《1 无理数》学习任务单

《1无理数》学习任务单一、学习目标1、能准确说出无理数的概念，就像能准确说出自己好朋友的名字一样熟练。2、可以轻松判断一个数是有理数还是无理数，就像区分白天和黑夜那么简单。3、会用无理数表示一些实际生活中的量，例如计算某些不规则图形的边长之类的。二、学习内容及任务分解（一）无理数的引入1、故事导入任务学习步骤：老师先给大家讲个故事。从前有个小木匠，他要做一个正方形的桌面。已知这个桌面的面积是2平方米，那这个桌面的边长是多少呢？同学们可以先试着用我们学过的数来表示。学生思考并尝试解答，然后和同桌交流自己的想法。学习资源：老师的讲述。时间安排：5分钟。互动环节：同桌之间互相交流自己的计算结果和遇到的问题。反馈与评价：自我评估：如果能清楚地说出自己是怎么思考这个问题的，比如是否尝试用整数或者分数来表示边长，就算是初步完成任务。教师评价：老师巡视课堂，看同学们的讨论情况。如果同学们能够积极思考并参与讨论，就给予表扬；如果发现同学们存在一些普遍的错误想法，如认为边长可以很容易地用一个分数表示，就及时纠正并引导。2、探究这个特殊边长的性质任务学习步骤：假设这个边长是一个分数\（＼frac{m}｛n}＼）（＼（m\），＼（n\）是互质的整数，且\（n\neq0\）），根据正方形面积公式\（S＝a^｛2}＼）（这里\（S＝2\），＼（a=＼frac{m}｛n}＼）），那么\（（＼frac{m}｛n}）＾｛2}＝2\），即\（m^｛2}＝2n^｛2}＼）。思考\（m\）和\（n\）的奇偶性。因为\（m^｛2}＝2n^｛2}＼），所以\（m^｛2}＼）是偶数，那\（m\）也一定是偶数。设\（m＝2k\）（＼（k\）是整数），把\（m＝2k\）代入\（m^｛2}＝2n^｛2}＼），得到\（（2k)＾｛2}＝2n^｛2}＼），化简得\（4k^｛2}＝2n^｛2}＼），即\（n^｛2}＝2k^｛2}＼），所以\（n\）也是偶数。这就和\（m\），＼（n\）互质矛盾了。得出结论：这个边长不能用分数表示。学习资源：课本上关于有理数性质的相关内容。时间安排：10分钟。互动环节：小组讨论，每个小组45人，讨论这个推理过程是否合理，有没有其他的思考方法。反馈与评价：自我评估：能够理解这个推理过程，并且可以给小组同学讲解的同学，就说明掌握得比较好。教师评价：老师参与到小组讨论中，对于小组讨论的结果进行评价。如果小组能够正确理解并且提出一些有价值的想法，如从倍数的角度来理解\（m\）和\（n\）的关系等，就给予肯定；如果小组存在理解困难，老师就进行再次讲解。（二）无理数的概念1、无理数概念的学习任务学习步骤：像这样不能表示为两个整数之比的数，我们就叫做无理数。比如\（＼sqrt{2}＼），＼（＼pi\）等。老师在黑板上写出一些数，如\（＼sqrt{3}＼），＼（0.1010010001\cdots\）（每两个1之间依次多一个0），＼（＼sqrt{5}＼）等，让同学们判断这些数是不是无理数。学习资源：黑板上的示例数。时间安排：8分钟。互动环节：老师随机抽取同学回答问题，其他同学可以补充或者纠正。反馈与评价：自我评估：如果能正确判断大部分老师给出的数，就说明对无理数概念有了一定的理解。教师评价：根据同学们的回答情况进行评价。如果回答正确，给予肯定；如果回答错误，分析错误原因并进行讲解。2、无理数与有理数的对比任务学习步骤：回忆有理数的概念，有理数包括整数和分数。制作一个表格，对比有理数和无理数的特点。例如，有理数可以表示为分数形式，而无理数不能；有理数是有限小数或者无限循环小数，无理数是无限不循环小数等。学习资源：课本上有理数和无理数的相关章节。时间安排：10分钟。互动环节：同桌之间互相检查表格内容，并且交流自己对有理数和无理数的理解。反馈与评价：自我评估：表格内容完整、准确，并且能够清晰地给同桌解释清楚有理数和无理数区别的同学，自我评估为优秀。教师评价：老师查看部分同学的表格内容，进行点评。如果表格制作得清晰、准确，给予表扬；如果存在错误或者不完整的地方，指出问题并让同学修改。（三）无理数在生活中的应用1、无理数在几何中的应用任务学习步骤：看一个例子，有一个圆形花坛，它的面积是\（10\pi\）平方米，求这个花坛的半径。根据圆的面积公式\（S=＼pir^｛2}＼），可得\（r＝＼sqrt{＼frac{S}｛＼pi}｝＝＼sqrt{＼frac{10\pi}｛＼pi}｝＝＼sqrt{10}＼）。这里\（＼sqrt{10}＼）就是一个无理数。老师再给出几个类似的几何问题，如已知正方体的体积是\（3\sqrt{3}＼）立方厘米，求正方体的棱长等，让同学们用无理数来表示答案。学习资源：课本上几何图形面积、体积公式的相关内容。时间安排：12分钟。互动环节：小组合作解决老师给出的问题，每个小组派代表展示解题过程和答案。反馈与评价：自我评估：如果能够正确运用公式求出答案，并且理解为什么答案是无理数，就自我评估为掌握良好。教师评价：老师对小组代表的解答进行评价。如果解答正确、步骤完整，给予小组表扬；如果存在问题，指出问题并引导小组进行修改。2、无理数在其他实际场景中的应用任务学习步骤：想象一下，你去超市买东西，商品的单价是\（＼sqrt{5}＼）元，你买了3件，那你需要支付多少钱呢？答案是\（3\sqrt{5}＼）元。这就是无理数在购物场景中的一种体现。老师布置一些类似的实际场景问题，如装修房子时，一块瓷砖的边长是\（＼sqrt{2}＼）米，房间地面是长方形，长是\（5\sqrt{2}＼）米，宽是\（3\sqrt{2}＼）米，问需要多少块瓷砖等。学习资源：自己的生活经验和想象。时间安排：15分钟。互动环节：同学们独立完成问题后，同桌之间互相交换答案，互相检查并交流解题思路。反馈与评价：自我评估：如果能顺利解决这些实际问题，并且能够解释清楚解题思路，就自我评估为应用能力良好。教师评价：老师收集同学们的答案进行检查。如果答案正确、思路清晰，给予肯定；如果存在问题，进行个别辅导。三、习题及答案（一）基础过关1、下列数中，无理数是（）A.＼（3.14\）B.＼（＼frac{1}｛3}＼）C.＼（＼sqrt{9}＼）D.＼（＼sqrt{5}＼）答案：D。因为\（3.14\）是有限小数，是有理数；＼（＼frac{1}｛3}＼）是分数，是有理数；＼（＼sqrt{9}＝3\）是整数，是有理数；而\（＼sqrt{5}＼）是无限不循环小数，是无理数。2、把下列各数分别填入相应的集合内：＼（＼sqrt{7}＼），＼（＼frac{22}｛7}＼），＼（0\），＼（＼pi\），＼（－3.14159\），＼（2、＼dot{1}＼），＼（1.1010010001\cdots\）（每两个1之间依次多一个0）有理数集合：＼（＼left\｛＼frac{22}｛7}，0,－3.14159,2、＼dot{1}＼right\｝＼）无理数集合：＼（＼left\｛＼sqrt{7}，＼pi,1.1010010001\cdots\right\｝＼）（二）能力提升1、已知一个直角三角形的两条直角边分别为\（1\）和\（＼sqrt{3}＼），求斜边的长度。答案：根据勾股定理\（a^｛2}＋b^｛2}＝c^｛2}＼）（这里\（a＝1\），＼（b=＼sqrt{3}＼）），斜边\（c=＼sqrt{a^｛2}＋b^｛2}｝＝＼sqrt{1^｛2}＋＼left(＼sqrt{3}＼right)＾｛2}｝＝＼sqrt{1＋3}＝＼sqrt{4}＝2\）。2、一个正方体的体积是\（8\sqrt{2}＼）立方厘米，求正方体的棱长。答案：设正方体的棱长为\（a\），根据正方体体积公式\（V=a^｛3}＼），可得\（a=＼sqrt3{8\sqrt{2}｝＝＼sqrt3{8}＼times\sqrt3{＼sqrt{2}｝＝2\sqrt6{2}＼）厘米。（三）拓展创新1、若\（x^｛2}＝3\），求\（x\）的值，并判断\（x\）是有理数还是无理数。答案：由\（x^｛2}＝3\），可得\（x=＼pm\sqrt{3}＼）。＼（＼sqrt{3}＼）是无限不循环小数，所以\（x=＼pm\sqrt{3}＼）是无理数