专题22极值点偏移问题

专题22极值点偏移问题1．（2023·陕西安康·统考二模）已知函数，（e为自然对数的底数）(1)当时，恰好存在一条过原点的直线与，都相切，求b的值；(2)若，方程有两个根，（），求证：．【解析】（1）当时，，设直线与的切点为，则切线斜率为，切线方程为.因即在图像上，也在切线上，则，故切线斜率为1，则切线方程为.又，，设直线与的切点为，则切线斜率为，切线方程为.因即在图像上，也在切线上，则，又切线斜率为1，则；（2）当时，，则由题可得有两个根，令，则可得方程有两个根，则.令，，则，.注意到，则构造函数，.因，则在上单调递增，得.故命题得证.2．（2023·山西·校联考模拟预测）已知函数.(1)若，求实数的取值范围；(2)若有2个不同的零点（），求证：.【解析】（1）因为函数的定义域为，所以成立，等价于成立.令，则，令，则，所以在内单调递减，又因为，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以在处取极大值也是最大值.因此，即实数的取值范围为.（2）有2个不同的零点等价于有2个不同的实数根.令，则，当时，解得.所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以在处取极大值为.又因为，当时，，当时，.且时，.所以，且.因为是方程的2个不同实数根，即.将两式相除得，令，则，，变形得，.又因为，，因此要证，只需证.因为，所以只需证，即证.因为，即证.令，则，所以在上单调递增，，即当时，成立，命题得证.【点睛】极值点偏移问题中，若等式中含有参数，则消去参数，由于两个变量的地位相同，将特征不等式变形，如常常利用进行变形，可构造关于的函数，利用导函数再进行求解.3．（2023·辽宁阜新·校考模拟预测）已知函数(1)若时，求的最值；(2)若函数，且为的两个极值点，证明：【解析】（1），，，，所以当单调递减；单调递增.所以在处有唯一极小值，即最小值，为，无极大值，即无最大值.（2）证明：，令因为，所以单调递减；单调递增，所以.因为为的两个极值点，所以，且.所以在、，，单调递增；在，，单调递减；因为，则，则，设，则，所以在单调递减，所以，所以，因为在，单调递减，所以.所以要证，只需证，即，令，令.所以在单调递增，，所以在单调递增，，所以，即.4．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若有两个零点，证明：.【解析】（1）函数的定义域为，时，恒成立，所以在上单调递减；时，令得，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增.（2）证明：时，由（1）知至多有一个零点.时，由（1）知当时，取得最小值，最小值为.①当时，由于，故只有一个零点；②当时，即，故没有零点；③当时，即，又，由（1）知在上有一个零点.又，由（1）知在有一个零点，所以在上有两个零点，的取值范围为不妨设，则，且，令，则，由于（且仅当等号成立，所以当时，在单调递减，又，所以，即，又，所以，又由于，且在上单调递增，所以即.5．（2023·安徽马鞍山·统考二模）设函数.(1)若对恒成立，求实数的取值范围；(2)已知方程有两个不同的根、，求证：，其中为自然对数的底数.【解析】（1）解：由，得.令，，则，令，则.所以，函数在上单增，故.①当时，则，所以在上单增，，此时对恒成立，符合题意；②当时，，，故存在使得，当时，，则单调递减，此时，不符合题意.综上，实数的取值范围.（2）证明：由（1）中结论，取，有，即.不妨设，，则，整理得.于是，即.6．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）已知函数.(1)若有唯一零点，设满足条件的值为与证明：①与互为相反数；②；(2)设.若存在两个不同的极值点、，证明.参考数据：，【解析】（1）若，则，此时无零点，舍.故，，令，因为，故在上有且只有一个零点，若，则，这与矛盾，故.且时，，当，，故在上为减函数，在上为增函数，下证：当时，有.证明：当时，成立，设，则，故在上为减函数，故即，故，故当时且.当时，若，则恒成立，而当时，有，设，则，，故当时，即：当时，有即.当时，，由时的讨论可得：若时，有，故成立.而即时，有成立.因为仅有一个零点，故，所以且，故，整理得到，化简得到：，令，则，其中.设，则，故在上均为增函数，而，，故在上有且只有一个零点，而，故在上有且只有一个零点，故在有且只有两个零点，且它们互为倒数，故在有且只有两个零点，且即，其中即.设函数零点为时对应的参数值为，函数零点为时对应的参数值为，则，且，故，故即，但，故，故，故互为相反数.又，其中，而在为减函数，故，同理，故.（2），设，故为的两个不同的零点，故，故，故，不妨设，则，若，则，故为上的增函数，故至多一个零点，与题设矛盾，故.设，则，故在上为增函数，故，即任意，恒成立，故对任意的恒成立，而，故，故.7．（2023·安徽滁州·校考二模）已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若有两个不相同的零点，设的导函数为.证明：.【解析】（1）的定义域为，且，当时，恒成立，在上单调递增，当时，令，解得，令，解得，故在上单调递减，在上单调递增，综上：当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，在上单调递增；（2）由（1）知：当时，在上单调递增，故至多有一个零点，不合要求，故，要想有两个不相同的零点，则，解得：，，故要证，即证，即证：，因为在上单调递增，所以只需证，不妨设，两式相减得：，变形为，下面证明在上成立，只需证，即，令，即证，构造，，则恒成立，故在上单调递增，故，所以，，故，即，所以，，证毕.8．（2023·湖南永州·统考二模）已知，(1)不等式对任意恒成立，求的取值范围；(2)当有两个极值点时，求证：.【解析】（1）方法一：当时，不等式两边同除以得：，，记，则，①当即时，则，所以在上递增，满足要求，②当时，则在上递增，满足要求③当时，令得，所以在上递减，与题设不符，舍去，综上，的取值范围为；方法二：化为，，记，则①当时，由基本不等式可知：则，当且仅当时取等，所以在上递增，满足要求；②当时，令得，所以在上递减，此时与题设不符综上，的取值范围为；（2）定义域为，，令得，由题意，是方程的两个不等实根，记，则，令得：，令，，故在上递增，在上递减，因为，又，且当时，恒成立，所以，则，由（1）取，则时，，又代入，并整理得，，同理，，所以.9．（2023·江苏盐城·盐城中学校考模拟预测）已知函数．(1)当时，证明；(2)若存在极值点，且对任意满足的，都有，求a的取值范围．【解析】（1）当时，，定义域为，设，则，所以函数在单调递增，在上单调递减，所以，所以，当且仅当时等号成立，所以，，当且仅当时等号成立，所以，且等号不同时成立，所以；（2）函数，，若存在极值点，则，所以，所以函数在上单调递减，在上单调递增，由，不妨设，若，则；若，由可得，则，所以，即对恒成立，令，则，则，设，则，，令，，则，，令，则，令，则，当时，令，则，设，所以，所以，所以当时，，单调递增，，单调递增，，单调递增，，单调递减，，，符合题意；当时，，存在，单调递减，，，，单调递增，，，不符合题意；所以，由单调递增可得.10．（2023·天津河东·统考二模）已知函数（且）．(1)，求函数在处的切线方程．(2)讨论函数的单调性；(3)若函数有两个零点，且，证明：．【解析】（1）当时，，所以.，所以.所以函数在处的切线方程为，即.（2）的定义域为(0，+∞)，.当a<0时，恒成立，所以在(0，+∞)上单调递减；当a>0时，.在上，，所以单调递减；在上，，所以单调递增.（3）当，.由(2)知，在上单调递减，在上单调递增.由题意可得：.由及得：.欲证x1+x2>2e，只要x1>2ex2，注意到f(x)在(0，e)上单调递减，且f(x1)=0，只要证明f(2ex2)>0即可.由得.所以令则，则g(t)在(e，2e)上是递增的，∴g(t)>g(e)=0即f(2ex2)>0.综上x1+x2>2e.11．（2023·江苏泰州·统考模拟预测）已知函数，其中a，b为常数，为自然对数底数，．(1)当时，若函数，求实数b的取值范围；(2)当时，若函数有两个极值点，，现有如下三个命题：①；②；③；请从①②③中任选一个进行证明．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）【解析】（1）当时，，当时，因为，所以此时不合题意；当时，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，要，只需，令，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，则由得，所以，故实数b的取值范围为．(2)当时，，，令，则，因为函数有两个极值点，，所以有两个零点，若，则，单调递增，不可能有两个零点，所以，令得，当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以，因为有两个零点，所以，则，设，因为，，则，因为，所以，，则，取对数得，令，，则，即①令，则，因为，所以在上单调递减，在上单调递增，令，则，在上单调递减，因为，所以，即，亦即，因为，，在上单调递增，所以，则，整理得，所以，故①成立②令，则，因为，所以在上单调递减，在上单调递增，令，则，在上单调递增，又，所以当时，，即，因为，，在上单调递增，所以，所以，即，所以，即，故②成立．③令，，则，令，则，∴在上单调递增，则，∴，则，两边约去后化简整理得，即，故③成立．12．（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数有两个零点．(1)求a的取值范围；(2)设是的两个零点，证明：．【解析】（1）由，得，设，则，，因为，所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增．又因为，所以，，，所以a的取值范围是．(2)证明：不妨设，由（1）知，则，，，又在上单调递增，所以等价于，即．设，则．设，则，设，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，又因为，，，所以存在，使得，当时，，即，当时，，即，所以在上单调递减，在上单调递增．又因为，，所以当时，，当时，，所以当时，，单调递减，因为，所以，所以，即原命题得证．13．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知函数(1)求证：当时，；(2)当方程有两个不等实数根时，求证：【解析】（1）证明：令，因为，所以在上单调递增，所以，即当时，.(2)证明：由，得，易知在单调递减，在单调递增，所以.

因为方程有两个不等实根，所以.不妨设.由（1）知，当时，；当时，.方程可化为.所以，整理得.①同理由，整理得.②由①②，得.又因为所以.法二：由，得，易知在单调递减，在单调递增，所以.因为方程有两个不等实根，所以.不妨设.要证，只要证，只要证：.因为在上单调递增，只要证：.令，只要证，恒成立.因为，令，则，故在上单调递增，，所以，所以在上单调递减，所以，故原结论得证.14．（2023·天津·统考二模）设函数为的导函数.(1)求的单调区间；(2)讨论零点的个数；(3)若有两个极值点且，证明：.【解析】（1）因为，所以．

即，，则．当时，，单调递增；当时，，单调递减．所以的单调递增区间为，的单调递减区间为．（2）由（1）得，．当时，，则在上无零点．当时，，则在上有一个零点．当时，，因为，，，所以，，，故在上有两个零点．综上，当时，在上无零点；当时，在上有一个零点；当时，在上有两个零点．（3）证明：由（2）及有两个极值点，且，可得，在上有两个零点，且．所以，

两式相减得，即．因为，所以．下面证明，即证．令，则即证．令，，则，所以在上单调递增，所以，故．又，所以，故．15．（2023·辽宁丹东·统考模拟预测）已知函数．(1)若，证明：；(2)若有两个不同的零点，求a的取值范围，并证明：．【解析】（1）当时，，定义域为令，则当时，；当时，；所以函数在上单调递增，在上单调递减，故，所以，得；（2）因为有两个不同的零点，则在定义域内不单调；由当时，在恒成立，则在上单调递减，不符合题意；当时，在上有，在上有，所以在上单调递增，在上单调递减．不妨设令则当时，，则在上单调递增所以故，因为所以，又，则，又在上单调递减，所以，则．16．（2023·甘肃酒泉·统考模拟预测）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)若（为的导函数），方程有两个不等实根、，求证：．【解析】（1）因为，则，所以，，，所以，曲线在点处的切线方程为，即.(2)证明：因为，，所以．因为为增函数，所以在上单调递减，在上单调递增．由方程有两个不等实根、，则可设，欲证，即证，即证，而，即，即，设，其中，则，设，则，所以，函数在上单调递增，所以，所以在上单调递减，所以，即，故得证．17．（2023·浙江绍兴·模拟预测）已知函数，（其中是自然对数的底数）(1)试讨论函数的零点个数；(2)当时，设函数的两个极值点为、且，求证：.【解析】（1）由可得，令，其中，则函数的零点个数等于直线与函数图象的公共点个数，，令可得，列表如下：减极小值增如下图所示：当时，函数无零点；当时，函数只有一个零点；当时，函数有两个零点.（2）证明：，其中，所以，，由已知可得，上述两个等式作差得，要证，即证，因为，设函数的图象交轴的正半轴于点，则，因为函数在上单调递增，，，，设函数的图象在处的切线交直线于点，函数的图象在处的切线交直线于点，因为，所以，函数的图象在处的切线方程为，联立可得，即点，构造函数，其中，则，当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，所以，，所以，对任意的，，当且仅当时等号成立，由图可知，则，所以，，因为，可得，函数在处的切线方程为，联立，解得，即点，因为，所以，，构造函数，其中，则，，当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，则，所以，对任意的，，当且仅当时，等号成立，所以，，可得，因此，，故原不等式成立.18．（2023·安徽淮南·统考二模）已知函