河南省商师联盟2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题（含解析）

河南省商师联盟2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3.考生作答时，请将答案签在签题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章~第三章第2节．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.过点，且在轴上的截距为2的直线方程为A. B. C. D.2.已知双曲线的焦距为4，则的渐近线方程为A. B. C. D.3.已知圆与圆，则与的位置关系为A.内切 B.外离 C.外切 D.相交4.在平行六面体中，E，F分别是的中点.设，则A. B. C. D.5.已知点，若过定点的直线与线段AB相交，则直线的斜率的取值范围是A. B. C. D.6.已知点是双曲线上一点，则点到双曲线的两条渐近线的距离之积为A. B. C. D.7.已知直线，圆，当圆心到直线的距离最小时，圆的周长为A. B. C. D.8.已知是椭圆的左焦点，椭圆的上顶点为，在以点为圆心、为半径的圆上存在点，使得AP的斜率为，则椭圆的离心率的取值范围是A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分、共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知曲线（其中为常数），则曲线可能为A.平行于轴的两条直线 B.单位圆C.焦点在轴上的双曲线 D.焦点在轴上的椭圆10.已知等腰直角的直角顶点为，若点，则过点且与AB边所在直线平行的直线方程可能是A. B. C. D.11.如图，在正四棱锥中，分别是PB，PD的中点，则下列说法正确的是A. B.直线AM和CN所成角的余弦值是C.点到直线AN的距离是 D.点到平面ACN的距离是三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知椭圆的焦距为2，则______.13.在空间直角坐标系Oxyz中，点A，B，C，M的坐标分别是，，若A，B，C，M四点共面，则______.14.在平面直角坐标系Oxy中，圆的方程为.若直线上存在点，使过点作圆的两条切线相互垂直，则实数的取值范围是______.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（本小题满分13分）已知的外接圆为圆.（1）求圆的方程；（2）已知直线与圆交于E，F两点，求的面积.16.（本小题满分15分）如图，在直四棱柱中，底面ABCD为矩形，且，为棱的中点.（1）求到的距离；（2）求与平面所成角的正弦值.17.（本小题满分15分）已知椭圆的左、右焦点分别为，且经过点.（1）求椭圆的方程；（2）若椭圆上的点满足，求点的坐标.18.（本小题满分17分）如图，在四棱锥中，底面四边形ABCD为菱形，平面ABCD，过PE的平面交平面ABCD于.（1）证明：平面ADE；（2）若平面平面，四棱锥的体积为，求平面PBC与平面AEP平角的余弦值.19.（本小题满分17分）若椭圆的长轴长，短轴长分别等于双曲线的实轴长，虚轴长，且椭圆和双曲线的焦点在同一坐标轴上，则称椭圆是双曲线的共轭椭圆，双曲线是椭圆的共轭双曲线.已知椭圆的共轭双曲线为.（1）求双曲线的标准方程；（2）已知点，直线（不过点与相交于M，N两点，且，求点到直线的距离的最大值.

2024～2025学年度高二上学期期中联考试卷数学参考答案、提示及评分细则1.D 由题意，所求直线经过点，所以斜率为，所以所求直线的方程为，即0.故选D.2.C 由题意可知，所以，所以双曲线的渐近线方程为.故选C.3.B 易知圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，所以，所以与外离.故选B.4.A 如图所示，，即.故选A.5.D 直线过定点，且直线与线段AB相交，由图象知，或-4，则斜率的取值范围是.故选D.6.B 由双曲线的方程知渐近线方程为，设，由题意，得，即，点到渐近线的距离，点到渐近线的距离，所以.故选B．7.A 圆化为，所以，故到的距离，当且仅当，即时等号成立，故此时圆的半径为，则圆的周长为.故选A.8.C 直线AP的方程为，即，圆的方程为，由题意，知直线AP与圆有交点，即直线AP与圆相交或相切，所以，即，解得，又，所以离心率，又，所以.故选C.9.ABC 当，即时，，表示平行于轴的两直线，A正确；当时，，表示以原点为圆心，半径为1的单位圆，B正确；当，即或时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，C正确；当，且时，则，所以，因此曲线表示焦点在轴上的椭圆，D错误.故选ABC.10.AC 设点坐标为，根据题意知即解得或当点的坐标是时，过点且与AB边所在直线平行的直线方程是，即0；当点的坐标是时，过点且与AB边所在直线平行的直线方程是，即．故选AC.11.ACD 连接BD交AC于点，连结PO，由题意，得平面ABCD，因为平面ABCD，所以，因为四边形ABCD是正方形，所以，因为平面PBD，所以平面PBD，因为平面PBD，所以AC，故A正确；以OA，OB，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，因为，所以，所以，，所以，所以，所以直线AM和CN所成角的余弦值是，故B错误；，与同向的单位向量为，所以点到直线AN的距离，故C正确；设为平面ACN的法向量，则即令，得，点到平面ACN的距离，故D正确.故选ACD.12.5或7 由题意知，所以.当椭圆的焦点在轴上时，且，解得；当椭圆的焦点在轴上时，且，解得，故的值为5或7.13.6 ，又A，B，C，M四点共面，则存在，使得，即，即解得.134圆的方程可化为，要使过点作圆的两条切线相互垂直，只要圆心到点的距离为4，所以点既在直线上，又在圆上，所以直线与圆有公共点，点到直线的距离小于等于4，即，解得或.14.解：（1）设圆的方程为，则……3分解得所以圆的方程为.……6分（2）由，得，所以圆的圆心为，半径，……7分圆心到直线的距离为．…………9分又点到直线的距离为，……11分所以的面积为.……13分16.解：以为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则，则.……3分（1），……5分所以，……6分所以到的距离.……8分（2）设平面的一个法向量，则即……9分令，解得，故．……11分设直线与平面所成的角为，则，故直线与平面所成角的正弦值为.……15分17.解：（1）椭圆的左、右焦点分别为，半焦距.……2分又椭圆经过点，，故椭圆的方程为.……6分（2）设点，因为，则，即，……8分联立解得.……11分当时，，当时，，点的坐标为或或或.………………15分18.（1）证明：因为平面ABCD，过PE的平面交平面ABCD于BD，所以，又，所以四边形BDEP为平行四边形，所以，……2分又平面平面ADE，所以平面ADE.……3分同理平面ADE，又平面BCP，所以平面平面ADE，又平面BCP，所以平面ADE．……5分（2）解：由（1）知四边形BDEP为平行四边形，又，所以四边形BDEP为菱形，因为，所以为等边三角形．……7分连接AC交BD于，连接PO，则，因为平面平面ABCD，平面平面，又平面BDEP，所以平面ABCD，……9分因为平面ABCD，所以.因为四棱锥的体积为，即，又，所以，所以.……11分以为坐标原点，OA，OB，OP所在的直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以.………………12分设平面PBC的一个法向量，则即令，解得，所以，设平面AEP的一个法向量，则即令，解得，所以，……15分设平面PBC与平面AEP的夹角为，所以，故平面PBC与平面AEP的夹角的余弦值为.……17分19.解：（1）由题意可设的标准方程为，则，………………3分所以双曲线的标准方程为.……5分（2）当直线的斜率存在时，设直线