广东省茂名市化州市2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（含答案）

2024—2025学年度第一学期期中学科素养测评高中二年级数学试卷说明：本试卷分选择题和非选择题两部分，共6页.满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必填写答题卷上的有关项目.2.选择题每小题选出答案后，把答案填在答题卷相应的位置上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷交回.第一部分选择题（共58分）一、单项选择题：本大题共8个小题，每个小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.已知复数，则（）A. B.2 C. D.53.已知向量，，则与的夹角是（）A.30° B.60° C.120° D.135°4.圆的圆心到直线的距离是（）A. B. C.1 D.5.如图，空间四边形中，，分别是，的中点，则等于（）A. B. C. D.6.已知为锐角，，角的终边上有一点，则（）A.2 B. C. D.7.过定点的直线与过定点的直线交于点（与、不重合），则面积的最大值为（）A. B.2 C. D.48.已知是定义在上的偶函数，，，当时，，则（）A B.0 C. D.二、多项选择题：本大题共3个小题，每个小题6分，共18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，选齐全对的得6分，漏选得对应分，错选和不选得0分.9.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取两个球，则下列选项中的两个事件为不是互斥事件的是（）A.至多有1个白球；都是红球 B.至少有1个白球；至少有1个红球C.恰好有1个白球；都是红球 D.至多有1个白球；全是白球10.已知直线的方程（），则（）A.恒过定点 B.存在实数使直线在坐标轴上截距互为相反数C.直线的斜率一定存在 D.点到直线的距离最大值为11.如图，已知在长方体中，，，点为棱上的一个动点，平面与棱交于点，则下列命题正确的是（）A.当点在棱上的移动时，恒有B.在棱上总存在点，使得平面C.四棱锥的体积为定值D.四边形的周长的最小值是第二部分非选择题（共92分）三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卷的横线上.12.已知向量，，且，则______.13.若直线与直线平行，则这两条直线间的距离为______.14.设动点在棱长为1的正方体的对角线上，且异于点，，记.当为锐角时，的取值范围是______.四、解答题：本大题共5个小题，满分共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（13分）在中，是坐标原点，，.（1）求边上的高所在直线的方程；（2）求的外接圆方程.16.（15分）记的内角，，的对边分别为，，，已知.（1）求角；（2）设的中点为，若，且，求的面积.17.（15分）如图，在多面体中，四边形是边长为2的正方形，四边形是直角梯形，其中，，且.（1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值.18.（17分）航天员安全返回，中国航天再创辉煌！去年6月4日，当地时间6时20分许，神舟十五号载人飞船成功着陆，费俊龙、邓清明、张陆等航天员安全顺利地出舱，身体状况良好.这标志着神舟十五号载人飞行任务取得了圆满成功.某学校高二年级利用高考放假期间开展组织1200名学生参加线上航天知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题：（1）若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取10人成绩，求10人中成绩不高于50分的人数；（2）求的值，并以样本估计总体，估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数；（3）由首轮竞赛成绩确定甲、乙、丙三位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，丙复赛获优秀等级的概率为，甲、乙、丙是否获优秀等级互不影响，求三人中至少有两位同学复赛获优秀等级的概率.19.（17分）已知函数与函数，函数的定义域为.（1）求的定义域和值域；（2）若存在，使得成立，求的取值范围；（3）已知函数的图象关于点中心对称的充要条件是函数为奇函数.利用上述结论，求函数的对称中心.

2024—2025学年度第一学期学科素养测评高中二年级数学试卷参考答案一、单项选择题：本大题共8个小题，每个小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.单项选择题12345678答案DACDBABC二、多项选择题：本大题共3个小题，每个小题6分，共18分.每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，选齐全对的得6分，漏选得相应的分数，错选和不选得0分.多项选择题91011答案ABABDACD三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卷的横线上.12.13.14.四、解答题：本大题共6个小题，满分共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.解：（1）因为，，所以直线的斜率，所以边上的高所在直线的斜率，又边上的高所在直线过原点，所以边上的高所在直线的方程为：；（2）设的外接圆的方程为，则，解得，的外接圆方程为：.16.解：（1）的内角，，的对边分别为，，，已知，则，由正弦定理得，即，在中，因为，，∴，∵，∴；（2）由（1）知，设的中点为，若，且，在中，由余弦定理得，所以①，在中，由余弦定理得②，由①②两式消去，得，所以，又，解得，，所以的面积17.（1）证明：连接，因为，，，所以，又因为，，所以，所以，又因为，，所以平面，又因为平面，所以平面平面.（2）解：因为，所以，又因为，所以，所以、、两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，各点坐标如下：，，，，，，，设平面与平面的法向量分别为，，，令，，，令，，设二面角的大小为，由图可知为钝角，所以故二面角的余弦值为18.解：（1）∵成绩不高于60分的同学为频率分布直方图中的前2组，又前两组的比例为，∴从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取10人成绩，10人中成绩不高于50分的人数为；（2）根据题意可得，∴；∴估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数为：；估计该校学生首轮竞赛成绩的中位数为：（3）设“甲，乙，丙复赛获优秀等级”分别为事件，，，则，，，设“三人中至少有两