2024-2025学年贵州省遵义市高三上学期10月联考数学质量检测试卷（含解析）

2024-2025学年贵州省遵义市高三上学期10月联考数学质量检测试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.2.某同学记录了当地2月最后8天每天的最低气温（单位：），分别为，则该组数据的第60百分位数为（）A.6 B.7 C.8 D.93.已知焦点在轴上的椭圆的焦距为2，则其离心率为（）A. B. C. D.4已知，则（）A. B. C. D.5.已知圆台甲､乙的上底面半径均为，下底面半径均为，圆台甲､乙的母线长分别为，则圆台甲与乙的体积之比为（）A. B. C. D.6.已知平面向量均为非零向量，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件7.已知且，若函数的值域为，则的取值范围是（）A. B. C. D.8.已知函数的图象关于直线对称，则当时，曲线与的交点个数为（）A3 B.4 C.5 D.6二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数满足，则（）A.B.C.的虚部为8D.在复平面内对应点位于第一象限10.已知是抛物线的焦点，是的准线，点是上一点且位于第一象限，直线与圆相切于点，点在线段上，过点作的垂线，垂足为，则（）A.B.直线的方程为C.D.面积为11.已知奇函数的定义域为，其导函数为，若，且，则（）A. B.C. D.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知等比数列的公比不为1，且成等差数列，则数列的公比为__________.13.有红色､黄色2套卡片，每套3张，分别标有字母A，B，C，若从这6张卡片中随机抽取4张，这4张卡片的字母恰有两个是相同的，则不同的取法种数为__________.14.若直线与曲线有个交点，则的取值范围为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知的内角的对边分别为，且.（1）求；（2）若，求.16.如图，在三棱柱中，为边长为的等边三角形，.（1）证明.（2）求平面与平面夹角的余弦值.17.已知甲､乙两人参加某档知识竞赛节目，规则如下：甲､乙两人以抢答的方式答题，抢到并回答正确得1分，答错则对方得1分，甲､乙两人初始分均为0分，答题过程中当一人比另一人的得分多2分时，答题结束，且分高者获胜，若甲､乙两人总共答完5题时仍未分出胜负，则答题直接结束，且分高者获胜.已知甲､乙两人每次抢到题的概率都为，甲､乙两人答对每道题的概率分别为，每道题两人答对与否相互独立，且每题都有人抢答.（1）求第一题结束时甲获得1分的概率；（2）记表示知识竞赛结束时，甲､乙两人总共答题的数量，求的分布列与期望.18.已知是双曲线的一条渐近线，点在上.（1）求的方程.（2）已知直线的斜率存在且不经过原点，与交于两点，的中点在直线上.（i）证明：的斜率为定值.（ii）若的面积为，求的方程.19.定义：对于函数，若，则称“”为三角形函数.（1）已知函数，若为二次函数，且，写出一个，使得“”为三角形函数；（2）已知函数，若“”为三角形函数，求实数取值范围；（3）若函数，证明：“”为三角形函数.（参考数据：）2024-2025学年贵州省遵义市高三上学期10月联考数学质量检测试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】解不等式求得集合，再由对数函数定义可得集合，即可求得结果.【详解】解不等式可得，由对数函数定义域可得,所以可得.故选：C2.某同学记录了当地2月最后8天每天的最低气温（单位：），分别为，则该组数据的第60百分位数为（）A.6 B.7 C.8 D.9【正确答案】C【分析】利用百分位数的定义即可得解.【详解】将该组数据从小到大排列：，共8项，又，所以该组数据的第60百分位数为第5项，即8.故选：C.3.已知焦点在轴上的椭圆的焦距为2，则其离心率为（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】根据题意求出，再根据椭圆的离心率公式即可得解.【详解】因为焦点在轴上的椭圆的焦距为2，所以，解得，所以椭圆的离心率.故选：B.4.已知，则（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】由可知为钝角，从而，，，于是先计算，再开方即可．【详解】，，，而，，为钝角，，，．故选：C．5.已知圆台甲､乙的上底面半径均为，下底面半径均为，圆台甲､乙的母线长分别为，则圆台甲与乙的体积之比为（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】设甲圆台的高为，乙圆台的高为，利用勾股定理求出，，再由圆台的体积公式计算即可得解.【详解】设圆台甲的高为，圆台乙的高为，则，，所以圆台甲的体积，圆台乙的体积，所以圆台甲、乙的体积之比为.故选：A.6.已知平面向量均为非零向量，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【正确答案】B【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及共线向量的意义，结合充分条件、必要条件的定义判断即得.【详解】，则，整理得，而向量均为非零向量，则反向共线且，有；反之，若，可能同向共线，也可能反向共线，即，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B7.已知且，若函数的值域为，则的取值范围是（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】分，两种情况，分别求出函数值域，结合题意可得答案.【详解】当时，在上的值域为；在上单调递增，则在上值域为，则此时值域不可能为R，则不合题意；当时，在上的值域为；在上单调递减，则在上值域为，要使值域为R，则.故选：B8.已知函数的图象关于直线对称，则当时，曲线与的交点个数为（）A.3 B.4 C.5 D.6【正确答案】B【分析】借助辅助角公式结合正弦型函数对称性可得，再画出与图象同一坐标系中即可得解.【详解】，其中，且，则有，解得，即，则，即，画出与图象如图所示：由图可知，曲线y=fx与的交点个数为.故选：B.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数满足，则（）A.B.C.的虚部为8D.在复平面内对应的点位于第一象限【正确答案】ACD【分析】利用复数的乘法求出，再逐项计算判断即得.【详解】依题意，，对于A，，A正确；对于B，，B错误；对于C，的虚部为8，C正确；对于D，在复平面内对应的点位于第一象限，D正确.故选：ACD10.已知是抛物线的焦点，是的准线，点是上一点且位于第一象限，直线与圆相切于点，点在线段上，过点作的垂线，垂足为，则（）A.B.直线的方程为C.D.的面积为【正确答案】BC【分析】利用勾股定理求得，根据点斜式求得直线的方程，联立直线的方程和抛物线的方程，求得横坐标，根据抛物线的定义求得，进而计算出的面积.【详解】圆即，是圆心为，半径的圆.抛物线的焦点F1,0，准线为，由于直线与圆相切，所以，A选项错误.由于，所以，所以直线的斜率为，方程为，即，B选项正确.由解得，即，根据抛物线的定义得，C选项正确.所以的面积为，D选项错误.故选：BC11.已知奇函数的定义域为，其导函数为，若，且，则（）A. B.C. D.【正确答案】AD【分析】应用赋值法判断A，B选项；对求导，得到，赋值法得到，判断C；根据函数的周期性结合赋值法得出再计算即可求解判断D.【详解】由已知有为R上的奇函数，所以，令时，，故，故A选项正确；令时，，故，故B选项错误；由已知有：在R上可导，对求导有：，即，，令时，，则，又因为是奇函数，故是偶函数，所以故，所以也是一个周期为4的周期函数，，C选项错误；令，则恒成立，由已知是奇函数，故，故，则，所以是一个周期为4的周期函数，又因为，奇函数的定义域为，所以，令时，，，所以，令时，，所以，令时，，所以,，故D选项正确.故选：AD结论点睛：函数的对称性与周期性：（1）若，则函数关于中心对称；（2）若，则函数关于对称；（3）若，则函数的周期为2a；（4）若，则函数的周期为2a.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知等比数列的公比不为1，且成等差数列，则数列的公比为__________.【正确答案】【分析】根据已知条件可得出，化简即可求出公比.【详解】由已知条件可知，又因等比数列，所以，且，代入到，可得，化简，解之可得或(舍).故13.有红色､黄色2套卡片，每套3张，分别标有字母A，B，C，若从这6张卡片中随机抽取4张，这4张卡片的字母恰有两个是相同的，则不同的取法种数为__________.【正确答案】12【分析】先从标有字母A，B，C中任选一个，共有2张卡片，再从剩余字母中各取一张卡片，结合组合数运算求解.【详解】由题意可知：先从标有字母A，B，C中任选一个，共有2张卡片，再从剩余字母中各取一张卡片，所以不同的取法种数为.故12.14.若直线与曲线有个交点，则的取值范围为__________.【正确答案】【分析】令，分析可知函数在上有个零点，且，对实数的取值进行分类讨论，分析函数的单调性与极值，结合零点存在定理可得出实数的取值范围.【详解】解：令，由题意可知，函数在上有个零点，且，且，令，则，由可得，由可得，所以，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，，分以下几种情况讨论：（1）当时，即当时，对任意的，且不恒为零，此时，函数在上单调递增，则函数只有个零点，不合乎题意；（2）当时，且当时，，令，其中，则，所以，函数在上单调递减，故当时，，则，此时，函数在上没有零点，当时，，由（1）知，在上单调递增，因为，，所以，存在，使得，当时，，此时，函数单调递减，则，当时，，此时，函数单调递增，则函数在上至多个零点，从而可知，当时，函数在上至多个零点，不合乎题意；（3）当时，，由（1）可知，函数在上单调递减，在上单调递增，因为，，所以，存在，使得，且当时，，则函数在上单调递减，则当时，，当时，，则函数在上单调递增，因为，所以，存在，使得，此时，函数在上有唯一零点，因为函数在上单调递减，，当，令，，令，其中，则，令，其中，则，所以，函数在上单调递减，因为，，，所以，存在，使得，可得，当时，，此时，函数单调递增，当时，，此时，函数单调递减，所以，，因为函数在上单调递减，则，即，故当时，，即，即存在，使得，当时，，即函数在上单调递增，当时，，即函数在上单调递减，此时，，且，因为，所以，存在，使得，此时，函数在上也存在唯一零点，故当时，函数在上有且只有个零点.综上所述，实数的取值范围是.故答案为.方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知的内角的对边分别为，且.（1）求；（2）若，求.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）根据题意利用正弦定理边化角，再结合三角恒等变换分析求解；（2）根据题意利用余弦定理解得，，即可求.【小问1详解】因为，由正弦定理可得，且，则，可得，即，所以.【小问2详解】因为，即，由余弦定理可得，即，整理可得，，所以.16.如图，在三棱柱中，为边长为的等边三角形，.（1）证明：（2）求平面与平面夹角的余弦值.【正确答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）取中点，连接，求证平面即可得证.（2）由（1）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量与，即可由空间角的向量法求解.【小问1详解】如图，取中点，连接，因为，，所以，故由余弦定理，所以，故即，即，又平面，，所以平面，又平面，所以.【小问2详解】由（1）可得、且即，故可建立如图所示的空间直角坐标系，则，则，设平面与平面的一个法向量分别为，则，，所以，，取，，则，所以，设平面与平面夹角为，则.所以平面与平面夹角的余弦值.17.已知甲､乙两人参加某档知识竞赛节目，规则如下：甲､乙两人以抢答的方式答题，抢到并回答正确得1分，答错则对方得1分，甲､乙两人初始分均为0分，答题过程中当一人比另一人的得分多2分时，答题结束，且分高者获胜，若甲､乙两人总共答完5题时仍未分出胜负，则答题直接结束，且分高者获胜.已知甲､乙两人每次抢到题的概率都为，甲､乙两人答对每道题的概率分别为，每道题两人答对与否相互独立，且每题都有人抢答.（1）求第一题结束时甲获得1分的概率；（2）记表示知识竞赛结束时，甲､乙两人总共答题的数量，求的分布列与期望.【正确答案】（1）23（2）分布列见详解，【分析】（1）考虑甲先得1分，分为甲抢到答题并且答对，或者是乙抢到并且答错两种情况，分别计算概率即可；（2）在每道题的抢答中甲、乙得1分的概率.的所有可能取值分别为，利用独立事件的乘法公式计算得出的分布列，求出即可.【小问1详解】设每道题的抢答中，记甲得1分为事件.发生有两种可能：抢到题且答对，乙抢到题且答错，∴，∴甲率先得1分的概率为.【小问2详解】由（1）知，在每道题的抢答中甲、乙得1分的概率分别为，设两人共抢答了道题比赛结束，根据比赛规则，的可能取值为.，，，245.18.已知是双曲线的一条渐近线，点在上.（1）求的方程.（2）已知直线的斜率存在且不经过原点，与交于两点，的中点在直线上.（i）证明：的斜率为定值.（ii）若的面积为，求的方程.【正确答案】（1）.（2）（i）证明见解析；（ii）.【分析】（1）由题可得，解该方程组即可得解.（2）（i）设，联立得，则由韦达定理结合中点坐标公式可求出的中点坐标，接着由的中点在直线上即可求解得证.（ii）由（i）结合弦长公式以及点到直线距离公式依次求出AB和的中点到直线的距离，再由即可求解.【小问1详解】由题可得，所以的方程为.【小问2详解】（i）证明：设，由得，由题意得，设中点的坐标为，则所以.因为的中点在直线上，所以，即，因为，所以，故的斜率为定值.（ii）由（i）得的方程为，且，又点到的距离，所以，解得，所以的方程为.19.定义：对于函数，若，则称“”为三角形函数.（1）已知函数，若为二次函数，且，写出一个，使得“”为三角形函数；（2）已知函数，若“”为三角形函数，求实数的取值范围；（3）若函数，证明：“”为三角形函数.（参考数据：）【正确答案】（1）答案见解析