专题15 排列组合的十三种考法-《临考冲刺》2023届高考数学重要考点与题型终极满分攻略含解析

专题15排列组合的十三种考法-《临考冲刺》2023届高考数学重要考点

与题型终极满分攻略专题15排列组合的十三种考法

排数问题

目录

类型一：捆绑法.................................................................................2

类型二：插空法.................................................................................2

类型三：特殊元素的排序........................................................................4

类型四：间接法.................................................................................4

类型五：隔板法.................................................................................5

类型六：倍缩法解决定序问题....................................................................6

类型七：不平均分组问题........................................................................7

类型八：平均分组问题..........................................................................7

类型九：分类分步问题..........................................................................8

类型十：部分平均分组问题......................................................................9

类型十一：特殊位置的排序......................................................................9

类型十二：染色问题............................................................................10

类型十三：排数问题............................................................................11

类型一：捆绑法

1.（2023•河南•校联考模拟预测）粽子是中国传统节庆食物之一，端午前，小明买了5个质量各不相同的粽

子，其中有2个“八宝粽"和3个"蛋黄粽"，将其随机排成一行，则2个"八宝粽"相邻且不排在两端的概率为

（）

AA.-1Bc.-2C.—1D.一

5533

2.（2023•江西南昌•统考二模）中国灯笼又统称为灯彩，是一种古老的汉族传统工艺品.灯笼综合了绘画、

剪纸、纸扎、刺缝等工艺，与中国人的生活息息相连.灯笼成了中国人喜庆的象征.经过历代灯彩艺人的

继承和发展，形成了丰富多彩的品种和高超的工艺水平，从种类上主要有宫灯、纱灯、吊灯等类型，现将

红木宫灯、檀木宫灯、楠木纱灯、花梨木纱灯、恭喜发财吊灯、吉祥如意吊灯各一个随机挂成一排，则有

且仅有一种类型的灯笼相邻的概率为（）

3.（2023•陕西宝鸡•校考模拟预测）北京中轴线是世界城市建设历史上最杰出的城市设计范例之一.其中钟

鼓楼、万宁桥、景山、故宫、端门、天安门、外金水桥、天安门广场及建筑群、正阳门、中轴线南段道路

遗存、永定门，依次是自北向南位列轴线中央相邻的11个重要建筑及遗存.某同学欲从这11个重要建筑及

遗存中随机选取相邻的3个游览，选法有（）

A.9种B.10种C.11种D.12种

4.（2023•云南•统考二模）垃圾分类的目的是提高垃圾的资源价值和经济价值，减少垃圾处理量和处理设备

的使用，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会、经济和生态等多方面的效益.为配合垃圾分类

在学校的全面展开，某学校举办了一次垃圾分类知识比赛活动.高一、高二、高三年级分别有2名、3名、3名

同学获一等奖.若将上述获一等奖的8名同学排成一排合影，要求同年级同学排在一起，则不同的排法共有

（）

A.432种B.420种C.176种D.72种

5.（2023•重庆万州•重庆市万州第二高级中学校考模拟预测）某社区活动需要连续六天有志愿者参加服务,

每天只需要一名志愿者，现有甲、乙、丙、丁、戊、己6名志愿者，计划依次安排到该社区参加服务，要

求甲不安排第一天，乙和丙在相邻两天参加服务，则不同的安排方案共有（）

A.72种B.81种C.144种D.192种

类型二：插空法

6.（2023春•浙江杭州•高二杭州市长河高级中学校考期中）有3名男生，4名女生，在下列不同条件下，正

确的是（）

A.任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案有70种

B.全体站成一排，男生互不相邻有1440种

C.全体站成一排，女生必须站在一起有144种

D.全体站成一排，甲不站排头，乙不站排尾有3720种

7.（2023春•山西运城•高二康杰中学校考阶段练习）第24届冬奥会于2022年2月4日在中国北京市和张家

口市联合举行.甲，乙等5名志愿者计划到高山滑雪、自由式滑雪、短道速滑和花样滑冰4个比赛区从事

志愿者活动，则下列说法正确的有（）

A.若短道速滑赛区必须安排2人，其余各安排1人，则有60种不同的方案

B.安排这5人排成一排拍照，若甲、乙不相邻，则有48种不同的站法

C.若每个比赛区至少安排1人，则有240种不同的方案

D.已知这5人的身高各不相同，若安排5人拍照，前排2人，后排3人，且后排3人中身高最高的站中间，

则有40种不同的站法

8.（2023•黑龙江哈尔滨•哈尔滨三中校考模拟预测）将5个1和2个0随机排成一行，贝U2个0不相邻的概

率为.

9.（2023•河北张家口•统考一模）小李在2005年10月18日出生，他在设置手机的数字密码时，打算将自

己出生日期的后6个数字0,5,1,0,1,8进行某种排列，从而得到密码.如果排列时要求两个1不相邻，

两个0也不相邻，那么小李可以设置的不同密码有个（用数字作答）.

10.（2023春,江苏南京,高二南京市第一中学校考期中）有3名男生，4名女生，（每小题都用数字作答）.

⑴若全体站成一排，3名男生不相邻，4名女生也不相邻，则有多少种排队方法；

（2）若全体站成一排，男生甲不站在两端，女生乙不能站在中间，则有多少种排队方法；

⑶若排成前后两排，前排3人，后排4人，且同一排的学生性别不全相同，则有多少种排队方法.

11.（2023春•山西•高二统考期中）5名男生，2名女生，站成一排照相.

（1）两名女生不排在队伍两头的排法有多少种？

（2）两名女生不相邻的排法有多少种？

⑶两名女生中间有且只有一人的排法有多少种？

类型三：特殊元素的排序

12.（2023•广西南宁•南宁三中校考模拟预测）甲、乙、丙、丁、戊共5名同学参加劳动技术比赛，决出第

一名到第五名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说："很遗憾，你和乙都没有得到冠军，"对乙说："你

不是最差的."从这两个回答分析，5人的名次排列可能有（）不同的排列

A.36B.54C.60D.72

13.（2023春•江苏无锡,高二江苏省太湖高级中学校考期中）三个人踢健子，互相传递，每人每次只能踢一

下，由甲开始踢，经过5次传递后，健子又被踢回给甲，则不同的传递方式共有（）

A.4种B.6种C.10种D.16种

14.（安徽省皖南八校2023届高三三模数学试卷）某企业五一放假4天，安排甲、乙、丙、丁四人值班，

每人只值班一天.己知甲不安排在第一天，乙不安排在最后一天，则不同的安排种数为.

15.（2023春•甘肃武威・高二武威第六中学校考期中）2位教师和4名学生站成一排，要求2位教师站在中

间，学生甲不站在两边，则不同排法的种数为

16.（2023•福建•统考模拟预测）5个人站成一排，小王不站两端的概率为.

类型四：间接法

17.（2023春•广西•高三校联考阶段练习）中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数"合称"六艺某校国学

社团开展“六艺”讲座活动，每周安排一次讲座，共讲六次.讲座次序要求"射"不在第一次，"数"和"乐"两次

不相邻，贝/六艺"讲座不同的次序共有（）

A.120种B.240种C.1092种D.408种

18.（2023春・江苏南京•高二校考阶段练习）从1,2,3,4,5,6,7中任取3个数字，至少有1个数字是偶数的情况有

（）

A.28种B.30种C.31种D.35种

19.（2023春•山西吕梁•高二山西省交城中学校统考期中）高二年级安排甲、乙、丙三位同学到4B,C,O,六

个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进

行活动，下列说法正确的有（）

A.如果社区B必须有同学选择，则不同的安排方法有88种

B.如果同学乙必须选择社区C,则不同的安排方法有36种

C.如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有150种

D.如果甲、丙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有36种

20.（2023春•天津红桥•高二天津市瑞景中学校考期中）某产品加工需要经过5道工序，如果其中某2道工

序必须相邻，那么共有种加工工序（用数字作答）；如果其中某2道工序不相邻，那么共有

种加工工序（用数字作答）

21.（2023春•山西•高二统考期中）课外活动小组共9人，其中男生5人，女生4人，现从中选5人主持某

种活动，则至少有2名男生和1名女生参加的选法有种.

类型五：隔板法

22.（2018・北京•高三强基计划）满足不等式设|+|y|+\z\<5的有序整数组（x,y,z）的数目为（）

A.228B.229C.230D.231

23.（2023春•江苏徐州•高二统考期中）下列选项正确的是（）

A.有6个不同的球,取5个放入5个不同的盒子中，每个盒子恰好放1个，则不同的存放方式有720种

B.有7个不同的球,全部放入5个相同的盒子中，每个盒子至少放1个，则不同的存放方式有140种

C.有7个相同的球,取5个放入3个不同的盒子中，允许有盒子空，则不同的存放方式有18种

D.有7个相同的球,全部放入3个相同的盒子中，允许有盒子空，则不同的存放方式有8种

24.（2023春•贵州毕节•高二校考期中）下列说法正确的为（）

A.6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，有髭田废种不同的分法

B.6本不同的书分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本，有禺髭CM1种不同的分法

C.6本相同的书分给甲、乙、丙三人,每人至少--本，有10种不同的分法

D.6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有450种不同的分法

25.（2023春•天津•高二统考期中）有12个志愿者名额全部分配给某年级的10个班，若每班至少分配到一

个名额，则所有不同的分配方法种数为.

26.（2023・重庆•二模）用0~9十个数字排成三位数，允许数字重复，把个位、十位、百位的数字之和等于9

的三位数称为“长久数"，则"长久数"一共有个.

27.（2023春•湖北•高二武汉市第六中学校联考期中）某校社团召开学生会议，要将11个学生代表名额，分

配到高二年级的6个班级中，若高二（一）班至少3个名额，其余5个班每班至少1个名额，共有

种不同分法.（用数字作答）

28.（2023春•天津红桥•高二天津市瑞景中学校考期中）课外活动小组共9人，其中男生5人，女生4人，并

且男、女生各指定一名队长，现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？

⑴至少有1名队长当选；

（2）至多有2名女生当选；

⑶既要有队长，又要有女生当选.

类型六：倍缩法解决定序问题

29.（2023春•安徽阜阳•高二安徽省太和中学校考期中）某校计划安排五位老师（包含甲、乙）担任周一至

周四的值班工作，每天都有老师值班，且每人最多值班一天，则下列说法正确的是（）

A.若周一必须安排两位老师，则不同的安排方法共有60种

B.若甲、乙均值班且必须排在同一天值班，则不同的安排方法共有48种

C.若五位老师都值班一天，则不同的安排方法共有240种

D.若每天恰有一位老师值班，且如果甲乙均值班，则甲必须在乙之前值班的不同的安排方法共有84种

30.（2023•江苏•高二专题练习）某电视节目的主持人邀请年龄互不相同的5位嘉宾逐个出场亮相.

⑴其中有3位老者要按年龄从大到小的顺序出场，出场顺序有多少种？

（2）3位老者与2位年轻人都要分别按从大到小的顺序出场，顺序有多少种？

31.（2023•江苏•高二专题练习）五个人排成一排，求满足下列条件的不同排列各有多少种.

（1）4,B,C三人左中右顺序不变（不一定相邻）；

（2）A在8的左边且C在。的右边（可以不相邻）.

32.（2023春•湖北武汉•高二武汉市吴家山中学校联考期中）某班级周六的课程表要排入历史、语文、数学、

物理、体育、英语共6节课

⑴如果数学必须比语文先上，则不同的排法有多少种？

⑵原定的6节课已排好，学校临时通知要增加生物化学地理3节课，若将这3节课插入原课表中且原来的6

节课相对顺序不变，则有多少种不同的排法？

33.（2023•全国•高二专题练习）7个人按照下列要求排成一纵队：A,B,C三人的前后顺序一定，有多少种

不同的排法？（用数字作答）

类型七：不平均分组问题

34.（2022春•浙江杭州•高二校考期中）在一次抗洪救灾中，甲、乙、丙、丁4名党员被安排到A,B,C三

个村，参与抗洪救灾任务，每个村至少安排1名党员，则不同的分配方案种数为（）

A.12B.14C.36D.28

35.（2023春・重庆南岸•高二校考期中）ChatGPT、LAMDA、Blender是近期火爆的Al程序，它们能够与人类

进行聊天交流，完成撰写邮件、视频脚本、文案等工作.某兴趣小组4名成员打算分工学习这三个AI程序，

每个人只能学习一个程序，每个程序至少有一人学习，则不同的分工方法有（）

A.12种B.18种C.24种D.36种

36.（2023春•安徽马鞍山•高二马鞍山二中校考期中）2023年春节期间，电影院上映《流浪地球2》《潢江红》

《熊出没•伴我“熊芯”》等多部电影，某居委会有6张不同的电影票，奖励给甲、乙、丙三户"五好文明家庭"，

其中一户1张，一户2张，一户3张，则共有种不同的分法.

37.（山东省济南市2022-2023学年高二下学期期中数学试题）为庆祝党的二十大胜利闭幕，某校高二级部

组织全体同学进行了主题为“二十大精神进校园，培根铸魂育新人"的二十大知识竞赛，并选出了4名女生和

3名男生共7名优胜者.赛后，7名同学站成一排，照相留念.

⑴女生必须站在一起的站队方式有多少种？

⑵男生甲不与其他男生相邻的站队方式有多少种？

⑶现在要求这7名同学分成三个宣讲小组分别去给高一、高二、高三三个年级的同学做二十大学习成果汇

报，要求每个小组必须既有男生又有女生，问有多少种安排方案？

38.（2023春•山东荷泽•高二曹县一中校考阶段练习）现有大小相同的8个球，其中4个不同的黑球，2个

不同的红球，2个不同的黄球.

⑴将这8个球排成一列，要求黑球排在一起，2个红球相邻，2个黄球不相邻，求排法种数；

（2）从这8个球中取出4个球，要求各种颜色的球都取到，求取法种数；

⑶将这8个球分成三堆，每堆至少2个球，求分堆种数.

39.（2023春•山西吕梁•高二山西省交城中学校统考期中）已知有9本不同的书.

⑴分成三堆，每堆3本，有多少种不同的分堆方法？

⑵分成三堆，一堆2本，一堆3本，一堆4本，有多少种不同的分堆方法？（用数字作答）

类型八：平均分组问题

40.（2023春•湖南长沙•高二长沙市明德中学校考期中）2023年，中国空间站将正式进入运营阶段.假设空

间站要安排6名航天员开展实验，每个舱中都有2人，则不同的安排方法有（）

A.72种B.90种C.360种D.540种

41.（2023春•重庆•高二校联考期中）放假伊始，8名同学相约前往某门店体验沉浸式角色扮演型剧本游戏，

目前店中仅有可供4人组局的剧本，其中4B角色各1人，C角色2人.已知这8名同学中有4名男生，4名

女生，店主让他们8人分成两组先后参加游戏，其中4B角色不可同时为女生，C角色至少有一名女生，则

他们不同的选择方式共有（）

A.2376种B.4752种C.9504种D.1584种

42.（湖南省永州市2023届高三三模数学试题）在二项式（代+专丫的展开式中，把所有的项进行排列，

有理项都互不相邻，则不同的排列方案为（）

A.A》2种B.种C.AgA5种D.种

43.（2023•全国•学军中学校联考二模）大学生志愿服务西部计划（简称西部计划）是经国务院常务会议决

定，由共青团中央、教育部、财政部、人力资源社会保障部共同组织实施的一项重大人才工程.现招募选派一定

数量的西部计划全国项目志愿者到西部地区基层工作，某大学计划将6名志愿者平均分成3组，到3个不

同地点服务，若每组去一个地点，每个地点都有人服务，且甲、乙两名志愿者在同一个地点服务的分配方案

有（）

A.18种B.36种C.72种D.144种

44.（2023春・广东江门•高二校考阶段练习）2022年10月31日15：37分，我国将"梦天实验舱”成功送上

太空，成功将中国空间站建设完毕，中国空间站将于2023年正式进入运营阶段.现空间站要安排甲、乙等6

名航天员到3个不同的实验舱开展实验，3舱中每个舱至少一人至多三人，则不同的安排方案共有（）

A.450种B.720种C.90种D.360种

类型九：分类分步问题

45.（河南省开封市2023届高三第三次模拟考试文科数学试题）从3名男生，2名女生中随机抽取2名学生

到社区当志愿者，则正好抽取1名男生、1名女生的概率是（）

1?2?

A.-B.—C.£D.-

51055

46.（2023•浙江•校联考二模）甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，同一级台阶上的人不区分站的位置，

则不同的站法种数是（）

A.120B.210C.211D.216

47.（河北省承德市2023届高三下学期4月高考模拟数学试题）某校高三年级有n（n>2,neN*）个班，每

个班均有（n+30）人，第k（fc=1,2,3,-,n）个班中有（k+10）个女生，余下的为男生.在这八个班中任取一

个班，再从该班中依次取出三人，若第三次取出的人恰为男生的概率是卷，则几=.

48.（河北省石家庄市部分学校2023届高三联考（二）数学试题）近两年来，多个省份公布新高考改革方

案，其中部分省份实行"3+1+2"的高考模式，"3"为全国统一高考的语文、数学、外语3门必考科目，"1"由

考生在物理、历史两门科目中选考1门科目，"2"由考生在思想政治、地理、化学、生物4门科目中选考2门科

目，则甲，乙两名考生恰有两门选考科目相同的概率为.

49.（2023•江苏,高二专题练习）有8名男生和5名女生，从中任选6人.

⑴有多少种不同的选法？

（2）其中有3名女生，有多少种不同的选法？

⑶其中至多有3名女生，有多少种不同的选法？

类型十：部分平均分组问题

50.（浙江省杭州地区（含周边）重点中学2022-2023学年高二下学期期中联考数学试题）某班需安排甲、

乙、丙、丁四位同学到A、8、C三个社区参加志愿活动，每位同学必须参加一个社区活动，每个社区至少

有一位同学.由于交通原因，乙不能去A社区，甲和乙不能同去一个社区，则不同的安排方法数为（）

A.14B.20C.24D.36

51.（2023春•河南洛阳•高二统考期中）将6名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶

4个项目进行服务，每名志原者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有

（）

A.480种B.1080种C.1560种D.2640种

52.（2023春•江苏南京•高二南京外国语学校校考期中）医院每周周一至周五这5天要安排3名医生值夜班，

每天只安排一名医生，每周每名医生至少值一天班，同一名医生不能连续3天值班，那么不同的安排方案

的种数为（）

A.90B.132C.150D.222

53.（2023春•重庆沙坪坝•高二重庆八中校考期中）在我校运动会期间，为了各项赛事的顺利进行，学生会

组织了5个志愿服务小组，前往3个比赛场地进行志愿服务.若每个场地至少分配1个志愿服务小组，每个

志愿服务小组只能在1个场地进行服务，并且甲小组不去比赛场地A,则不同的分配方法种数为.

54.（2023•湖南怀化•统考二模）信息技术辅助教学已经成为教学的主流趋势，为了了解学生利用学习机学

习的情况，某研究机构在购物平台上购买了6种主流的学习机，并安排4人进行相关数据统计，且每人至

少统计1种学习机的相关数据（不重复统计），则不同的安排方法有.

类型十一：特殊位置的排序

55.（山东省济南市2022-2023学年高二下学期期中数学试题）小明和妹妹跟着父母一家四口到游乐园游玩，

购票后依次入园，为安全起见，首尾一定要排家长，则这4个人的入园顺序的种数是（）

A.4B.6C.12D.24

56.（2023春,山西吕梁•高二山西省交城中学校统考期中）小王、小李等9名同学相约去游玩，在某景点排成

一排拍照留念，则小王不在两端，且小李不在正中间位置的概率是（）

“25c9-5c17

A.—B.—C.-D.—

3614828

57.（2023春•江苏南京•高二南京外国语学校校考期中）由数字0,123,4组成的各位上没有重复数字的五位数

中，从小到大排列第88个数为（）

A.42031B.42103C.42130D.42301

58.（2023•山东•校联考二模）己知赤表示一个三位数，如果满足a>b且c>b,那么我们称该三位数为“凹

数"，则没有重复数字的三位"凹数"共个（用数字作答）.

59.（2023春・河北衡水,高三衡水市第二中学期末）每年5月初，高三的同学们都要拍毕业照，留下高中生

活的美好见证.某班同学集体合影后有4位同学邀请两位老师合影留念.若6人站成一排，两位老师站在中间

位置，甲乙两位同学站在一起，则不同的站位方法有种.（用数字作答）

60.（2023春・山西太原•高二山西大附中校考期中）（1）将10本不同的专著分成3本，3本，3本和1本，

分别交给4位学者阅读，问有多少种不同的分法？

（2）从1,3,5,7,9中任取2个数字，从0,2,4,6中任取2个数字，一共可以组成多少个没有重复数字

的四位数？

类型十二：染色问题

61.（2023•湖南・铅山县第一中学校联考三模）用红、黄、蓝三种颜色给下图着色，要求有公共边的两块不

着同色.在所有着色方案中，①③⑤着相同色的有（）

A.96种B.24种C.48种D.12种

62.（2023春•广东梅州•高二统考期中）某五面体木块的直观图如图所示，现准备给其5个面涂色，每个面

涂一种颜色，且相邻两个面所涂颜色不能相同.若有6种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（）

A.1080种B.720种C.660种D.600种

63.（2023春•江苏常州•高二常州市北郊高级中学校考期中）如图所示的一圆形花圃，拟在A,B,C,0区

域种植花苗，现有3种不同颜色的花苗，每个区域种植1种颜色的花苗，且相邻的2块区域种植颜色不同

的花苗，则不同的种植方法总数为（）

BC

A.12B.18C.24D.30

64.（浙江省杭州地区（含周边）重点中学2022-2023学年高二下学期期中联考数学试题）如图，在一广场

两侧设置6只彩灯，现有4种不同颜色的彩灯可供选择，则下列结论正确的是（）

A.共有46种不同方案

B.若相邻两灯不同色，正相对的两灯（如1、4）也不同色，且4种颜色的彩灯均要使用，则共有186种不

同方案

C.若相邻两灯不同色，正相对的两灯（如1、4）也不同色，且只能使用3种颜色的彩灯，则共有192种不

同方案

D.若相邻两灯不同色，正相对的两灯（如1、4）也不同色，且只能使用2种颜色的彩灯，则共有12种不同

方案

65.（2023春・湖北•高二校联考期中）现准备给每面刻有不同点数的骰子涂色，每个面涂一种颜色，相邻两

个面所涂颜色不能相同.若有5种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有种.

类型十三：排数问题

66.（2023春•湖北武汉•高二武汉市吴家山中学校联考期中）从1,2,3,0这四个数中取三个组成没有重复

数字的三位数，则三位数的个数为（）

A.24B.48C.18D.36

67.（2023•广东茂名•统考二模）从1、2、3、4、5中任选3个不同数字组成一个三位数，则该三位数能被3

整除的概率为（）

A.—B.-C.—D.-

105105

68.（2023•江西•高二校联考阶段练习）若一个三位数M的各个数位上的数字之和为7,则我们称M是一个

“happy数"，例如"223,520"都是"happy数".那么"happy数”的个数共有（）

A.25个B.28个C.29个D.36个

69.（2023春•湖北•高二校联考期中）由数字0,1,2,3组成一个没有重复数字的四位数，下列结论正确的

是（）

A.可以组成18个不同的数

B.可以组成8个奇数

C.可以组成12个偶数

D.若数字1和2相邻，则可以组成8个不同的数

70.（2022春•浙江杭州•高二校考期中）用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数，可以组成

个四位数.

71.（2023春•江苏苏州•高二校联考期中）用0,1,2,3,4,5这六个数字组成无重复数字的四位数，在组

成的四位数中，能被5整除的有个.

专题15排列组合的十三种考法

持敛问fl!

目录

类型一：捆绑法.................................................................................2

类型二：插空法.................................................................................2

类型三：特殊元素的排序.........................................................................4

类型四：间接法.................................................................................4

类型五：隔板法.................................................................................5

类型六：倍缩法解决定序问题....................................................................6

类型七：不平均分组问题.........................................................................7

类型八：平均分组问题...........................................................................7

类型九：分类分步问题...........................................................................8

类型十：部分平均分组问题.......................................................................9

类型十一：特殊位置的排序.......................................................................9

类型十二：染色问题............................................................................10

类型十三：排数问题............................................................................11

类型一：捆绑法

1.（2023•河南•校联考模拟预测）粽子是中国传统节庆食物之一，端午前，小明买了5个质

量各不相同的粽子，其中有2个“八宝粽"和3个"蛋黄粽"，将其随机排成一行，则2个“八

宝粽"相邻且不排在两端的概率为（）

【答案】A

【分析】将5个粽子随机排成一行，先将3个"蛋黄粽"排成一行，由题意把2个"八宝粽"看

作一个整体插入3个“蛋黄粽"的中间2个空里，再利用古典概型的概率求解.

【详解】解：将5个粽子随机排成一行，共有废=120种方法，

先将3个"蛋黄粽"排成一行，有A掾种方法，2个"八宝粽"全排列，有掰种方法，

再把2个"八宝粽"看作一个整体插入3个"蛋黄粽"的中间2个空里，有A：种方法，

所以共有Ag•AQA,=24种方法.

由古典概型的概率公式得P=言=/

故选：A

2.（2023•江西南昌•统考二模）中国灯笼又统称为灯彩，是一种古老的汉族传统工艺品.灯

笼综合了绘画、剪纸、纸扎、刺缝等工艺，与中国人的生活息息相连.灯笼成了中国人喜庆

的象征.经过历代灯彩艺人的继承和发展，形成了丰富多彩的品种和高超的工艺水平，从种

类上主要有宫灯、纱灯、吊灯等类型，现将红木宫灯、檀木宫灯、楠木纱灯、花梨木纱灯、

恭喜发财吊灯、吉祥如意吊灯各一个随机挂成一排，则有且仅有一种类型的灯笼相邻的概率

为（）

【答案】A

【分析】设红木宫灯、檀木宫灯为ai，a2；楠木纱灯、花梨木纱灯为灯加2；恭喜发财吊灯、

吉祥如意吊灯为g,C2.先求仅ae2相邻的种数，把a】a2看作一个元素，分三种情况讨论：aia2

排在首尾；a】a2排在五个位置中第二、第四位；a得2排在第三个位置，同理得仅1b2相邻,

仅JC2相邻的情况，进而得出概率.

【详解】设红木宫灯、檀木宫灯为a1,a2；楠木纱灯、花梨木纱灯为儿,b2；恭喜发财吊灯、

吉祥如意吊灯为J,C2.

先求仅a1a2相邻的种数，把ae2看作一个元素，

当am2排在首尾时，不同的排法有电=（AlX禺xA分X2=32种;

当ae2排在五个位置中第二、第四位时，不同的排法有电=（心'人孑*人》*2=32种：

当am2排在第三个位置时，不同的排法有电=CjC^AlxAjxA1=32种,

故仅a1a2相邻共有Ni+N2+N3=96种排法，

同理得仅bib2相邻，仅C1C2相邻的情况，也都有96种排法，

所以有且仅有一种类型灯笼相邻的概率为P=簧=|・

故选：A.

3.（2023•陕西宝鸡•校考模拟预测）北京中轴线是世界城市建设历史上最杰出的城市设计范

例之一.其中钟鼓楼、万宁桥、景山、故宫、端门、天安门、外金水桥、天安门广场及建筑

群、正阳门、中轴线南段道路遗存、永定门，依次是自北向南位列轴线中央相邻的11个重

要建筑及遗存.某同学欲从这11个重要建筑及遗存中随机选取相邻的3个游览，选法有（）

A.9种B.10种C.11种D.12种

【答案】A

【分析】利用捆绑法求解.

【详解】将3个相邻建筑及遗存看成一个整体，

则共有9种,

即这11个重要建筑及遗存中随机选取相邻的3个游览，共有9种选法，

故选：A.

4.（2023•云南・统考二模）垃圾分类的目的是提高垃圾的资源价值和经济价值，减少垃圾处

理量和处理设备的使用，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会、经济和生态等多

方面的效益.为配合垃圾分类在学校的全面展开，某学校举办了一次垃圾分类知识比赛活

动.高一、高二、高三年级分别有2名、3名、3名同学获一等奖.若将上述获一等奖的8名

同学排成一排合影，要求同年级同学排在一起，则不同的排法共有（）

A.432种B.420种C.176种D.72种

【答案】A

【分析】将各年级的学生进行捆绑，然后考虑三个"大元素”之间的顺序及各"大元素”内部之

间的顺序，结合分步乘法计数原理可得结果.

【详解】将三个年级的学生分别捆绑，形成三个"大元素"，

考虑三个"大元素”之间的顺序及各"大元素”内部之间的顺序，

由分步乘法计数原理可知，不同的排法种数为A弘，AgA弓=6x2x6x6=432利I

故选：A.

5.（2023・重庆万州・重庆市万州第二高级中学校考模拟预测）某社区活动需要连续六天有志

愿者参加服务，每天只需要一名志愿者，现有甲、乙、丙、丁、戊、己6名志愿者，计划依

次安排到该社区参加服务，要求甲不安排第一天，乙和丙在相邻两天参加服务，则不同的安

排方案共有（）

A.72种B.81种C.144种D.192种

【答案】D

【分析】先计算乙和丙在相邻两天参加服务的排法，排除乙和丙在相邻两天且甲安排在第一

天参加服务的排法，即可得出答案.

【详解】解：若乙和丙在相邻两天参加服务，不同的排法种数为A,Ag=240,

若乙和丙在相邻两天且甲安排在第一天参加服务，不同的排法种数为A2Az=48,

由间接法可知，满足条件的排法种数为240-48=192种.

故选：D.

类型二：插空法

6.（2023春•浙江杭州•高二杭州市长河高级中学校考期中）有3名男生,4名女生,在下列

不同条件下，正确的是（）

A.任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案有70种

B.全体站成一排，男生互不相邻有1440种

C.全体站成一排，女生必须站在一起有144种

D.全体站成一排，甲不站排头，乙不站排尾有3720种

【答案】ABD

【分析】根据排列组合的特殊方法逐项求解判断即可.

【详解】对于A,任选其中3人有喘种情况，这3人相互调整座位方案有2种，其余4人座位

不变，则不同的调整方案有2G=70种，故A正确；

对于B,全体站成一排先安排女生有A2种情况，则在其中5个空位安排3名男生的情况有Ag种,

故男生互不相邻有=1440种，故B正确；

对于C,全体站成一排，4名女生必须站在一起有A%A：=576种，故C不正确；

对于D,甲站排头有A3种情况，乙站排尾有A?种情况，甲站排头且乙站排尾有篦种情况，

所以甲不站排头，乙不站排尾有人4-2人后+人冷=3720种，故D正确.

故选：ABD.

7.（2023春•山西运城•高二康杰中学校考阶段练习）第24届冬奥会于2022年2月4日在中

国北京市和张家口市联合举行.甲，乙等5名志愿者计划到高山滑雪、自由式滑雪、短道速

滑和花样滑冰4个比赛区从事志愿者活动，则下列说法正确的有（）

A.若短道速滑赛区必须安排2人，其余各安排1人，则有60种不同的方案

B.安排这5人排成一排拍照，若甲、乙不相邻，则有48种不同的站法

C.若每个比赛区至少安排1人，则有240种不同的方案

D.己知这5人的身高各不相同，若安排5人拍照，前排2人，后排3人，且后排3人中身

高最高的站中间，则有40种不同的站法

【答案】ACD

【分析】A.先选两人到短道速滑赛区，其余人全排列；B.先排甲、乙之外的三人，再将甲

乙插空；C.先选2人排在某个赛，其余3人全排列；D.先从5人中选2人排在前排，剩余3

人，由身高最高的站中间排列.

【详解】解：A.由题意，先选两人到短道速滑赛区有髭种排法，其余各安排1人有Ag种排法，

则有髭A掾=60种不同的方案，故正确；

B.由题意，先排甲、乙之外的三人有A,排法，再从4个空选2个将甲乙排上有A：种排法，

则有AgA%=72种不同的站法，故错误：

C.先选2人排在某个赛区有4髭种排法，其余3人全排列，则有4髭Ag=240种不同的方案，

故正确；

D.先从5人中选2人排在前排有Ag种排法，剩余3人排在后排，由于后排3人中身高最高的

站中间有A2种排法，则共有A2Ag=40种不同的排法，故正确；

故选：ACD

8.（2023•黑龙江哈尔滨•哈尔滨三中校考模拟预测）将5个1和2个。随机排成一行，则2

个0不相邻的概率为.

【答案】］

【分析】首先将5个1和2个0随机排成一行，求出总的排放方法，再利用插空法求出2

个0不相邻的排法，再利用古典概型的概率公式计算可得.

【详解】将5个1和2个0随机排成一行，总的排放方法有凿=笈=21种，

要使2个。不相邻，利用插空法，5个1有6个位置可以放0,

故排放方法有髭=衿=15种，

02X1

所以所求概率为p==*

故答案为：*

9.（2023•河北张家口•统考一模）小李在2005年10月18日出生，他在设置手机的数字密

码时，打算将自己出生日期的后6个数字0,5,1,0,1,8进行某种排列，从而得到密码.如

果排列时要求两个1不相邻，两个0也不相邻，那么小李可以设置的不同密码有

个（用数字作答）.

【答案】84

【分析】先排1,5,8,再利用插空法把。排好，根据两个计数原理可得答案.

【详解】先排列1,1,5,8这四个数，当1和1不相邻时，有A刍鬣种排法，再插入两个0,

有的鬣髭种排法；

当1和1相邻时，有图种排法，再插入两个0,有AgC捌排法.

所以共有A,髭髭+Ag禺=84（种）排法.

故答案为：84.

10.（2023春•江苏南京•高二南京市第一中学校考期中）有3名男生，4名女生，（每小题都

用数字作答）.

⑴若全体站成一排，3名男生不相邻，4名女生也不相邻，则有多少种排队方法；

⑵若全体站成一排，男生甲不站在两端，女生乙不能站在中间，则有多少种排队方法；

（3）若排成前后两排，前排3人，后排4人，且同一排的学生性别不全相同，则有多少种排

队方法.

【答案】⑴144

⑵3120

（3）4320

【分析】（1）先将4名女生全排列，然后将3名男生插到4名女生隔出的3个空中计算；（2）

分类讨论男生甲站在中间与不站在中间的两种情况，再利用分类加法计数原理计算；（3）利

用对立事件，把所有的情况减去同一排性别相同的情况.

【详解】⑴先将4名女生全排列得A：=24种，

然后将3名男生插空到4名女生之间隔出的3个空中（两端的空除外）得A1=6种，

所以不同的排法共有A：xA|=24x6=144种；

（2）若男生甲站在中间,则共有纯=720种;

若男生甲不站在中间，先排中间有Ag=5种，

然后再排列两端，此时有Ag=20种，

最后剩下4个人全排列有A*=24种，

所以不同的排法共有建+AaxA|xAt=720+5x20x24=3120种

（3）前面站3名男生，后面站4名女生，共有AgxA%=144种；

所以前排3人，后排4人，且同一排的学生性别不全相同，

共有的-AlxAj-A|xA5=5040-144=4320种

11.（2023春•山西•高二统考期中）5名男生，2名女生，站成一排照相.

⑴两名女生不排在队伍两头的排法有多少种？

（2）两名女生不相邻的排法有多少种？

⑶两名女生中间有且只有一人的排法有多少种？

【答案】⑴2400

（2）3600

（3）1200

【分析】（1）中间5个位置先排2名女生，然后其余5个位置排剩下的5人，由分步乘法计