2024-2025学年湖北省“金太阳联考”高二（上）期中考试数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年湖北省“金太阳联考”高二（上）期中考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.(8+i)(1−i)=(

)A.7−9i B.9−9i C.7−7i D.9−7i2.已知角α的终边不在坐标轴上，且2sin2α=sinα，则A.−78 B.78 C.−783.一艘轮船北偏西65∘方向上有一灯塔，此时二者之间的距离为16海里，该轮船以20海里/时的速度沿南偏西55∘的方向直线航行，行驶半小时后，轮船与灯塔之间的距离为(

)A.18海里 B.16海里 C.14海里 D.12海里4.已知某圆台的上、下底面半径分别为2和5，母线长为5，则该圆台的体积为(

)A.63π B.39π C.52π D.42π5.设函数f(x)=ax−2,x⩽1lnx,x>1.若f(x)在R上单调递增，则aA.(0,+∞) B.(0,2] C.(−∞,2] D.(0,3]6.已知点P(2,1)，Q(1,0)，H在直线x−y+1=0上，则|HP|+|HQ|的最小值为(

)A.23 B.11 C.7.金秋十月，某校举行运动会，甲、乙两名同学均从跳高、跳远、100米跑和200米跑这四个项目中选择两个项目参加.设事件A=“甲、乙两人所选项目恰有一个相同”，事件B=“甲、乙两人所选项目完全不同”，事件C=“甲、乙两人所选项目完全相同”，事件D=“甲、乙两人均未选择100米跑项目”，则(

)A.A与C是对立事件 B.C与D相互独立 C.A与D相互独立 D.B与D不互斥8.已知A(2,0)，B(10,0)，若直线tx−4y+2=0上存在点P，使得PA⋅PB=0，则t的取值范围为A.[−3,215] B.[−215.3]二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知圆C:(x−a)2+(y−1)2=4aA.a=1

B.点(1,4)在圆C的外部

C.若直线mx+y−2=0平分圆C的周长，则m=−1

D.圆(x−9)2+(y+510.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，其中M(1,0)，N(5,0)，则A.ω=π4 B.φ=−π4

C.f(x)在[6,8]上单调递增 D.f(x)在11.若E∉平面γ，F∈平面γ，EF⊥平面γ，则称点F为点E在平面γ内的正投影，记为F=tγ(E).如图，在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，BC=2AD，AD⊥AB，P，N分别为AA1，CC1的中点，DQ=3QD1A.若A1N=2A1Q−2A1P+μA1B，则μ=1

B.存在点H，使得H三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.直线l1:mx+y−2m−1=0与直线l2:(2m+1)x+y=0平行，则m=

，l113.甲、乙两人从九寨沟、峨眉山和青城山这三个景点中各选择其中一个景点游玩，已知甲、乙两人选择三个景点游玩的概率分别是13，16，12和14，14，114.已知球O是棱长为6的正四面体ABCD的内切球，MN是球O的一条直径，H为该正四面体表面上的动点，则HM⋅HN的最大值为

．四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，AB=AA1=4，∠BAA(1)用a，b，c表示AE(2)求AE的长度．16.(本小题12分)已知圆C:(x−2)2+(y−2)2(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程;(2)若l与圆C相切，求l的方程;(3)若l与圆C相交于A，B两点，且△ABC(其中C为圆C的圆心)为直角三角形，求l的方程．17.(本小题12分)

某中学高二年级的所有学生学习完人教A版选择性必修第一册的《直线和圆的方程》章节后，统一进行了一次测试，并将所有的测试成绩(满分150分)按照[30,50)，[50,70)，[70,90)，[90,110)，[110,130)，[130,150]分成6组，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)试估计该中学高二年级的所有学生该次测试成绩的平均数(每组数据取区间的中间值作代表) ;(2)按照人数比例用分层随机抽样的方法，从测试成绩在[110,130)和[130,150]内的学生中抽取6人的试卷进行试卷分析，再从这6人的试卷中任选2人的试卷进行优秀答卷展示，求被选中进行优秀答卷展示的这2人的测试成绩都在[110,130)内的概率．18.(本小题12分)如图，在四棱台ABCD−A1B1C1D1中，底面(1)证明：BD⊥平面ACC(2)求直线DD1与平面(3)棱BC上是否存在一点P，使得二面角P−AD1−D的余弦值为211?19.(本小题12分)若圆C1与圆C2相交于P，Q两点，|PQ|=m(m>0)，且C2为线段PQ的中点，则称圆C2是圆C1的m等距共轭圆.已知点A(3,5)，B(6,4)均在圆C(1)求圆C1(2)若圆C2是圆C1的8等距共轭圆，设圆心C2(ⅰ)求曲线Ω的方程．(ⅱ)已知点H(3,3)，直线l与曲线Ω交于异于点H的E，F两点，若直线HE与HF的斜率之积为3，试问直线l是否过定点?若过定点，求出该定点坐标;若不过定点，请说明理由．

参考答案1.D

2.A

3.C

4.C

5.B

6.C

7.C

8.B

9.ABD

10.ABD

11.ABC

12.−1；π13.3814.12

15.解：(1)AE=AB+BC+CE=AB+AD+12AA1=a+b+12c；

16.解：(1)若l经过原点，则l的方程为2x−y=0．

若l不经过原点，则可设l的方程为xa+ya=1(a≠0)，

因为l过点P(2,4)，所以2a+4a=1，解得a=6，

所以l的方程为x6+y6=1，即x+y−6=0．

故l的方程为2x−y=0或x+y−6=0．

(2)由圆C:(x−2)2+(y−2)2=4，可得圆心C(2,2)，半径为2．

因为点P在圆C上，所以易得l的方程为y=4．

(3)因为△ABC为直角三角形，且|AC|=|BC|=2，

所以|AB|=22，

则圆心C到l的距离为|AB|2=2，

由题意易得l的斜率一定存在，17.解：(1)由频率分布直方图可知该中学高二年级的所有学生该次测试成绩的平均数约为(40×0.0050+60×0.0075+80×0.0125+100×0.0175+120×0.0050+140×0.0025)×20=87分．

(2)因为测试成绩在[110,130)和[130,150]内的频率之比为2:1，

所以抽取的6人中测试成绩在[110,130)内的有4人，记为a，b，c，d，

测试成绩在[130,150]内的有2人，记为A，B．

从这6人中任选2人的所有可能情况为(a,b)，(a,c)，(a,d)，(a,A)，(a,B)，(b,c)，(b,d)，(b,A)，(b,B)，(c,d)，(c,A)，(c,B)，(d,A)，(d,B)，(A,B)，共15种，

其中这2人的测试成绩均在[110,130)内的情况有6种，

故所求概率为615=18.解：(1)证明：因为底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD．又因为AA1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD因为AA1∩AC=A，且AA1，AC⊂平面AC(2)解：以AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，则A(0,0,0)，B(6,0,0)，B1(3,0,2)，C(6,6,0)，D(0,6,0)，所以BC=(0,6,0)，BB1设平面BCC1B则m⋅BC=6设直线DD1与平面BCC则sinθ=|cos<故直线DD1与平面BCC(3)解：若存在点P满足题意，则可设点P(6,λ,0)，其中λ∈[0,6]，则AP=(6,λ,0)，A设平面AD1P的法向量为n=(x易得平面ADD1的一个法向量为所以|cos<n·v>|=|故棱BC上存在一点P，当BP=2时，二面角P−AD1−D

19.解：(1)根据题意可设圆C1的圆心坐标为(4a+3,a)，

则圆C1的标准方程为(x−4a−3)2+(y−a)2=r2，

由(3−4a−3)2+(5−a)2=r2,(6−4a−3)2+(4−a)2=r2,解得a=0,r2=25,

则圆C1的标准方程为(x−3)2+y2