0的解是x＝0，所以题中说法不正确。故答案为：×。【点评】此题主要考查了小数方程求解，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：x＝0也是方程的解，不能说这个方程无解。20．【分析】方程是指含有未知数的等式；所以方程必须具备两个条件：①含有未知数；②等式。据此解答。【解答】解：4x+5＝25，含有未知数，是等式，是方程。故原题说法正确。故答案为：√。【点评】此题考查方程的辨识：只有含有未知数的等式才是方程。21．【分析】方程与等式：表示两个数或两个代数式相等关系的式子叫做等式；含有未知数的等式叫方程。【解答】解：由方程与等式的意义可知，方程都是等式，但所有的等式不一定是方程，只有含有未知数的等式才是方程。所以原题说法正确。故答案为：√。【点评】熟练掌握方程与等式的关系是解题的关键。22．【分析】将x＝4代入方程2x+8＝16，看方程的左右两边是否相等即可。【解答】解：将x＝4代入2x+8＝16左边＝2×4+8＝8+8＝16右边＝16左边＝右边答：x＝4是方程2x+8＝16的解。原题说法正确。故答案为：√。【点评】解答本题还可以求出方程2x+8＝16的解，看方程的解是否为x＝4即可。23．【分析】把x＝100代入x+60%＝160，看方程是否成立即可判断对错。【解答】解：把x＝100代入方程，左面＝100+60%＝100.6≠右面，所以“x＝100”不是方程x+60%＝160的解，原题说法错误。故答案为：×。【点评】本题主要考查方程的解的验算，关键是把x＝100代入方程，看方程左右两边是否相等。四．计算题（共1小题）24．【分析】（1）首先化简，然后根据等式的性质，两边同时乘4即可；（2）首先根据等式的性质，两边同时减去，然后两边再同时即可；（3）首先根据等式的性质，两边同时加上x，然后两边再同时减去5，最后两边同时乘即可。【解答】解：（1）75%x﹣x＝150.25x＝150.25x×4＝15×4x＝60（2）×+2x＝2+2x＝2+2x﹣＝2﹣2x＝2x÷2＝÷2x＝（3）x＝5x+x＝5+x5+x＝5+x﹣5＝﹣5x＝x×＝×x＝【点评】此题主要考查了根据等式的性质解方程，即等式两边同时加上或同时减去、同时乘或同时除以一个数（0除外），两边仍相等。五．应用题（共5小题）25．【分析】设黄河长度为x千米，根据黄河的长度+836千米＝长江的长度，列方程即可。【解答】解：设黄河长度为x千米。x+836＝6300x＝6300﹣836x＝5464答：黄河长5464千米。【点评】列方程解应用题，关键是根据题意找出基本数量关系，设未知数为x，正确列出方程。26．【分析】根据题意，设六年级坐了x排；根据题意可得：（五年级坐的排数+六年级坐的排数）×每排坐的人数＝总人数，据此列出方程进行解答。【解答】解：设六年级坐了x排，根据题意可得：（26+x）×18＝972（26+x）×18÷18＝972÷1826+x＝5426+x﹣26＝54﹣26x＝28答：六年级坐了28排。【点评】列方程解决实际问题，关健是根据题意设出未知数，找出等量关系，然后再列出方程进行解答。27．【分析】设东西两镇相距x千米