河南省南阳地区2024-2025学年高一上学期期中适应性考试数学试题 含解析

南阳地区2024年秋季高一年级期中适应性考试卷数学注意事项：1.答题前.考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：北师大版必修第一册第一章至第四章4.2.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“，有”的否定为（）A.，有 B.，有C.，使 D.，使【答案】D【解析】【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可得结论.【详解】命题“，有”的否定为“，使”.故选：D.2.若集合是2和3的公倍数，是24和60的公约数，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出集合，再利用集合的运算，即可求解.【详解】因为是24和60的公约数，所以，又集合是2和3的公倍数，所以，故选：C.3.函数的定义域为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由二次根式下大于等于零和分母不为零解不等式组求出即可；【详解】由题意可得，解得且，所以定义域为，故选：B.4.已知函数为定义在上的奇函数，当时，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用奇偶函数的性质，结合条件，即可求解.【详解】函数为定义在上的奇函数，所以，且，又当时，，所以，故选：B.5.已知两个指数函数，的部分图象如图所示，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先根据函数单调性得到，，并当时，，得，所以.【详解】由图可知函数，均单调递增，则，.当时，，得，所以.故选：D6.已知函数，且，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据条件，利用配凑法，求得，再结合条件，即可求解.【详解】易知，又，所以，则，解得，故选：A.7.已知函数是减函数，则a的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据分段函数单调性，列出各段为减函数的条件，结合两段分界处的关系，即可求解.【详解】函数是减函数，则有，解得，则a的取值范围为.故选：B.8.已知，，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用指数函数和幂函数的单调性，再结合条件，即可求解.【详解】令，易知在上单调递减，又，所以，令，易知在区间上单调递增，又，所以，故，故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在四边形中，“四边形是梯形”的一个充分不必要条件可能是（）A.平行于，且等于 B.平行于，且不等于C.平行于，且不平行于 D.平行于或平行于【答案】BC【解析】【分析】利用充分条件和必要条件的判断方法，对各选项逐一分析判断，即可求解.【详解】对于选项A，由“平行于且等于”推出“四边形是平行四边形”，所以选项A错误，对于选项B，因为“平行于，且不等于”可以推出“四边形是梯形”，但“四边形是梯形”推不出“平行于，且不等于”，如图所示，当，且时，是梯形，但不满足“平行于，且不等于”，所以选项B正确，对于选项C，“平行于且不平行于”可以推出“四边形是梯形”，但“四边形是梯形”推不出“平行于且不平行于”，如图所示，当，且不平行时，是梯形，但不满足“平行于且不平行于”，所以选项C正确，对于选项D，由“平行于或平行于”不能推出“四边形是梯形”，所以选项D错误，故选：BC.10.关于x的不等式的解集可能为（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】分类讨论的大小，利用二次不等式的解法即可得解.【详解】由，得.当，即时，原不等式的解集为；当，即时，原不等式的解集为；当，即时，原不等式的解集为.故选：ACD.11.已知函数fx为定义在上的偶函数，当时，，则下列结论正确的是（）A.B.C.fx在上单调递减D.fx的值域为【答案】ABD【解析】【分析】对A，根据偶函数定义域特征求解；对B，利用偶函数性质代入运算得解；对C，举反例说明判断；对D，换元令，得，，求出在上的值域，再根据偶函数对称性可得的值域.【详解】对于A，因为是定义在上的偶函数，所以，解得，故A正确；对于B，由，，，故B正确；对于C，，，则，所以函数在上不满足单调递减，故C错误；对于D，由，，令，则，且，，，，即，由偶函数对称性可知，的值域为.故D正确.故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若幂函数的定义域为，则__________.【答案】【解析】【分析】根据幂函数的定义，得到，再结合条件，即可求解.【详解】由，得.当时，的定义域不为；当时，的定义域为，所以，故答案为：.13.若关于x不等式恒成立，则a的取值范围为________．【答案】【解析】【分析】当时，原不等式显然恒成立，当，一元二次不等式对应的二次函数需要开口向上、与轴没有交点才满足题意，据此列出不等式求解即可.【详解】当时，原不等式恒成立，满足题意；当时，只需，解得;综上所述：，故答案为：.14.已知，则的最小值为__________，此时__________.【答案】①.②.##【解析】【分析】根据条件，二次利用基本不等式，即可求解.【详解】因，得到，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为，故答案为：，.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知集合，.（1）若，求；（2）若“”是“”既不充分也不必要条件，求的取值范围.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）利用一元二次不等式的解法，求出集合，根据条件得，再利用集合的运算，即可求解；（2）根据题设条件得或，即可求解.【小问1详解】由，得，则，当时，，则或，所以或.【小问2详解】由题意可知，A⊈B，B⊈A则或，得或，所以实数a的取值范围为.16.（1）求值：；（2）已知，，请用a，b表示.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据指数幂的运算法则与性质求解；（2）根据换底公式及对数的运算法则化简即可得解.【详解】（1）原式.（2）由题意得，，所以.17.已知，，且．（1）求的最大值；（2）求的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）用表示，根据二次函数的性质求得正确答案.（2）利用基本不等式求得正确答案.【小问1详解】依题意，，，且，所以，所以，二次函数的开口向上，对称轴为，所以当时，取得最大值为，此时.所以的最大值为.【小问2详解】，当且仅当时等号成立，所以的最小值为.18.已知指数函数的图象过点，函数.（1）求的解析式；（2）判断在上的单调性，并用定义证明；（3）若不等式对恒成立，求t的取值范围.【答案】（1）（2）单调递增，证明见解析（3）【解析】【分析】（1）根据指数函数的定义及函数图象所过点求解；（2）利用函数单调性的定义证明即可；（3）根据函数单调性转化为恒成立，分离参数得解.【小问1详解】设（，且），由，得，所以.【小问2详解】在上单调递增.证明如下：由题意得.，，且，则.由，得，，则，.所以，即，故在上单调递增.【小问3详解】由题意得，所以是偶函数.由，得，易得，，因为在上单调递增，所以由，得当时，恒成立；当时，.因为，所以，得，即t的取值范围为.19.已知函数的定义域为D，若对任意（，），都有，则称为的一个“n倍区间”．（1）判断是否是函数的一个“倍区间”，并说明理由；（2）若是函数的“2倍区间”，求m的取值范围；（3）已知函数满足对任意，且，都有，且，证明：（）是的一个“3倍区间”．【答案】（1）不是，理由见解析；（2）（3）证明见解析；【解析】【分析】（1）由函数新定义判断即可；（2）由函数新定义结合二次函数的值域判断即可；（3）由函数新定义结合函数的单调性构造函数，得到在上单调递减即可；【小问1详解】由题意可得，当时，，此时倍区间为，但，所以不是函数的一个“倍区间”，【小问2详解】由题意可得当时